Реферат: VB, MS Access, VC++, Delphi, Builder C++ принципы(технология), алгоритмы программирования
Другие вращения
Остальные вращения выполняются аналогично. В этом случае удаляемый узел находится в правом поддереве узла X. Эти четыре вращения — те же самые, которые использовались для балансировки дерева при вставке узла, за одним исключением.
Если новый узел вставляется в дерево, то первое выполняемое вращение осуществляет балансировку поддерева TX, не изменяя его высоту. Это значит, что дерево выше узла TX будет при этом оставаться сбалансированным. Если же эти вращения используются после удаления узла из дерева, то вращение может уменьшить высоту поддерева TX на единицу. В этом случае, нельзя быть уверенным, что дерево выше узла X осталось сбалансированным. Нужно продолжить проверку выполнения свойства АВЛ‑деревьев вверх по дереву.
Реализация удаления узлов на языке Visual Basic
Подпрограмма DeleteItem удаляет элементы из дерева. Она рекурсивно спускается по дереву в поиске удаляемого элемента и когда она находит искомый узел, то удаляет его. Если у этого узла нет потомков, то процедура завершается. Если есть только один потомок, то процедура заменяет узел его потомком.
Если узел имеет двух потомков, процедура DeleteItem вызывает процедуру ReplaceRightMost для замены искомого узла самым правым узлом в его левой ветви. Процедура ReplaceRightMost выполняется примерно так же, как и процедура из 6 главы, которая удаляет элементы из обычного (неупорядоченного) дерева. Основное отличие возникает при возврате из процедуры и рекурсивном проходе вверх по дереву. При этом процедура ReplaceRightMost использует восходящую рекурсию, чтобы убедиться, что дерево остается сбалансированным для всех узлов.
При каждом возврате из процедуры, экземпляр процедуры ReplaceRightMost вызывает подпрограмму RebalanceRightShrunk, чтобы убедиться, что дерево в этой точке сбалансировано. Так как процедура ReplaceRightMost опускается по правой ветви, то она всегда использует для выполнения балансировки подпрограмму RebalanceRightShrunk, а не RebalanceLeftShrunk.
При первом вызове подпрограммы ReplaceRightMost процедура DeleteItem направляет ее по левой от удаляемого узла ветви. При возврате из первого вызова подпрограммы ReplaceRightMost, процедура DeleteItem использует подпрограмму RebalanceLeftShrunk, чтобы убедиться, что дерево сбалансировано в этой точке.
=========168
После этого, один за другим происходят рекурсивные возвраты из процедуры DeleteItem при проходе дерева в обратном направлении. Так же, как и процедура ReplaceRightmost, процедура DeleteItem вызывает подпрограммы RebalanceRightShrunk или RebalanceLeftShrunk в зависимости от того, по какому пути происходит спуск по дереву.
Подпрограмма RebalanceLeftShrunk аналогична подпрограмме RebalanceRightShrunk, поэтому она не показана в следующем коде.
Public Sub DeleteItem(node As AVLNode, txt As String, shrunk As Boolean)
Dim child As AVLNode
Dim target As AVLNode
If node Is Nothing Then
Beep
MsgBox "Элемент " & txt & " не содержится в дереве."
shrunk = False
Exit Sub
End If
If txt < node.Box.Caption Then
Set child = node.LeftChild
DeleteItem child, txt, shrunk
Set node.LeftChild = child
If shrunk Then RebalanceLeftShrunk node, shrunk
ElseIf txt > node.Box.Caption Then
Set child = node.RightChild
DeleteItem child, txt, shrunk
Set node.RightChild = child
If shrunk Then RebalanceRightShrunk node, shrunk
Else
Set target = node
If target.RightChild Is Nothing Then
' Потомков нет или есть только правый.
Set node = target.LeftChild
shrunk = True
ElseIf target.LeftChild Is Nothing Then
' Есть только правый потомок.
Set node = target.RightChild
shrunk = True
Else
' Есть два потомка.
Set child = target.LeftChild
ReplaceRightmost child, shrunk, target
Set target.LeftChild = child
If shrunk Then RebalanceLeftShrunk node, shrunk
End If
End If
End Sub
Private Sub ReplaceRightmost(repl As AVLNode, shrunk As Boolean, target As AVLNode)
Dim child As AVLNode
If repl.RightChild Is Nothing Then
target.Box.Caption = repl.Box.Caption
Set target = repl
Set repl = repl.LeftChild
shrunk = True
Else
Set child = repl.RightChild
ReplaceRightmost child, shrunk, target
Set repl.RightChild = child
If shrunk Then RebalanceRightShrunk repl, shrunk
End If
End Sub
Private Sub RebalanceRightShrunk(node As AVLNode, shrunk As Boolean)
Dim child As AVLNode
Dim child_bal As Integer
Dim grandchild As AVLNode
Dim grandchild_bal As Integer
If node.Balance = RIGHT_HEAVY Then
' Правая часть перевешивала, теперь баланс восстановлен.
node.Balance = BALANCED
ElseIf node.Balance = BALANCED Then
' Было сбалансировано, теперь перевешивает левая часть.
node.Balance = LEFT_HEAVY
shrunk = False
Else
' Левая часть перевешивала, теперь не сбалансировано.
