Дипломная работа: *-Алгебры и их применение
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк при к = 1,2. Пусть Нк┴ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1Н1┴ , Н=H2Н2┴
Введем дополнительные обозначения :
Н0,0 = Н1┴ ∩Н2┴, Н0,1 = Н1┴ ∩Н2, Н1,0 = Н1 ∩Н2┴, Н1,1 = Н1 ∩Н2. (1.1.)
Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0 инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление π не может быть неприводимым.
Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.
Пусть g1 = a11e1 + a12 e2
g2 = a21e1 + a22e2
e1 = b11g1 + b12g2
e2 = b21g1 + b22g2
Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда
|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1, || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1
(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} – ортонормированный базис.
Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1, Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.
Значит в базисе {h1 ,h2} матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)
(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22 = 0 или , тогда существует такое комплексное число r, что
a22 = - ra11
a21 = ra12
Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно
a112 + a122 = 1
|a22 |2 + |a21 |2 = 0
тогда | r | = 1.
Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,
Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.
Найдем b11 и b21:
e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,
b11a11 + b12a12 = 1
b11a12 + b12a22 = 0 или
b11a11 + b12a12 r = 1
b11a12 - b12a11 r = 0,
Тогда b11 = a11.
Аналогично
E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,
b21a11 + b22a21= 0
b21a12 + b22a22 = 1,
отсюда находим, что b21 = a12.
Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)
Р2 = , где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1
А) Пусть a112 = τ, тогда a122 =1 – τ, a11a12 = . Так как a11a12 >0, то τ(0, 1).
Тогда Р2 = .
В) Положим a11 = cosφ,тогда a12 = sinφ и Р2 запишется следующим образом
Р2 = .
Найдем коммутант π(P2). Пусть Т = оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда
ТР1 = =
Р1Т = =
Следовательно b = c = 0.
ТР2 = =
Р2Т = =
Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление π неприводимо.
Покажем, что все эти представления неэквивалентны.
Пусть τ, ν(0, 1), τ ≠ ν. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда
UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b C
UР2 (τ) = =
Р2 (ν) U = = .
Тогда τ = ν, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.
Теорема 1.1. Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 .
Тогда:
(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: π0,0(p1) = 0; π0,0(p2) = 0; π1,0(p1) = 1; π1,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0; π0,1(p2) = 1; π1,1(p1) = 1; π1,1(p2) = 1;
(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: π(p1) , π(p2) τ (0, 1).
Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить π(p2) = φ (0, ).
1.4. n – мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство
max (dimН1, dimН1┴) + max (dimН2, dimН2┴) > 2n+1 (1.4.)
Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j ≠ {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления π, но тогда π приводимо.
Пусть теперь dimН=2n, n>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление π окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.
Лемма 1.1. Существует х ≠ 0, хН1 такой, что Р1Р2х = λх, где λС.
Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями
к = 1,…, n к = 1,…, n
Так как хН1, то , gk C, к = 1,…, n. Тогда
Р1Р2х = Р1Р2= Р1Р2= Р1=
= Р1= = () =
Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,…, qn:
=
j = 1,…, n
Подбирая λC так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,…, qn. Это доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} – инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.
Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем
Р1 (aх + bР2х) = aх + λbх = (a + λb) х L,
Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х L
dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).
Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а ≠ 0, то х = Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1≠{0}.
Итак, получаем предложение.
Теорема 1.2. Если dimН
= n, n>2,
то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры P2 . Все
неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.
1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления π *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно π.
Теорема 3.1. (спектральная теорема).
Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2
подпространств
Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1 ((С2Нк)), (1.1.)
где каждому подпространству Нк соответствует одно φк (0, ), φк ≠ φi при к≠i, dimНк = nк (к = 1,…, m). Пусть Рi,j: Н → Нi,j , Рφк: Н → С2Нк ортопроекторы к = 1,…, m. Тогда существуют единственные разложения операторов
I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(Рφк), (1.2.)
P1 = P1,0P1,1((Iк )) (1.3)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9