Лабораторная работа: Исследование нелинейных систем

Оцените устойчивость найденных периодических режимов, задавая различные начальные условия (н.у.) по выходу ЛЧ (для каждого периодического режима достаточно двух значений из окрестности значения Ап – y(0)<Ап и y(0)>Ап). Следует провести несколько экспериментов, запуская m‑файл с разными значениями н.у. и фиксируя процессы во времени y(t).

Для устойчивого периодического режима зафиксируйте значения амплитуды и частоты автоколебаний, гистограмму с их гармоническим составом и соотношение амплитуд первой и третьей гармоник, при этом с помощью осциллографа «Гармоники», находящегося в модели R_Fourie.mdl, проконтролируйте достижение амплитудами гармоник своих установившихся значений, т.е. убедитесь в том, что выбранное время моделирования является достаточным для завершения переходных процессов в системе; в противном случае увеличьте его и повторите эксперимент.

Найдите критический коэффициент усиления ЛЧ: подберите такое значение параметра k, при котором точка пересечения характеристик нелинейности и ЛЧ начинает исчезать. Сравните с теоретически рассчитанным значением.

Выберите вторую из двух нелинейностей вашего варианта, установив соответствующее значение конфигурационной переменной config_nlin в m‑файле, и повторите действия из пп. 3.3.2 - 3.3.5.

 Содержание отчёта

Вариант задания, схемы моделирования, цель работы.

Материалы, подготовленные по пп. 3.2.2 - 3.2.4.

Результаты моделирования (совмещенные характеристики нелинейности и линейной части, построенные на комплексной плоскости, с указанием значений параметров периодических режимов, найденных по точкам пересечения; процессы во времени y(t) при различных вариантах начальных условий с указанием значений параметров установившихся периодических режимов; гистограммы гармонического состава установившихся периодических режимов).

Анализ результатов (нахождение соответствия между результатами предварительной подготовки, графического расчета по методу гармонического баланса и моделирования нелинейной системы в отношении устойчивости / неустойчивости периодических режимов, в отношении значения амплитуды и частоты автоколебаний, значения критического коэффициента).

Выводы (сделать заключение о выполнении / невыполнении гипотезы фильтра, о погрешностях определения значений параметров периодических режимов по методу гармонического баланса).

Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатное или комбинированное оформление.

 Контрольные вопросы

Метод гармонического баланса: назначение, условия применения, основное уравнение. Суть метода гармонической линеаризации и гипотезы фильтра. Метод Д-разбиений: основные положения. Определение комплексного передаточного коэффициента нелинейного звена.

4.        Синтез дискретной системы с максимальным быстродействием

В работе необходимо с использованием методов модального синтеза провести проектирование цифрового алгоритма управления непрерывным объектом из условий обеспечения максимального быстродействия и единичной статики по командному сигналу.

Методы модального синтеза основаны на обеспечении желаемого расположения собственных чисел матрицы динамики системы. Из теории известно, что в линейных импульсных системах можно обеспечить окончание переходных процессов за минимальное время, равное произведению порядка дифференциальных уравнений объекта на период квантования по времени. Для этого все собственные числа матрицы динамики системы должны быть нулевыми. Если не все координаты вектора состояния объекта являются измеримыми, то в алгоритм управления необходимо ввести наблюдатель с целью получить оценки неизмеримых координат вектора состояния. Собственные числа наблюдателя в рассматриваемой задаче также целесообразно задать равными нулю. Управляющий сигнал, который будет подан на вход объекта управления, вычисляется как произведение оценки вектора состояния объекта на матрицу обратной связи, полученную в результате модального синтеза.

Целями работы являются:

ü  закрепление знаний по теории модального синтеза;

ü  ознакомление с возможностями пакета MATLAB в части модального синтеза;

ü  анализ процессов при наличии и при отсутствии наблюдателя;

ü  анализ грубости (чувствительности) системы по отношению к параметрам линейной модели объекта;

ü  анализ быстродействия при наличии ограничений сигнала управления.

Подготовительная часть работы

По данным табл. 4.1 и в соответствии с предложенным преподавателем вариантом и значениями параметров проанализировать свойства объекта.

Таблица 4.1 Варианты передаточной функции объекта

Номер варианта	Wob(p)	Параметры	Номер варианта	Wob(p)	Параметры
1			6		T1=0.2; T2=0.1; ξ = 0.1
2		T1=0.1	7		Т1=2; T2=1; T3=1
3		T1=2; ξ=0.1	8		T1=0.2; ξ=0.1
4		T1=2; T2=1	9		T1=2; T2=1
5		T1=5	10		T1=2; ξ=0.1

Изучите текст программы (файл SSOpt_d.m) и структуру моделей SSLOpt_dSim.mdl (система с обратной связью по вектору состояния) и SSLKOpt_dSim.mdl (система с наблюдателем).

