Дипломная работа: Развитие понятия "Пространство" и неевклидова геометрия

Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии.

Формулы прямоугольного треугольника в сферической геометрии

Перейдем к выводу некоторых формул сферической геометрии. Пусть в евклидовом пространстве нам дана сфера радиуса R. Возьмем на ней прямоугольный треугольник AВС со сторонами a, b, с, которые будут дугами больших кругов соответственно ВС, СА и АВ, причем условимся считать (рис. 2). Последнее означает, что касательные в точке С, проведенные к большим дугам СА, СВ, перпендикулярны. Выясним связь между линейными и угловыми элементами данного прямоугольного треугольника.

Опустим из точки В перпендикуляры ВС1, и ВА1 на прямые ОС и ОА евклидова пространства. Из треугольника ОВС1, имеем

 (*)

Аналогично из треугольников OBA1 и BA1C1 следует, что

  (**)

Исключая из этих трех соотношений BC1 и BA1, получим

 (1.1)

Формула (1.1) показывает, что синус приведенного катета равняется синусу приведенной гипотенузы, умноженному на синус противолежащего угла треугольника.

В предыдущем рассуждении основание С1, перпендикуляра ВС1, может совпадать с центром сферы или быть левее его на диаметре ОС. Но можно убедиться, что получаемые ниже формулы, как и формула (1.1), будут всегда справедливы. Кстати отмечу еще раз, что рассматриваются только такие сферические треугольники, которые определяются его вершинами и наименьшими дугами больших окружностей, попарно их соединяющими.

Выясним связь гипотенузы c с катетами а и b. Из треугольника ОВС1, имеем

  (1.2)

Далее из треугольника ОВА1 и ОС1А1 следует, что

Исключая из полученных трех равенств ОС1 и ОА1 будем иметь

.  (1.3)

Эта формула выражает теорему Пифагора: косинус приведенной гипотенузы прямоугольного треугольника равняется произведению косинусов приведенных катетов. Аналогичным образом выводятся другие формулы. Например, из прямоугольного треугольника А1ВС1 следует, что

 (1.4)

Далее, так как

то из (1.2) имеем

  (1.5)

С другой стороны,

  (1.6)

Из (*, 1.4- 1.6) вытекает, что

  (1.7)

Наряду с этой формулой справедлива также парная формула

 (1.7')

Перемножая почленно последние два соотношения, получим

Отбрасывая ненулевые сомножители и применяя теорему Пифагора, окончательно будем иметь

 (1.8)

Возьмем теперь другое выражение А1С1 через соs A. Так как

то из (**) и (1.5-1.6), имеем

Отсюда следует, что

  (1.9)

Из (1.1) вытекает также, что

Последние два равенства дают

Или

  (1.10)

Доказанные формулы прямоугольного треугольника можно выписать, пользуясь так называемым правилом Непера. Чтобы сформулировать это правило, условимся располагать элементы прямоугольного треугольника а, В, с, А, b в указанном на циклическом порядке.

Для каждого из этих элементов предшествующий и последующий элементы называются прилежащими, а остальные два элемента — противолежащими. Для катета b, например, элементы a, А будут прилежащими, а элементы с, В — противолежащими. Прилежащими элементами для гипотенузы являются углы A и В, а противолежащими — катеты а и b.

Сформулируем теперь правило Непера. Косинус любого элемента сферического прямоугольного треугольника равняется произведению синусов противолежащих элементов или произведению котангенсов прилежащих элементов. Если под знаком функции стоит катет, то тригонометрическая функция меняется на смежную - синус а косинус, тангенс на котангенс и наоборот. Заметим также, что во всех формулах длины катетов и гипотенузы делятся на радиус сферы R.

Формулы косоугольного треугольника в сферической геометрии

Получим сначала теорему косинусов. Пусть АВС произвольный сферический треугольник. Опустим из вершины В высоту ВD. Применяя к треугольнику ВDС теорему Пифагора, получим

,

где d=AD, a=BC, b=BC, AB=c.

Перепишем предыдущее равенство, преобразуя второй множитель о формуле косинуса разности:

.(1.11)

Первый и третий множители в первом члене правой части по теореме Пифагора дают . Упростим второй член в правой части. Так как

,

то заменяя  по формуле (1.9) на , получим

Таким образом, из (1.11) следует, что

 (1.12)

Эта зависимость, выражающая сторону сферического треугольника через две другие стороны в косинус противолежащего угла, называется теоремой косинусов.

Докажем теперь теорему синусов. Из прямоугольного треугольника АВD и ВDС (рис. 6) получаем

Отсюда следует, что

Если опустить теперь высоту из вершины А, то будем иметь

Следовательно

 (1.13)

Эти зависимости сторон и синусов противолежащих углов составляют теорему синусов сферического треугольника АВС.

Вторая теорема косинусов

Предположим, что сферический треугольник А1В1С1, является полярным к данному треугольнику АВС. Применяя к нему теорему косинусов, получим

Но в силу формул (см. Полярные треугольники), имеем

Заменяя в предыдущем равенстве стороны и углы только что выписанными выражениями, получим

Или

 (*)

Формула и составляет содержание 2-й теоремы косинусов: Косинус угла сферического треугольника равен произведению косинусов двух других углов, взятому с обратным знаком, и сложенному с произведением синусов тех же углов на косинус приведенной противоположной стороны. Аналогичные две формулы можно получить круговой заменой линейных и угловых элементов данного треугольника АВС.

