Курсовая работа: Метод векторів та його застосування
5. Тривимірний векторний простір і його підпростори
Побудована нами не порожня множина вільних векторів, у якій введені операції додавання векторів, множення вектора на число, що задовольняють зазначені властивості, а саме:
,
:
+
= 
+ 
;
, 
, 
:(
+
) + 
= 
+ (
+ 
);
, 
: 
+
= 
+ 
=
;
(-
):
+ (-
) = 
;
: 1*
= 
;
α, β 
R, 
: α(β
) = (αβ)
;
α, β 
R, 
: (α + β)
= α
+ β
;
α 
R, 
, 
: α(
+
) = α
+ α
– називається векторним
простором. Позначимо його 
.
У векторних просторах розглядається поняття базису векторного простору і розмірності. Введемо означення цих понять.
Означення: базисом векторного простору називається система векторів, яка задана в певному порядку задовольняє умови:
1) ця система векторів лінійно незалежна;
2) будь-який інший вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.
Інакше кажучи, базисом векторного простору називається максимальна система лінійно незалежних векторів даного векторного простору.
Означення: розмірністю векторного простору називається число векторів базису, тобто максимальна кількість лінійно незалежних векторів.
З попередніх теорем випливає, що базисом побудованого нами векторного простору будь-яка система трьох не компланарних векторів, взятих у певному порядку. Справді, система будь-яких трьох некомланарних векторів лінійно незалежна, а за теоремою про розклад вектора за трьома не компланарними векторами будь-який вектор із даного векторного простору є лінійною комбінацією даної системи векторів.
Тому розмірність
даного простору 
дорівнює трьом. У зв’язку з цим побудований
нами векторний простір називається тривимірним векторним простором.
Означення:
нехай
L – непорожня
множина векторів із векторного простору 
. Множина L називається
векторним підпростором простору 
, якщо виконуються так
умови:
1)
якщо 
L, 
L, то 
+ 
L;
2)
якщо 
L, то і α
L 
α 
R.
Тобто
підмножина L простору 
буде векторним
підпростором простору 
, якщо вона сама
векторним простором.
6. Скалярний добуток векторів
Нехай
, 
− ненульов
вектори. Відкладемо від деякої точки O вектори 
=
, 
=
. Кутом між векторами 
і 
називається кут між
променями OA і OB (мал. 18).
Позначають: (
,
) = φ. Для будь-яких
векторів 
і 
маємо 0 ≤ (
,
) ≤ π.
Означення:
скалярним добутком двох векторів називається число, яке дорівню
добутку їх довжин на косинус кута між ними: 
=
cos(
,
).
Теорема:
скалярний
добуток векторів 
(
, 
, 
), 
(
, 
, 
), заданих в
ортонормованому базисі, обчислюються за формулою:
= 
+ 
+
. /6/
Доведення. Якщо один із
векторів або обидва нульові, то формула очевидна. Припустимо, що 
, 
і розглянемо два випадки.
1.
Вектори 
і 
не колінеарні.
Відкладемо вектори 
= 
, 
= 
(мал. 19). Нехай (
, 
) = φ.
З 
OAB за теоремою
косинусів 
– 2 OAOBcosφ, або 
,
звідки
=
. Отже, 
=
+
+ 
.
2.
Вектори 
і 
колінеарні. Тоді 
= λ
, 
=
λ
, 
= λ
, 
= λ
;
= λ
= 
cos(λ
, 
) = λ
= λ(
) = λ
+ λ
+ λ
= 
+ 
+
Теорему доведено.
З теореми і означення випливають такі властивості скалярного добутку векторів:
1. 
= 0 тоді і тільки тоді, коли 
, якщо 
, 
.
2. 
= 
=
= 
.
3. 
= 
.
