Курсовая работа: Метод векторів та його застосування
Тому 
= 
;
> 0, якщо 
і 
< 0, якщо 
;
= 
;
> 0, якщо 
і 
< 0, якщо 
.
Аналогічно,
= 
;
> 0, якщо 
і 
< 0, 
.
Отже,
координата 
з точністю до знака дорівнює довжині відрізка 
виміряному в одиницях довжини 
. Знак же координати 
залежить від
напрямку векторів 
і 
: 
> 0, якщо 
і 
< 0, якщо 
. Аналогічно
зміст двох інших координат 
і 
.
Базисн
вектори в самому базисі мають координати 
(1; 0; 0), 
(0; 1; 0), 
(0; 0; 1).
Аналогічно
визначаються координати вектора в просторі 
. Базис цього
підпростору складається з двох не колінеарних векторів. Нехай система векторів 
, 
є базисом підпростору 
. Тоді за теоремою про розклад вектора за двома
не колінеарними векторами для будь-якого вектора 
із підпростору 
існують єдині числа 
, 
такі, що 
= 
+ 
. Коефіцієнти 
, 
цього розкладу називаються координатами вектора 
в базисі (
,
). Число 
називається першою координатою, а число 
– другою.
Аналогічним
геометричний зміст координат вектора в підпросторі 
(мал. 17):
= 
+ 
=
+ 
.
= 
,
> 0, якщо 
і 
< 0, якщо 
;
= 
;
> 0, якщо 
і 
< 0, якщо 
.
Базисн
вектори мають координати: 
(1; 0), 
(0; 1). Координати вектора в даному базис
повністю задають вектор.
Розглянемо властивості координат векторів.
Теорема (2-га ознака рівності векторів): для того, щоб два вектори були рівними, необхідно і достатньо, щоб були рівними їх відповідні координати.
Твердження цієї теореми очевидне, воно випливає з єдиності розкладу вектора за трьома не компланарними векторами.
Теорема: справедливі так твердження:
1) координати суми двох векторів дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів;
2) координати різниці двох векторів дорівнюють різниці відповідних координат цих векторів;
3) координати добутку вектора на число дорівнюють добутку відповідних координат цього вектора на дане число.
Доведення:
доведемо наприклад перше твердження. Нехай у деякому базисі (
,
,
), 
(
, 
, 
), 
(
, 
, 
). Тоді за означенням координат вектора
= 
+
+ 
, 
= 
+ 
+
.
Отже,
+ 
= 
+ 
+
+ 
+ 
+
= (
+ 
)
+ (
+
)
+ (
+
)
.
Звідси
випливає, що координати вектора 
+ 
відповідно
дорівнюють 
+ +
, 
+
, 
+ 
, що й треба було
довести.
Аналогічно доводяться й інші властивості.
Теорема
(2-га
ознака колінеарності двох векторів): для того, щоб два вектори 
(
, 
, 
), 
(
, 
, 
) задані в деякому базисі (
,
,
), були колінеарними,
необхідно і достатньо, щоб їх координати були пропорційними.
Доведення: якщо 
= 
, то твердження очевидне.
Припустимо, що 
.
1.
Необхідність. Нехай 
|| 
. Тоді існує таке
число λ, що 
= λ
, звідки випиває, що 
= λ
, 
=
λ
, 
= λ
;
= λ.
Отже, якщо вектори колінеарні, то їх координати пропорційні.
2.
Достатність. Нехай 
= λ, тоді 
= λ
, 
=
λ
, 
= λ
. Помноживши ці рівності на вектори 
, 
, 
відповідно,
дістанемо 
= λ
, 
= λ
, 
= λ
. Додавши ці рівност
дістанемо 
+ 
+ 
=
λ
+ λ
+ λ
або 
+ 
+ 
=
λ(
+ 
+ 
), тобто 
= λ
|| 
. Теорему
доведено.
