Курсовая работа: Метод векторів та його застосування

Властивість 4. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання векторів, тобто α(+)=α+α, для  , і α  R.

Доведення. Нехай α > 0. Відкладемо вектори =, =, =α, =α  (мал. 11). Тоді +=, α+α=. Покажемо, що =α. Оскільки вектори  і α ,  і α відповідно однаково напрямлені, то відповідні кути A і  у трикутників OAB і  рівні (як кути утворені при перетині двох паралельних прямих третьою). Крім того, сторони цих трикутників, що прилягають до рівних кутів, пропорційні: . Тому OAB ~ . Звідси випливає, що OAB=, а це означає, що промені OB і  збігаються, тобто . Крім того =α*=*. Тому =α*.

Аналогічно розглядається випадок, коли α <0 (мал. 12).

Випадок α = 0 тривіальний. Отже, α (+) = α+α.

Властивість 5. Операція множення вектора на число дистрибутивна відносно додавання чисел, тобто (α+β)=α+β,   і α, β R.

Доведення. Розглянемо два можливих випадки: αβ >0 і αβ <0 (випадок αβ=0 не викликає труднощів).

1. Нехай αβ >0, тобто числа α і β одного знаку. Тоді вектори (α+β) і α+β однаково напрямлені. Крім того,

;

.

Отже,  і вектори (α+β) та α+β рівні.

2. Нехай αβ <0, тобто числа α і β різних знаків. Якщо α = -β, то (α+β)=(-β+β)=0=0; α+β= -β+ β=0, отже, властивість справджується.

Якщо α-β, тоді –α, α+β або β, α+β одного знаку. Нехай, наприклад, -α, α+β одного знаку. Тоді за доведеним (-α)+ (α+β)=(-α+α+β)=β(α+β)= α+β, що і треба було довести.

2. Колінеарність векторів

Означення. Два ненульових вектори  і  називається колінеарними, якщо відповідні їм напрямлені відрізки паралельні або лежать на одній прямій.

Позначення: ||(мал. 13).

Очевидно, колінеарні вектори або однаково напрямлені (мал. 13а), або протилежно напрямлені (мал. 12b). Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору. Тому, якщо відомо, що деякі два вектори неколінеарні, то жоден з них не є нульовим вектором.

Теорема. (перша ознака колінеарності двох векторів). Два ненульових вектори  і  колінеарні тоді і тільки тоді, коли існує деяке число α таке, що =α. /1/

Доведення.

1. Необхідність. Нехай ||. Тоді або , або . Якщо , то =, оскільки ц вектори однаково напрямлені, то вони мають однакові модулі: ==. Позначивши α =, дістанемо =α. Якщо , то аналогічно доводиться, що = -. Нехай α = -, тоді також = α.

2. Достатність. Нехай виконується рівність /1/, тоді  і  або однаково, або протилежно напрямлені, а отже, вони колінеарні. Теорему доведено.

Зауваження 1. Якщо = 0, 0, то теорема також справджується. У цьому випадку α =0.

Зауваження 2. Оскільки для колінеарних векторів  і  завжди існує тільки одне число α таке, що = α , то звідси формально можна написати: α =, тобто можна розглядати відношення двох колінеарних векторів.

Відношення :  двох колінеарних векторів розуміють як число, на яке треба помножити вектор , щоб дістати вектор . Отже, відношенням двох колінеарних векторів є число, яке дорівнює відношенню їх модулів, взяте з знаком «плюс», якщо вектори  і  однаково напрямлені, і з знаком «мінус», якщо вектори протилежно напрямлені.

3. Компланарність векторів

Означення. Три ненульових вектори називаються компланарними

якщо відповідн м напрямлені відрізки паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Очевидно, що коли компланарні вектори ,, відкласти від довільно точки O (=, =,=), то точки О, А, В, С лежатимуть в одній площині (мал. 14).

Отже, якщо вектори компланарні, то існують такі їх представники, як лежать в одній площині.

Очевидно, що якщо серед трьох векторів є два колінеарних, то ц вектори компанарні. І навпаки, якщо три вектори некомпланарні, то серед них нема колінеарних.

Теорема 1. (про розклад вектора за двома не колінеарними векторами). Якщо вектори ,, компланарні, а вектори , неколінеарні, то снують єдині числа α, β такі, що: = α + β. /2/

Інакше кажучи, вектор  можна розкласти за векторами  і  і до того ж єдиним способом.

Доведення. Доведемо спочатку існування чисел α β, що задовольняють рівність /2/. Відкладемо від деякої точки O вектори =, =, =. Оскільки ц вектори компланарні, то точки О, А, В, С лежать в одній площині. Вектори  і  неколінеарні, тому O, A, B не лежать на одній прямій.

Можливі два випадки:

1.                 Точка С належить прямій ОВ (мал. 15a). Тоді вектори  і  колінеарні і, отже, за попередньою теоремою, = β, де β – деяке число. Отже,  =0*+ β, тобто має місце розклад /2/.

2.                 С  (ОВ). Проведемо || OB (мал. 15b). Тоді за правилом трикутника =+. Але ця рівність можлива тільки тоді, коли α =, β =. Дійсно, якби, наприклад, α , то було б, ||, що суперечить умові теореми. Отже, припущення неправильне. Тому існує єдиний розклад вектора  за векторами  і . Теорему доведено.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7