Дипломная работа: Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

. (3.5)

Очевидно, скалярное произведение двух векторов

и квадрат длины вектора  в прямоугольной системе координат вычисляются по формулам вида

  (3.6)

   (3.7)

За расстояние между двумя точками M(х1, х2) и N(y1, y2) определению принимается длина вектора :

d(M,N)2=(y1 - x1) - (y2 - x2)2.

Величиной угла между векторами  и  называется число, определенное по формуле

   (3.8)

В правой части (3.8) числитель положительный, а знаменатель при неизотропных векторах ,  может быть положительным и отрицательным.

Если векторы ,  одной природы, т. е. оба множителя в знаменателе одновременно пространственные или временные, то , если же один из векторов пространственный, а другой временный, то .

Нетрудно далее доказать, что числитель в (3.8) не меньше знаменателя. Действительно, если координаты векторов  и  будут соответственно (х1, х2) и (у1, у2) в некоторой прямоугольной системе координат, то

.

Следовательно, если векторы ,  одновременно будут пространственными или временными, то

. (3.9)

Полагая в этом случае , получим

.  (3.10)

В псевдоевклидовой плоскости существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора, если направляющий вектор будет пространственным, временным или изотропным, то прямая называется соответственно пространственной, временной или изотропной.

г) Перейдем теперь к определению понятия окружности.

Окружностью в псевдоевклидовой плоскости называется множество ее точек, отстоящих от данной точки, называемой центром на одно и то же расстояние r; величина r называется радиусом окружности. Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре окружности, убедимся, что координаты текущей точки (х1, х2) данной окружности удовлетворяют уравнению

.

В этой геометрии существует три типа окружностей - окружности вещественного, чисто мнимого и нулевого радиусов. На рис. 13 окружности нулевого радиуса изображаются с точки зрения евклидовой геометрии биссектрисами координатных углов, окружности вещественного радиуса - гиперболами, пересекающими ось Ох1 и окружность чисто мнимого радиуса - гиперболами, пересекающими ось Ох2.

д) В заключение рассмотрим вкратце движения в псевдоевклидовой плоскости. Движение определяется как преобразование, соответствующие точки которого имеют одни и те же координаты относительно исходной и произвольно заданной прямоугольных систем координат. Как и в евклидовой геометрии доказывается, что движение является изометрией и, обратно, всякая изометрия является движением. Изометрия определяется как преобразование, сохраняющее расстояние между двумя произвольными точками. Как и в геометрии евклидовой плоскости, движения можно разделить

на собственные движения - движения с определителем  = 1 и несобственные - движения с определителем  = - 1. Но теперь каждую из этих совокупностей в свою очередь можно разделить на две совокупности. Чтобы убедиться в этом, отметим предварительно следующие два замечания.

Во-первых, ясно, что пространственные, временные и изотропные векторы при движениях остаются соответственно пространственными, временными и изотропными.

Во-вторых, при непрерывных вращениях вокруг данной точки векторы изотропного конуса отделяют в этой точке временные векторы от пространственных.

Перейдем теперь к дальнейшему разделению на части движений псевдоевклидовой плоскости. Нетрудно видеть, что в формулах

 (3.11)

определяющих вращение, величина  не обращается в нуль. В самом деле, предположим, что в (3.11) коэффициент  равняется нулю. В таком случае пространственный вектор {1, 0} при вращении (3.11), перешел бы в вектор {0, }, который является временным, что невозможно. Таким образом, при изменениях координатных векторов , вызываемых непрерывными вращениями, коэффициент  будет знакопостоянным.

Следовательно, все движения делятся на четыре типа в зависимости от значения определителя преобразования  = 1 или  = - 1 и знака  > 0 или  < 0.

Представителями этих четырех типов будут, например, движения с матрицами:

Псевдоевклидово трехмерное пространство

а) обобщим построения псевдоевклидовой плоскости на трехмерные пространства. Аксиомы псевдоевклидова трехмерного пространства совпадают с аксиомами Вейля псевдоевклидовой плоскости, за исключением аксиом размерности III. Теперь в аксиоме III-I речь идет о существовании трех линейно независимых векторов, а в аксиоме III, 2 - всякие четыре вектора линейно зависимы.

Скалярное произведение двух векторов ,  в псевдоевклидовом пространстве будем обозначать, как и в случае псевдоевклидовой плоскости, символом . Векторы ,  - перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

Число  называется скалярным квадратом вектора. Длиной вектора  называется корень квадратный из скалярного квадрата этого вектора и обозначается через :

.

Подкоренное выражение может быть >0, <0, и  = 0. Длины векторов соответственно этим случаям будут вещественные, чисто мнимые и нулевые. Векторы вещественной длины называются также пространственными, векторы чисто мнимой длины — временными и векторы нулевой длины — изотропными.