Set child = node.LeftChild
child_bal = child.Balance
If child_bal <= 0 Then
' Правое вращение.
Set node.LeftChild = child.RightChild
Set child.RightChild = node
If child_bal = BALANCED Then
node.Balance = LEFT_HEAVY
child.Balance = RIGHT_HEAVY
shrunk = False
Else
node.Balance = BALANCED
child.Balance = BALANCED
End If
Set node = child
Else
' Вращение влево‑вправо.
Set grandchild = child.RightChild
grandchild_bal = grandchild.Balance
Set child.RightChild = grandchild.LeftChild
Set grandchild.LeftChild = child
Set node.LeftChild = grandchild.RightChild
Set grandchild.RightChild = node
If grandchild_bal = LEFT_HEAVY Then
node.Balance = RIGHT_HEAVY
Else
node.Balance = BALANCED
End If
If grandchild_bal = RIGHT_HEAVY Then
child.Balance = LEFT_HEAVY
Else
child.Balance = BALANCED
End If
Set node = grandchild
grandchild.Balance = BALANCED
End If
End If
End Sub
Программа AVL оперирует АВЛ‑деревом. Введите текст и нажмите на кнопку Add, чтобы добавить элемент к дереву. Введите значение, и нажмите на кнопку Remove, чтобы удалить этот элемент из дерева. На рис. 7.14 показана программа AVL.
Б‑деревья
Б‑деревья (B‑trees) являются другой формой сбалансированных деревьев, немного более наглядной, чем АВЛ‑деревья. Каждый узел в Б‑дереве может содержать несколько ключей данных и несколько указателей на дочерние узлы. Поскольку каждый узел содержит несколько элементов, такие узлы иногда называются блоками.
=======171
@Рис. 7.14. Программа AVL
Между каждой парой соседних указателей находится ключ, который можно использовать для определения ветви, по которой нужно следовать при вставке или поиске элемента. Например, в дереве, показанном на рис. 7.15, корневой узел содержит два ключа: G и R. Чтобы найти элемент со значением, которое идет перед G, нужно искать в первой ветви. Чтобы найти элемент, имеющий значение между G и R, проверяется вторая ветвь. Чтобы найти элемент, который следует за R, выбирается третья ветвь.
Б‑дерево порядка K обладает следующими свойствами:
· Каждый узел содержит не более 2 * K ключей.
· Каждый узел, кроме может быть корневого, содержит не менее K ключей.
· Внутренний узел, имеющий M ключей, имеет M + 1 дочерних узлов.
· Все листья дерева находятся на одном уровне.
Б‑дерево на рис. 7.15 имеет 2 порядок. Каждый узел может иметь до 4 ключей. Каждый узел, кроме может быть корневого, должен иметь не менее двух ключей. Для удобства, узлы Б‑дерева обычно имеют четное число ключей, поэтому порядок дерева обычно является целым числом.
Выполнение требования, чтобы каждый узел Бдерева порядка K содержал от K до 2 * K ключей, поддерживает дерево сбалансированным. Так как каждый узел должен иметь не менее K ключей, он должен при этом иметь не менее K + 1 дочерних узлов, поэтому дерево не может стать слишком высоким и тонким. Наибольшая высота Б‑дерева, содержащего N узлов, может быть равна O(logK+1(N)). Это означает, что сложность алгоритма поиска в таком дереве порядка O(log(N)). Хотя это и не так очевидно, операции вставки и удаления элемента из Б‑дерева также имеют сложность порядка O(log(N)).
@Рис. 7.15. Б‑дерево
=======172
Производительность Б‑деревьев
Применение Б‑деревьев особенно полезно при разработке больших приложений, работающих с базами данных. При достаточно большом порядке Б‑дерева, любой элемент в дереве можно найти после проверки всего нескольких узлов. Например, высота Б‑дерева 10 порядка, содержащего миллион записей, не может быть больше log11(1.000.000), или выше шести уровней. Чтобы найти определенный элемент, потребуется проверить не более шести узлов.
Сбалансированное двоичное дерево с миллионом элементов имело бы высоту log2(1.000.000), или около 20. Тем не менее, узлы двоичного дерева содержат всего по одному ключевому значению. Для поиска элемента в двоичном дереве, пришлось бы проверить 20 узлов и 20 значений. Для поиска элемента в Б‑дереве пришлось бы проверить 5 узлов и 100 ключей.
Применение Б‑деревьев может обеспечить более высокую скорость работы, если проверка ключей выполняется относительно просто, в отличие от проверки узлов. Например, если база данных находится на диске, чтение данных с диска может происходить достаточно медленно. Когда же данные находятся в памяти, их проверка может происходить очень быстро.
