Реферат: Отрывок из учебника по теории систем и системному анализу

116

Глава 2

Основы оценки сложных систем

117

 

Ранжирование. Метод представляет собой процедуру упоря­дочения объектов, выполняемую экспертом. На основе знаний и опыта эксперт располагает объекты в порядке предпочтения, ру­ководствуясь одним или несколькими выбранными показателя­ми сравнения. В зависимости от вида отношений между объекта­ми возможны различные варианты упорядочения объектов.

Рассмотрим эти варианты. Пусть среди объектов нет одина­ковых по сравниваемым показателям, т.е. нет эквивалентных объектов. В этом случае между объектами существует только от­ношение строгого порядка. В результате сравнения всех объек­тов по отношению строгого порядка составляется упорядочен­ная последовательность а{ > а2> ... > aN, где объект с первым номером является наиболее предпочтительным из всех объектов, объект со вторым номером менее предпочтителен, чем первый объект, но предпочтительнее всех остальных объектов и т.д. По­лученная система объектов с отношением строгого порядка при условии сравнимости всех объектов по этому отношению обра­зует полный строгий порядок. Для этого отношения доказано существование числовой системы, элементами которой являют­ся действительные числа, связанные между собой отношением неравенства >. Это означает, что упорядочению объектов соот­ветствует упорядочение чисел х, >... > xn, где х,—ф Ц.). Возмож­на и обратная последовательность х, <... < xn, в которой наибо­лее предпочтительному объекту приписывается наименьшее чис­ло и по мере убывания предпочтения объектам приписываются большие числа.

Соответствие перечисленных последовательностей, т.е. их гомоморфизм, можно осуществить, выбирая любые числовые представления. Единственным ограничением является монотон­ность преобразования. Следовательно, допустимое преобразова­ние при переходе от одного числового представления к другому должно обладать свойством монотонности. Таким свойством допустимого преобразования обладает шкала порядков, поэто­му ранжирование объектов есть измерение в порядковой шкале.

В практике ранжирования чаще всего применяется числовое представление последовательности в виде натуральных чисел:

т.е. используется числовая последовательность. Числа х,, х2,..., xn в этом случае называются рангами и обычно обозначаются

буквами г, , г2, ... , rN. Применение строгих численных отноше­ний «больше» (>), «меньше» (<) или «равно» (=) не всегда позво­ляет установить порядок между объектами. Поэтому наряду с ними используются отношения для определения большей или меньшей степени какого-то качественного признака (отношения частичного порядка, например полезности), отношения типа «более предпоч­тительно» (>), «менее предпочтительно» (<), «равноценно» ( = ) или «безразлично» (~). Упорядочение объектов при этом может иметь, например, следующий вид:

Такое упорядочение образует нестрогий линейный порядок.

Для отношения нестрогого линейного порядка доказано су­ществование числовой системы с отношениями неравенства и равенства между числами, описывающими свойства объектов. Любые две числовые системы для нестрогого линейного порядка связаны между собой монотонным преобразованием. Следова­тельно, ранжирование при условии наличия эквивалентных объек­тов представляет собой измерение также в порядковой шкале.

В практике ранжирования объектов, между которыми допус­каются отношения как строгого порядка, так и эквивалентности, числовое представление выбирается следующим образом. Наи­более предпочтительному объекту присваивается ранг, равный единице, второму по предпочтительности - ранг, равный двум, и т.д. Для эквивалентных объектов удобно с точки зрения техно­логии последующей обработки экспертных оценок назначать одинаковые ранги, равные среднеарифметическому значению рангов, присваиваемых одинаковым объектам. Такие ранги на­зывают связанными рангами. Для приведенного примера упо­рядочения на основе нестрогого линейного порядка при N = 10 ранги объектов д3 , а4 , а5 будут равными г3 = г4 = г5 = (3+4+5) /3 = 4.

В этом же примере ранги объектов й9, а,0 также одинаковы и равны среднеарифметическому r9 = rlo = (9+10) 12 = 9,5. Связан­ные ранги могут оказаться дробными числами. Удобство исполь­зования связанных рангов заключается в том, что сумма рангов N объектов равна сумме натуральных чисел от единицы до N. При этом любые комбинации связанных рангов не изменяют эту сумму. Данное обстоятельство существенно упрощает обработ­ку результатов ранжирования при групповой экспертной оценке.

118

Глава 2

Основы оценки сложных систем

119

 

 

При групповом ранжировании каждый S-й эксперт присваи­вает каждому /-му объекту ранг rjs. В результате проведения экс­пертизы получается матрица рангов | | ris \ \ размерности Nk, где k- число экспертов; N- число объектов; S=l,k;i=l,N. Результа­ты группового экспертного ранжирования удобно представить в виде табл. 2.5.

Аналогичный вид имеет таблица, если осуществляется ран­жирование объектов одним экспертом по нескольким показате­лям сравнения. При этом в таблице вместо экспертов в соответ­ствующих графах указываются показатели. Напомним, что ран­ги объектов определяют только порядок расположения объектов по показателям сравнения. Ранги как числа не дают возможнос­ти сделать вывод о том, на сколько или во сколько раз предпоч­тительнее один объект по сравнению с другим.

