Дипломная работа: *-Алгебры и их применение

Пусть f(k) = (к = 1,…, n) – некоторые векторы. По определению

f = f(1)… f(n) =                                                            (3.4.)

Коэффициенты fα =  разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =                                                                                         (3.5.)

Функция Н1,…, Нn <>   линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в   - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,…, Нn и обозначается      α.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что

(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2                      (3.6.)

f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2                      (3.7.)

(λ f1) f2=λ (f1 f2)                                       (3.8.)

f1 λ (f2) = λ (f1 f2)                                     (3.9.)

f1, g1Н1;  f2, g2 Н2; λ С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) – (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2)                                                              (3.10.)

f1, g1Н1;  f2, g2 Н2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.

3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть ,  - две последовательности гильбер-
товых пространств,  - последовательность операторов АкL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 …Аn = Ак  формулой

() f  = () =         (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор  L (,  ), причем

                                || || = || ||                                          (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,…, Нn = (Н1,…, Нn-1)Нn общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g =  G1 G2. В качестве  f  возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fα.

Зафиксируем α2, β1  Z+ и обозначим через f(α2) Н1 вектор f(α2) =  и через g(β1)G2 – вектор g(β1) =. Получим

= =

= ≤ =

= ≤ =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда  уже при произвольном  c Н1Н2 и оценка его нормы в G1G2 сверху через ||A1||  ||A2||  ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 →G1G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1||  ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1  f1|| ||A2 f2||   (fк Нк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1||  ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| ≤ ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для  Ак L(Hк, Gк),  Вк L(Hк, Gк)  (к = 1,…, n) соотношения

(Вк) (Ак) = (Вк Ак)                                                                   (3.13.)

(Ак)* = Ак*                                                                                     (3.14)

(Ак) (f1 … fn) = A1  f1… An  fn                                          (3.15.)

(fк Hк;  к = 1,…, n)

(3.15) однозначно определяет оператор Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.)     поставим в соответствие функцию  L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

§ 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

1.1.     Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2  = С <  р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 1, v = 2p2 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 – 1)2 = 4p1 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v – унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2  можно задать иначе:

P2  = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть π: P2 →L(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim π = 1.

P2 = С <  р1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = π(рк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и π - *-представление, то Рк2 = Рк* =  Рк  (к =1, 2) – ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = yH к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

1.   Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.

2.   Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.

3.   Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.

4.   Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9