Чтение данных с диска происходит большими блоками, и считывание целого блока занимает столько же времени, сколько и чтение одного байта. Если узлы Б‑дерева не слишком велики, то чтение узла Б‑дерева с диска займет не больше времени, чем чтение узла двоичного дерева. В этом случае, для поиска 5 узлов в Б‑дереве потребуется выполнить 5 медленных обращений к диску, плюс 100 быстрых обращений к памяти. Поиск 20 узлов в двоичном дереве потребует 20 медленных обращений к диску и 20 быстрых обращений к памяти, при этом поиск в двоичном дереве будет более медленным, поскольку время, затраченное на 15 лишних обращений к диску будет намного больше, чем сэкономленное время 80 обращений к памяти. Вопросы, связанные с обращением к диску, позднее обсуждаются в этой главе более подробно.
Вставка элементов в Б‑дерево
Чтобы вставить новый элемент в Б‑дерево, найдем лист, в который он должен быть помещен. Если этот узел содержит менее, чем 2 * K ключей, то в этом узле остается место для добавления нового элемента. Вставим новый узел на место так, чтобы порядок элементов внутри узла не нарушился.
Если узел уже содержит 2 * K элементов, то места для нового элемента в узле уже не остается. Разобьем тогда узел на два новых узла, поместив в каждый из них K элементов в правильном порядке. Затем средний элемент переместим в родительский узел.
Например, предположим, что мы хотим поместить новый элемент Q в Б‑дерево, показанное на рис. 7.15. Этот новый элемент должен находиться во втором листе, который уже заполнен. Для разбиения этого узла, разделим элементы J, K, L, N и Q между двумя новыми узлами. Поместим элементы J и K в левый узел, а элементы N и Q — в правый. Затем переместим средний элемент, L[RV13] в родительский узел. На рис. 7.16 показано новое дерево.
@Рис. 7.16. Б‑дерево после вставки элемента Q
=========173
Разбиение узла на два называется разбиением блока. Когда оно происходит, к родительскому узлу добавляется новый ключ и новый указатель. Если родительский узел уже заполнен, то это также может привести к его разбиению. Это, в свою очередь, потребует добавления новой записи на более высоком уровне и так далее. В наихудшем случае, вставка элемента вызовет «цепную реакцию», которая приведет к изменениям на всех вышележащих уровнях вплоть до разбиения корневого узла.
Когда происходит разбиение корневого узла, Б‑дерево становится выше. Это единственный случай, при котором его высота увеличивается. Поэтому Б‑деревья обладают необычным свойством — они всегда растут от листьев к корню.
Удаление элементов из Б‑дерева
Теоретически, удалить узел из Б‑дерева так же просто, как и вставить его. На практике, детали этого процесса достаточно сложны.
Если удаляемый узел не является листом, то его нужно заменить другим элементом, чтобы сохранить порядок элементов. Это похоже на случай удалений элемента из упорядоченного дерева или АВЛ‑дерева и его можно обрабатывать аналогично. Заменим элемент самым крайним правым элементом из левой ветви. Этот элемент всегда будет листом. После замены элемента, можно просто считать, что вместо него просто удален заменивший его лист.
Чтобы удалить элемент из листа, вначале нужно при необходимости сдвинуть все другие элементы влево, чтобы заполнить образовавшееся пространство. Помните, что каждый узел в Б‑дереве порядка K должен иметь от K до 2 * K элементов. После удаления элемента из листа, может оказаться, что он содержит всего K - 1 элементов.
В этом случае, можно попробовать взять несколько элементов из узлов на том же уровне. Затем можно распределить элементы в двух узлах так, чтобы они оба имели не меньше K элементов. На рис. 7.17 элемент удаляется из самого левого листа дерева, при этом в нем остается всего один элемент. После перераспределения элементов между узлом и правым узлом на том же уровне, оба узла имеют не меньше двух ключей. Заметьте, что средний элемент J перемещается в родительский узел.
@Рис. 7.17. Балансировка после удаления элемента
=======174
@Рис. 7.18. Слияние после удаления элемента
При попытке сбалансировать дерево таким образом, может оказаться, что соседний узел на том же уровне содержит всего K элементов. Тогда два узла вместе содержат всего 2 * K - 1 элементов, что недостаточно для заполнения двух узлов. В этом случае, все элементы из обоих узлов могут поместиться в одном узле, поэтому их можно слить. Удалим ключ, который отделяет два узла от родителя. Поместим этот элемент и 2 * K - 1 элементов из двух узлов в один общий узел. Этот процесс называется слиянием узлов (bucket merge или bucket join). На рис. 7.18 показано слияние двух узлов.
При слиянии двух узлов, из родительского узла удаляется ключ, при этом в родительском узле может остаться K - 1 элементов. В этом случае, может потребоваться балансировка или слияние родителя с одним из узлов на его уровне. Это также может привести к тому, что в узле на более высоком уровне также останется K - 1 элементов, и процесс повторится. В наихудшем случае, удаление приведет к «цепной реакции» слияний блоков, которая может дойти до корневого узла.
При удалении последнего элемента из корневого узла, два его оставшихся дочерних узла сливаются, образуя новый корень, и дерево при этом становится короче на один уровень. Единственный способ уменьшения высоты Б‑дерева — слияние двух дочерних узлов корня и образование нового корня.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48
