Быстрый поиск

Курсовая работа: Метод векторів та його застосування

Теорема 2. (про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами). Якщо вектори , , некомпланарні, то для будь-якого вектора , існують і притому єдині числа α, β, γ такі, що = α+β+γ .

Лінійна залежність векторів

Означення. Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі числа , ,…, серед яких хоча б одне відмінне від нуля, що ++ … += 0. / 4/

Якщо ж рівність /4/ справджується тільки при ==…== 0, то дана система векторів називається лінійно незалежною.

Сума ++ … + називається лінійною комбінацією векторів .

Розглянемо деякі властивості лінійної залежності векторів, як будуть потрібні надалі.

Властивість 1. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли хоча б один з векторів є лінійною комбінацією інших векторів ц системи.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів лінійно залежна. Тоді існують такі числа , ,…, , що ++ … += 0 /5/

При цьому принаймні одне з чисел , ,…, не дорівнює нулю. Нехай, наприклад, 0. Тоді з рівності /5/ дістанемо:

= – – – – .

Отже, вектор є лінійною комбінацією векторів , ,…, ,…, .

3. Достатність. Нехай у даній системі векторів вектор є лінійною комбінацією інших векторів:

=++ … +++ … +.

Цю рівність можна записати так:

++ … + + (-1) ++ … += 0.

У цій рівності коефіцієнт біля відмінний від нуля, тому дана система векторів лінійно залежна.

Властивість 2. Якщо частина даної системи векторів лінійно залежна, то і вся система векторів лінійно залежна.

Властивість 3. Якщо система векторів лінійно незалежна, то будь-яка її частина також лінійно незалежна.

Ця властивість безпосередньо випливає із властивості 2, бо якби деяка частина даної системи векторів була лінійно залежною, то і вся система була б лінійно залежною.

Властивість 4. Система лінійно незалежних векторів не містить нульового вектора.

Якщо в деякій системі векторів є нульовий вектор: , , то

виконується рівність 1* + 0* +… + 0* =0. 10, тому така система лінійно залежною, а, отже, система лінійно незалежних векторів не може містити нульового вектора.

Для системи двох і трьох векторів поняття лінійної залежност тісно пов'язане з колінеарністю і компланарністю векторів. Справедливі так теореми.

Теорема 1. Два вектори і лінійно залежні тоді і тільки тоді, коли вони колінеарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , лінійно залежна. Тоді за
властивістю 1 один із векторів лінійно виражається через другий: = α,
звідки випливає, що вектори і колінеарні.

2. Достатність. Нехай вектори і колінеарні. Тоді існує таке число α, що = α . Із властивості 1 випливає, що вектори і лінійно залежні. Теорему доведено.

Теорема 2. Система трьох векторів , , лінійно залежна тод тільки тоді, коли ці вектори компланарні.

Доведення.

1. Необхідність. Нехай система векторів , , лінійно залежна. Тоді за властивістю 1 один із векторів є лінійною комбінацією інших векторів. Нехай, наприклад, = α+β. Із означення суми векторів випливає, що вектори , α, β компланарні, а тод вектори , , будуть компланарними, бо || α, || β.

2. Достатність. Нехай вектори , , компланарні. Якщо ||, то за попередньою теоремою вектори , лінійно залежні, а за властивістю 2 лінійно залежними будуть і вектори , , . Якщо ж не ||, то за теоремою про розклад вектора за двома не колінеарними векторами = α+β. То за властивістю 1 система векторів , , лінійно залежна. Теорему доведено

4. Координати вектора

Нехай (, , ) деякий базис простору , – довільний вектор цього простору. За теоремою про розклад вектора за трьома некомпланарними векторами існують єдині числа , , такі, що

= + + .

Коефіцієнти , , розкладу вектора за базисними векторами називаються координатами вектора в даному базисі. При цьому число називається першою координатою, число – другою, а число – третьою.

Якщо вектор в даному базисі має координати ,, , то скорочено це записують так: (, , ) або .

Встановимо геометричний зміст координат вектора в даному базисі. Для цього відкладемо вектори , , і від деякої точки О простору (мал. 16): =, =, =, =.