В псевдоевклидовом пространстве вводится прямоугольная система координат. По определению так называется аффинная система координат, векторы которой  единичны или мнимоединичны и взаимно перпендикулярны. Будем рассматривать так называемое пространство Минковского, в котором из трех координатных векторов прямоугольной системы координат два единичные, а третий — мнимоединичный. Будем считать, что

 (3.12)

В этой системе координат скалярное произведение двух векторов и квадрат длины вектора , очевидно, вычисляются по формулам вида

И квадрат длины вектора , очевидно, вычисляются по формулам вида

,   (3.13)

.  (3.14)

За расстояние между двумя точками М(x1, x2, x3) и N(y1, y2, y3) по определению принимается длина вектора , т. е.

. (3.15)

Величиной угла между векторами  и  называется число, определенное по формуле

.

Если векторы ,  одной природы, т. е. оба пространственные или временные, то . Более того, , если для х, у выполняется неравенство Коши и , если неравенство это не выполняется. Полагая в последнем случае , получим .

б) В псевдоевклидовом пространстве существует три типа прямых в зависимости от природы ее направляющего вектора. Здесь существуют также три вида плоскостей в зависимости от природы ее нормального вектора.

в) Подробнее рассмотрим вопрос о сферах. Сферой псевдоевклидова пространства П3 называется множество точек этого пространства, отстоящих от данной точки А, называемой центром сферы, на одно и то же расстояние r. Величина r называется радиусом сферы.

Выбирая прямоугольную систему координат с началом в центре сферы, убедимся в том, что координаты х1, х2, х3 текущей точки сферы радиуса r удовлетворяют уравнению

.   (3.17')

Ясно, что первые два координатных вектора прямоугольной системы здесь предполагаются единичными, а третий вектор — мнимоединичным.

В псевдоевклидовом пространстве существуют три типа сферы вещественного, чисто мнимого и нулевого радиуса.

Уравнение сферы вещественного радиуса r совпадает (3.17'), в котором величина r вещественная. Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, где k вещественное, то уравнение (3.17') приводится к виду

  (3.17)

Если же сфера будет нулевого радиуса, то из (3.15) следует, что

.  (3.18)

Уравнение (3.18) в евклидовом пространстве является уравнением конуса, а предыдущие два - уравнениями гиперболоидов.

Ясно, что конус (3,18) состоит из асимптот сфер (3.17, 17'), имеющих центр в начале координат. Очевидно, асимптотический конус сферы совпадает с изотропным конусом ее центра. Из уравнения (3.15) следует также, что на сферах псевдоевклидова пространства имеются прямолинейные образующие - прямые целиком лежащие на сфере.

Очевидно, линией пересечения сферы с плоскостью является
окружность. Если секущая плоскость проходит через начало
Координат, то радиус окружности принимает значение, равное
радиусу сферы. Получаемые таким образом окружности сферы называются большими окружностями.

За сферическое расстояние  между двумя точками М (), N () сферы принимаем расстояние по большой окружности, соединяющей данные точки. Очевидно, это расстояние равняется произведению радиуса сферы на значение угла, образованного радиусами векторами ,. Следовательно, сферическое расстояние  определяется по формуле

.  (3.19)

Если сфера чисто мнимого радиуса r = ki, то формула (3.19) приводится к виду

.

Геометрия Лобачевского

Убедимся теперь, что геометрия сферы чисто мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве является Двухмерной геометрией Лобачевского. Ограничиваясь лишь одной, например, верхней полой сферы, покажем, что во множестве ее точек и больших окружностей осуществляется планиметрия Лобачевского. Для простоты эти точки можно спроектировать из центра сферы на касательную к ней плоскость в точке N. Кривую пересечения касательной плоскости с изотропным конусом будем называть абсолютом.

При проектировании точки полусферы перейдут во внутренние точки круга, ограниченного абсолютом, а большие окружности - в хорды абсолюта. Очевидно, последние являются линиями пересечения плоскостей больших окружностей с внутренностью абсолюта. Инцидентность точек и прямых понимается в обычном смысле. Ясно, что в системе точек внутренности абсолюта и его хорд аксиомы 1,1 - 3 выполняются. Аналогично аксиомы II порядка и IV непрерывности переходят в истинные предложения геометрии касательной плоскости. Что касается аксиом III группы - аксиом конгруентности, то они также переходят в истинные предложения трехмерной псевдоевклидовой геометрии. При этом считаем конгруентными те отрезки (углы), которым на сфере чисто мнимого радиуса отвечают совмещающиеся при некоторых вращениях сферы дуги больших окружностей (углы между большими окружностями).

Выясним теперь, какая выполняется аксиома параллельности: V или V’.

Предположим, что нам дана на верхней полусфере большая окружность и не лежащая на ней точка. В связке прямых и плоскостей, центр которой совпадает с центром сферы, этой большой окружности и точке отвечают соответственно плоскость и прямая a связки.

Очевидно, что через прямую а можно провести бесчисленное множество плоскостей связки, рассекающих полусферу по большим окружностям, не пересекающимися с данной большой окружностью. Таким образом в рассматриваемой модели выполняется аксиома параллельности Лобачевского. Другими словами, плоскостная геометрия Лобачевского совпадает с геометрией сферы чисто мнимого радиуса.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9