Дипломная работа: *-Алгебры и их применение
Дипломная работа: *-Алгебры и их применение
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ
ТАВРИЧЕСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
им. В.И. ВЕРНАДСКОГО
ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ
КАФЕДРА АЛГЕБРЫ И ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА
*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Дипломная работа специалиста
студент 5 курса специальности математика _________________________________ НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ: ассистент каф. алгебры и функционального анализа _________________________________ профессор, доктор физико-математических наук _________________________________ РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ: зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н. _________________________________ |
СИМФЕРОПОЛЬ
2003
СОДЕРЖАНИЕ
Введение……………………………………………………………………………..4
Глава I. Основные понятия и определения…………………………………….6
§ 1. * - алгебры……………………………………………………………………...6
1.1. Определение * - алгебры……………………………………………………….6
1.2. Примеры…………………………………………………………………………7
1.3. Алгебры с единицей…………………………………………………………….7
1.4. Простейшие свойства * - алгебр……………………………………………….9
1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр…………………………………………11
§ 2. Представления ……………………………………………………………….13
2.1. Определение и простейшие свойства представлений……………………….13
2.2. Прямая сумма представлений ………………………………………………..15
2.3. Неприводимые представления………………………………………………..16
2.4. Конечномерные представления……………………………………………….19
2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений ……………………..20
§ 3. Тензорные произведения……………………………………………………26
3.1. Тензорные произведения пространств……………………………………….26
3.2. Тензорные произведения операторов………………………………………..28
Глава II. Задача о двух ортопроекторах………………………………………..31
§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве…………………………..31
1.1. Постановка задачи……………………………………………………………..31
1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….31
1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 ……………………………….32
1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2 …………………………………35
1.5. Спектральная теорема…………………………………………………………37
§ 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве……39
2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 …………………………...39
2.2. Спектральная теорема…………………………………………………………41
Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов ……………………………...45
§ 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве……...45
1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве……………………….45
1.2. Постановка задачи……………………………………………………………..45
1.3. Спектр в одномерном пространстве………………………………………….45
1.4. Спектр в двумерном пространстве……………………………………….…..46
1.5. Спектр в n-мерном пространстве……………………………………………..47
1.6. Линейная комбинация ортопроекторов………………………………………49
§ 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном
гильбертовом пространстве …………………………………………………….52
2.1. Спектр оператора А = Р1 +Р2 …………………………………………………52
2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2 (0<а<b) ……………………..53
Заключение………………………………………………………………………..55
Литература ………………………………………………………………………..56
ВВЕДЕНИЕ
Пусть Н – гильбертово пространство, L(Н) – множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А – операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) – перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).
Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.
Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.
Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В §1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В §2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В §3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])
В Главе II изучаются представления *-алгебры P2
P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1, p22 = p2* = p2 >,
порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.
В §1 рассматриваются только конечномерные *-представления π в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:
4 одномерных: π0,0(p1) = 0, π0,0(p2) = 0; π0,1(p1) = 0, π0,1(p2) = 1;
π1,0(p1) = 1, π1,0(p2) = 0; π1,1(p1) = 1, π1,1(p2) = 1.
И двумерные: , τ (0, 1).
Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно π подпространств Н, а также получено разложение π на неприводимые *-представления. Результаты §1 относятся к математическому фольклору.
В §2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема.
В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р1+Р2, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р1+Р2 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).
Глава I. Основные понятия и определения
§ 1. - алгебры
1.1. Определение - алгебры.
Определение 1.1. Совокупность А элементов x, y, … называется алгеб-
рой, если:
1) А есть линейное пространство;
2)
в А
введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
воряющая следующим условиям:
α (x y) = (α x) y,
x (α y) = α (x y),
(x y) z = x (y z),
(x + y) = xz +xy,
x (y + z) = xy + xz для любых x, y, z А и любых чисел α.
Два элемента x, y алгебры А
называются перестановочными, если xy = yx.
Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.
Определение 1.2. Пусть А – алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x → x* алгебры А в А, что
(i) (x*)* = x;
(ii) (x + y)* = x* + y*;
(iii) (α x)* = x*;
(iv) (x y)* = y*x* для любых x, y С.
Алгебра над С,
снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй.
Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А,
сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.
Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.
1.2. Примеры
1) На А = С отображение z → (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.
2)
Пусть Т
локально компактное пространство, А = С(Т) – алгебра непре-
рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то
есть для любого ε > 0 множество tT:
компактно, f (t) А. Снабжая А отображением f→ получаем коммутативную *- алгебру.
Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
3) Пусть Н гильбертово пространство. А = L(H) – алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.
4) Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию А→А* (АК(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
5) Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .
Алгебра W есть *- алгебра, если положить . ()
1.3. Алгебры с единицей
Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию
ех = хе = х для всех хА (1.1.)
Элемент е называют единицей алгебры А.
Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.
Доказательство. Действительно, если е΄ - также единица в А, то
е΄х = хе΄ = х, для всех хА (1.2.)
Полагая в (1.1.) х = е΄, а в (1.2.) х = е, получим:
ее΄ = е΄е = е΄ и е΄е = ее΄ =е, следовательно е΄ = е.
Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры А΄ с единицей.
Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы х΄=αе + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру А΄, в которой основные операции определяются формулами:
β(αе + х) = βαе + βх, (α1е + х1) + (α2е + х2) = (α1 + α2)е + (х1 + х2),
(α1 е + х1)(α2 е+ х2 )=α1 α2 е +α1 х2 +α2 х1 + х1 х2 (1.3.)
Каждый элемент х΄ из А΄ представляется единственным образом в виде
х΄ = αе + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому А΄ можно реализовать как совокупность всех формальных сумм х΄ = αе + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при α = 0.
Алгебру А΄ можно также реализовать как совокупность всех пар (α, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:
β (α, х) = (βα, βх), (α1, х1) + (α2, х2) = (α1 + α2, х1 + х2),
(α1, х1)(α2, х2) = (α1α2, α1х2 + α2 х1 + х1х2), (1.4.)
аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:
(α, х) = α(1, 0) + (0, х) = αе + х,
так что вторая реализация алгебры А΄ равносильна первой.
Переход от А к А΄ называется присоединением единицы.
Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.
Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9