Курсовая работа: Метод векторів та його застосування
З цього правила випливає правило паралелограма: якщо
вектори 
і 
відкладені від спільного
початку O, 
=
, 
=
(мал. 6) і на них
побудовано паралелограм OACB, то сумою векторів 
+
є вектор 
=
, який виходить з того ж
початку і збігається з діагоналлю OC паралелограма.
Розглянемо властивості операції додавання векторів.
Властивість 1. Операція додавання векторів комутативна,
тобто для будь-яких векторів 
і 
: 
+
=
+
.
Доведення: За правилом
трикутника маємо (мал. 7):
Властивість 2. Операція додавання векторів асоціативна,
тобто для будь-яких векторів 
, 
, 
: (
+
)+
=
+(
+
)
Доведення: Візьмемо
довільну точку A і від не
відкладемо вектори 
=
, 
=
, 
=
(мал. 8). Тоді 
+
=
, (
+
)+
=
; 
+
=
; 
+(
+
)=
. Отже, (
+
)+
=
+(
+
).
Властивість
3. Сумою протилежних векторів є нуль-вектор: 
+(-
)=0.
Доведення.
Нехай 
=
, тоді -
=
, і за правилом
трикутника матимемо 
+(-
)=
+
=
=0.
Властивість
4.
Нуль-вектор є нейтральним елементом операції додавання: 
+
=
+
.
Доведення: Нехай 
=
, 
=
, тоді за
правилом трикутника 
+
=
+
=
=
.
З наведених
властивостей додавання векторів випливає, що операція додавання векторів має т
ж властивості, що й операція додавання чисел. Тому часто при перетворенні сум
векторів діємо так само, як і при перетворенні числових виразів: (
+
)+
=
+(
+
)=(
+
)+
=
(
+
).
Сума
більшої кількості векторів знаходиться за правилом многокутника.
Щоб знайти суму n векторів 
(мал. 9), потрібно з
довільної точки O відкласти вектор 
=
, з його кінця – вектор 
=
,…,
=
(початок кожного
наступного вектора-доданка є кінцем попереднього). Вектор 
=
буде сумою даних векторів.
Віднімання векторів
Операція віднімання векторів вводиться як протилежна до додавання.
Означення. Різницею векторів 
і 
називається такий вектор 
, який в сумі з вектором 
дає вектор 
: 
-
=
якщо 
+
=
. /1/
Доведемо, що вектор 
існує і притому
диний. Припустимо, що вектор 
існує. Тоді, додавши до обох
частин рівності вектор (-
) і користуючись властивостями
суми векторів, маємо: (-
)+
+
=(-
)+
. /2/
Отже,
якщо вектор 
існує, то він визначається попередньою рівністю /2/, а тому єдиний. Дійсно,
підставивши /2/ в /1/, одержимо правильну
рівність: 
+
+(-
)=
.
Отже,
вектор, який визначається формулою /2/, є різницею векторів 
і 
: 
-
=
+(-
)=
. За правилом трикутника 
+
=
. Звідси
=
-
(мал. 10).
Отже,
для побудови різниці векторів 
і 
досить відкласти
ці вектори від спільного початку (
=
,
=
) і провести вектор 
від кінця B
вектора-від’ємника до кінця C вектора-зменшуваного;
цей вектор і є шуканою різницею 
-
: 
=
-
.
Множення вектора на число
Означення.
Добутком вектора 
на дійсне число α називається
вектор 
, який задовольняє такі умови:
1) 
=
*
;
2) 
, якщо α
>0, і 
, якщо α <0.
Такий
вектор позначається 
= α 
.
Операція добутку вектора на число має такі властивості.
Властивість
1.
α*
=0*
=
для будь-якого дійсного
числа α і будь-якого вектора 
. Ця властивість виплива
з умови 1) означення.
Властивість
2.
Для будь-якого вектора 
1*
=
; -1*
=-
. Ця властивість
випливає безпосередньо з означення.
Властивість
3.
Для будь-якого вектора 
і будь-яких дійсних чисел α і β:
α(β
)=(αβ) 
.
Доведення. Нехай
α(β
)=
, (αβ) 
=
. Доведемо, що 
=
. Маємо:
=
*
=
*
*
,
=
*
=
*
*
.
Отже,
=
. Покажемо, що 
.
Якщо α і β одного знаку, то вектор 
однаково
напрямлений з 
і 
однаково напрямлений з 
.Отже, 
.
У випадку коли числа α і β протилежних знаків, 
, 
. Отже, також 
,
що й треба було довести.
