Дипломная работа: *-Алгебры и их применение
Определение 2.11. Поле представлений t→π(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов t→π(t)х измеримо.
Если поле представлений t→π(t) измеримо, то для каждого хА можно
образовать непрерывный оператор π(х)=π(t) (x) dμ(t) в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dμ(t).
Теорема 2.9. Отображение х→π(х) есть представление А в Н.
Доказательство. Для любых х, yА имеем
π(х+y) = π(t) (x+y) dμ(t) = (π(t) (x) + π(t) (y)) dμ(t) =π(t) (x )dμ(t) +
+π(t) (y) dμ(t) = π(х) +π(y)
Аналогично π(λх) = λπ(х), π(хy) = π(х) π(y), π(х*)=π(х)*
Определение 2.12. В предыдущих обозначениях π называется прямым интегралом π(t) и обозначается π =π(t) dμ(t).
Определение 2.13. Операторное поле t→φ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dμ(t).
Пусть ε = ((H(t))tT, Г) – μ-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, μ1 – мера на Т, эквивалентная μ (то есть каждая из мер μ1, μ абсолютно непрерывна по другой), и ρ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dμ(t) составляет поле t→ρ(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dμ1(t),
есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.
Действительно,
||ρ(t)-1/2х(t)dμ1(t)||2 = ||х(t)||2ρ(t)-1 dμ1(t) = ||х(t)||2dμ1(t) = ||х(t)||2
Теорема 2.10. Пусть Т – борелевское пространство, μ мера на Т, t→Н(t) – измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→π(t) – измеримое поле представлений А в Н(t),
Н =Н(t) dμ(t) , π1==π(t )dμ(t),
Д алгебра диагональных операторов в Н. Пусть μ1 мера на Т, эквивалентная μ,
Н1 =Н(t) dμ1(t) , π1 =π(t) dμ1(t),
Д1 – алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует π в π1 и Д в Д1.
Доказательство. Пусть ρ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dμ(t)Н в
Ux = ρ-1/2х(t) dμ1(t).
Пусть α А. Имеем
π1(α)Ux = π(t)(α) ρ-1/2 х(t) dμ1(t) = Uπ(t)(α) х(t) dμ(t) = Uπ(α)x,
поэтому и преобразуем π в π1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.
Определение 2.14. Пусть Т, Т1 – борелевские пространства; μ, μ1 – меры на Т и Т1 соответственно; ε = ((H(t))tT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), - μ-измеримое и μ1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть η: Т→Т1 борелевский изоморфизм, переводящий μ в μ1; η-изоморфизм ε на ε1 называется семейство (V(t))tT, обладающее следующими свойствами:
(i) для любого tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(η(t));
(ii) для того, чтобы поле векторов t→x(t)H(t) на Т было μ-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле η(t)→V(t)х(t) Н1(η(t)) на Т1 было μ1-измеримо.
Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dμ(t) в поле η(t))→V(t)х(t) Н1 = Н1(t) dμ1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dμ(t).
Теорема 2.11. Пусть Т – борелевское пространство; μ мера на Т, t→H(t) – μ- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, t→ π(t) - μ- измеримое поле представлений А в H(t),
Н =Н(t) dμ(t), π ==π(t) dμ(t),
Д алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1, μ1, t1→H1(t1), t1→ π1(t1), Н1, π1, Д1.
Предположим, что существует:
1. N, N1 – борелевские подмножества Т и Т1, такие что μ (N) = μ (N1) = 0;
2. борелевский изоморфизм η: T\N →T\N1, преобразует μ в μ1;
3. η-изоморфизм t→V(t) поля t→Н(t) (tZ\N) на поле t1→Н1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует π(t) в π1(η(t)) для каждого t.
Тогда V =V(t)dμ(t) преобразует Д в Д1 и π в π1.
Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные
операторы в Н(t)
и Н1(t1). Если fL∞(T, μ) и если f1 – функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи η, то V преобразует f(t)It dμ(t) в f1(t1) It1 dμ1(t1), поэтому V преоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть αА и х = х(t) dμ(t)Н.
Тогда
Vπ(α)х = Vπ(t)(α) х(t) dμ(t) = V(η-1(t1)) π(η-1(t1))(α) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1(t1)(α) V(η-1(t1)) х(η-1(t1)) dμ1(t1) = π1 (α) V х
Поэтому V преобразует π в π1.
Приведем примеры прямых интегралов.
1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера μ на N, то есть μ(n)=1 для любого nN. Тогда
Н(n) dμ(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.
2. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt →х(t)L2 (0, 1).
Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.
§ 3. Тензорные произведения пространств
3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк.
Образуем формальное произведение
(3.1.)
α = (α1,…,
αn) (n
раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность ( ) и на
формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они
образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется
тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается Н1,…, Нn = . Его векторы имеют вид:
f = (fαC), || f ||2 =< ∞ (3.2.)
Пусть g = ,
тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой
(f, g) = (3.3.)
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9