Из второй теоремы косинусов следует, что в сферической геометрии не существует неравных треугольников с соответственно равными углами. Другими словами, если углы, одного сферического треугольника равны соответствующим углам другого сферического треугольника, то такие треугольники равны.

В заключение установим лишь совпадение формул сферической геометрии для фигур с малыми линейными размерами с соответствующими формулами евклидовой геометрии.

О сферической геометрии в малом

Пусть линейные размеры а, b, с сферического треугольника малы по сравнению с радиусом сферы R. Очевидно, эти условия можно осуществить за счет малости указанных линейных размеров или за счет выбора достаточно большого значения R. Из формулы, выражающей теорему косинусов, следует

Учитывая в этом равенстве члены до второго порядка малости включительно, получим теорему косинусов евклидовой геометрии:

 (1.14)

В случае прямоугольного сферического треугольника с углом имеем cos A=0 и формула (1.12) в пределе приводит к соотношению

,

составляющему теорему Пифагора в геометрии Евклида. Это равенство следует также из (1.14) при .

Так как при малых размерах приведенных сторон их синусы в первом приближении пропорциональны аргументам, то из (1.13) следуют две связи

,

выражающие теорему синусов в евклидовой геометрии.

Следовательно, формулы сферической геометрии для фигур с малыми линейными размерами по сравнению с радиусом сферы совпадают с соответствующими формулами евклидовой геометрии. Аналогичный результат получим ниже при рассмотрении формул геометрии Лобачевского.

2.2 Эллиптическая геометрия на плоскости

Были показаны простейшие факты сферической геометрии, в которой всякие две прямые пересекаются в двух диаметрально противоположных точках. Для того, чтобы освободиться от указанного недостатка и прийти к новой геометрии, в которой прямые имели бы не более одной общей точки, условимся считать всякую пару диаметрально противоположных точек сферы за одну точку. Полученную новую поверхность после такого отождествления пар точек сферы будем называть эллиптической плоскостью и обозначать символом S2.

Ясно, что получим ту же плоскость, если будем строить фактормножество множества векторов евклидова пространства отношению эквивалентности в которой   тогда и только тогда, когда векторы  и  непропорциональны.

Прямые эллиптической плоскости получаются из больших кругов в результате указанного отождествления пар точек и будут по-прежнему замкнутыми линиями. Но построенная плоскость S2 стала принципиально новым объектом математического исследования.

Оставаясь замкнутой поверхностью, она утратила свойство двухсторонности. Эллиптическая плоскость является односторонней поверхностью, то есть, раскрашивая какую-нибудь одну сторону этой поверхности, раскрасим ее с обеих сторон. В эллиптической геометрии отсутствует понятие точки, лежащей между двумя другими, если они инцидентны прямой, так как две точки на прямой определяют два взаимно дополнительных отрезка. В этой геометрии можно установить понятие разделения двух пар точек А, В и М, N, инцидентных прямой. Пара A, B разделяет пару М, N, если точки М, N лежат в разных отрезках, определенных на данной прямой точками А и В. Можно убедиться, что пара точек A, В разделяет пару М, N тогда и только тогда, когда двойное отношение

(АВМN) = АМ/ВМ:АN/ВN

четырех точек А, В, М, N отрицательно.

Разумеется, эллиптическую плоскость можно представить себе также в виде полусферы, у которой диаметрально противоположные точки экватора считаются за одну точку. Объекты новой модели находятся в определенных сопоставлениях с объектами известной модели на сфере. Благодаря этому без обращения к аксиомам выводим, что эти две модели реализуют одну и ту же геометрию.

Проектирование из центра О евклидова пространства на плоскость, касательную к сфере в точке С, где ОС, переводит прямые эллиптической плоскости в прямые евклидовой плоскости . Если к точкам касательной плоскости присоединить несобственные точки, то построенное центральное проектирование будет взаимно однозначным отображением всех точек эллиптической плоскости на все точки расширенной евклидовой (проективной) плоскости. Не будем выписывать систему аксиом эллиптической геометрии и заметим лишь, что ее можно получить из аксиом проективной геометрии и аксиом конгруентности.

Все понятия плоскости S2 переводятся по отображению в некоторые понятия двухмерной проективной геометрии. Сопоставление соответствующих геометрических образов полученной проективной модели характеризуется следующей таблицей:

«точка»	точка проективной плоскости
«прямая»	прямая проективной плоскости
«равенство отрезков»	равенство прообразов отрезков

Большое достоинство проективной модели состоит в том, что точки и прямые в ней изображаются привычными для нас образами. Однако, при изучении свойств конгруентных фигур сферическая модель становится более удобной.

Заметим также, что прямые и плоскости связки О евклидова пространства определяют новую модель плоскости S2, соответствующие геометрические образы которой представляются следующей таблицей:

S2	Связка прямых и плоскостей в Е3
«точка»	Плоскость связки
«разделение двух пар точек»	Разделение двух пар прямых одного и того же пучка прямых
«расстояние между двумя точками»	Величина, пропорциональная углу, между двумя прямыми связки

Реализация эллиптической плоскости в виде сферы, у которой диаметрально противоположные точки отождествлены, позволяет на этой плоскости ввести координаты (х, у, z), связанные соотношением

x2+y2+z2=R2;

где R называется радиусом кривизны, а обратная величина квадрата радиуса — кривизной. В этих координатах расстояние а между двумя точками А (х1, у1, z1) и В(х2, у2, z2 ) определяется по формуле

. (2.1)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9