Таблица 2.5

Результаты группового ранжирования

Объект	э,	Э2	...	э*
Й1	г\\	'12	...	r\k
«2	Г21	'22	...	r2k
...	...	...
ап	rnl	ГЛ	...	rnk

Достоинство ранжирования как метода экспертного изме­рения - простота осуществления процедур, не требующая трудо­емкого обучения экспертов. Недостатком ранжирования явля­ется практическая невозможность упорядочения большого чис­ла объектов. Как показывает опыт, при числе объектов, большем 10-15, эксперты затрудняются в построении ранжировки. Это объясняется тем, что в процессе ранжирования эксперт должен установить взаимосвязь между всеми объектами, рассматривая их как единую совокупность. При увеличении числа объектов количество связей между ними растет пропорционально квадра­ту числа объектов. Сохранение в памяти и анализ большой сово­купности взаимосвязей между объектами ограничиваются пси­хологическими возможностями человека. Психология утвержда-

ет, что оперативная память человека позволяет оперировать в среднем не более чем 7 ± 2 объектами одновременно. Поэтому при ранжировании большого числа объектов эксперты могут допускать существенные ошибки.

Парное сравнение. Этот метод представляет собой процедуру установления предпочтения объектов при сравнении всех возмож­ных пар. В отличие от ранжирования, в котором осуществляется упорядочение всех объектов, парное сравнение объектов являет­ся более простой задачей. При сравнении пары объектов возмож­но либо отношение строгого порядка, либо отношение эквива­лентности. Отсюда следует, что парное сравнение так же, как и ранжирование, есть измерение в порядковой шкале.

В результате сравнения пары объектов а;, а/ эксперт упоря­дочивает ее, высказывая либо я, >- а-, либо а, > at, либо at ~ а . Выбор числового представления ф(й(.) можно произвести так: если ai X а» то ф (а(.) > ф (о ); если предпочтение в паре обратное, то знак неравенства заменяется на обратный, т.е. ф (а,) < ф (а,). Если объекты эквивалентны, то можно считать, что ф (я,-) = ф (а ).

В практике парного сравнения используются следующие чис­ловые представления:

(2.1)

Хн = •

(

I, если а/ >- dj или at ~ Oj\ О, если а, ч о/, i,j = l,N;

(2.2)

2, если а,- >- ау-; 1, если а,- ~ uji О, если а; ч а .•, /, J = 1, N.

Результаты сравнения всех пар объектов удобно представлять в виде матрицы. Пусть, например, имеются пять объектов а,, а2, а3, а4, а5 и проведено парное сравнение этих объектов по пред­почтительности. Результаты сравнения представлены в виде

Используя числовое представление (2.1), составим матрицу измерения результатов парных сравнений (табл. 2.6).

120

Глава 2

Основы оценки сложных систем

121

 

Таблица 2.7

Таблица 2.6

Результаты измерения пяти объектов

	а\	°2	аз	Й4	°5
а\	\	2	2	2	0
°2	0	1	2	2	0
Й3	0	0	1	1	0
«4	0	0	1	1	0
°5	2	2	2	2	1

Матрица парных сравнений

	«1	°2	аЗ	°4	а5
«1	1	1	1	1	0
а2	0	1	1	1	0
аз	0	0	1	1	0
а4	0	0	1	1	0
°5	1	1	1	1	1

В табл. 2.6 на диагонали всегда будут расположены единицы, поскольку объект эквивалентен себе. Представление (2.2) харак­терно для отображения результатов спортивных состязаний. За выигрыш даются два очка, за ничью одно и за проигрыш ноль очков (футбол, хоккей и т.п.). Предпочтительность одного объек­та перед другим трактуется в данном случае как выигрыш одно­го участника турнира у другого. Таблица результатов измерения при использовании числового представления не отличается от таблиц результатов спортивных турниров за исключением диа­гональных элементов (обычно в турнирных таблицах диагональ­ные элементы заштрихованы). В качестве примера в табл. 2.7 при­ведены результаты измерения пяти объектов с использованием представления (2.2), соответствующие табл. 2.6.

Вместо представления (2.2) часто используют эквивалентное ему представление

хн -1

+ 1,  если  cn>aj', О,   если  ai~dj', -1, если  ai^aj-, i,j = l,N,

которое получается из (2.2) заменой 2 на +1, 1 на 0 и 0 на   1.

Если сравнение пар объектов производится отдельно по раз­личным показателям или сравнение осуществляет группа экспер­тов, то по каждому показателю или эксперту составляется своя таблица результатов парных сравнений. Сравнение во всех воз-

можных парах не дает полного упорядочения объектов, поэтому возникает задача ранжирования объектов по результатам их пар­ного сравнения.

Однако, как показывает опыт, эксперт далеко не всегда пос­ледователен в своих предпочтениях. В результате использования метода парных сравнений эксперт может указать, что объект а, предпочтительнее объекта а2, а2 предпочтительнее объекта а3 и в то же время а3 предпочтительнее объекта а,.

В случае разбиения объекта на классы эксперт может к одно­му классу отнести пары al и а2, а2 и а3, но в то же время объекты а, и а3 отнести к различным классам. Такая непоследовательность эксперта может объясняться различными причинами: сложнос­тью задачи, неочевидностью предпочтительности объектов или разбиения их на классы (в противном случае, когда все очевид­но, проведение экспертизы необязательно), недостаточной ком­петентностью эксперта, недостаточно четкой постановкой зада­чи, многокритериальностью рассматриваемых объектов и т.д.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10