Содержание файла SSOpt_d.m:

%Синтез дискретной системы с максимальным быстродействием

%–

clc

close_system ('SSLOpt_dSim', 1);   %Закрытие mdl‑файла

close_system ('SSLKOpt_dSim', 1);         %Закрытие mdl‑файла

clear all

close all

set (0, 'ShowHiddenHandles', 'on')

delete (get(0,'Children'))

%Параметры моделированиЯ

hMO = 0.01;        %Шаг моделированиЯ объекта, с

T0 = 0.35;            %Шаг работы цифровой части, с

T_end = 8% 2.5;  %ВремЯ окончаниЯ моделированиЯ, с

top_lim_u = 5000;        %заданное ограничение управлениЯ сверху

low_lim_u = -5000;      %заданное ограничение управлениЯ снизу

%ОбъЯвление комплексной переменной p

p = zpk('p');

%Передаточная функция объекта

%      (непрерывной части системы)

%Параметры передаточной функции непрерывной части

T1 = 0.2; T2 = 0.1; T3 = 1; ksi = 0.1;

%Варианты передаточной функции непрерывной части

disp ('ПередаточнаЯ функциЯ непрерывной части')

Wn_1 = 1/p^2;

Wn_2 = 1/((T1*p+1)^2);

Wn_3 = 1/(T1^2*p^2+2*ksi*T1*p+1);

Wn_4 = (T1*p+1)/(p*(T2*p+1));

Wn_5 = 1/(p*(T1*p‑1));

Wn_6 = 1/(p*(T1*p+1)^3*(T2^2*p^2+2*ksi*T2*p+1));

Wn_7 = (T1*p+1)/(p*(T2*p‑1)*(T3*p+1));

Wn_8 = 1/(p*(T1^2*p^2+2*ksi*T1*p+1));

Wn_9 = 1/((T1^2*p^2+1)*(T2*p+1));

Wn_10 = 1/(p*(T1^2*p^2–2*ksi*T1*p+1));

%Выбор варианта передаточной функции

Wn = Wn_10

%:

%Как получить различную информацию об объекте

%(напоминание о видах операторов, используемых для этого)

disp ('Нули, полюсы и К передаточной функции непрерывного объекта')

[zn_ob, pn_ob, kn_ob] = zpkdata (Wn, 'v')

disp ('Коэффициенты полиномов числителЯ R и знаменателЯ Q передаточной функции')

[num_n_ob, den_n_ob] = tfdata (Wn, 'v')

disp ('Матрицы непрерывного объекта')

[An_ob, Bn_ob, Cn_ob, Dn_ob] = ssdata(Wn)

n_ob = size (An_ob);%n_ob(1) – порЯдок непрер. объекта

%:

%Переход к дискретному объекту

sys_n_ob = ss(Wn); %Переход к вект.-матр. описанию объекта

sys_d_ob = c2d (sys_n_ob, T0);     %Переход к дискр. объекту в вект.-матр. форме

[Ad_ob, Bd_ob, Cd_ob, Dd_ob] = ssdata (sys_d_ob) %Матрицы дискретного объекта

%Переходные функции непрерывного и дискретизированного объекта

ltiview ('step', sys_n_ob, 'r-', sys_d_ob, 'b-');

grid on

%:

%Синтез управлениЯ длЯ дискретной системы

disp ('Желаемые полюсы замкнутой дискретной системы')

Pd = zeros (1, n_ob(1))%Нулевой вектор-строка

disp ('Матрица оптимальной обратной свЯзи дискретной системы')

Ld = acker (Ad_ob, Bd_ob, Pd)

%Ld = place (Ad_ob, Bd_ob, Pd) – не работает при кратных полюсах замкнутой системы

%:

%Матрицы замкнутой дискретной системы

%Матрица динамики

Ad_z = Ad_ob-Bd_ob*Ld;

%Матрицы B, C, D

Bd_z = Bd_ob;

Cd_z = Cd_ob;

Dd_z = Dd_ob;

%:

%Проверка полюсов замкнутой системы

sys_d_z = ss (Ad_z, Bd_z, Cd_z, Dd_z);%Описание замкн. дискр. сист-мы в вект.-матр. форме

disp ('Фактические полюсы замкнутой дискретной системы (сравнить с желаемыми)')

poles_sys_d_z = eig (sys_d_z)

%:

%^Вычисление коэфф-та при командном сигнале, обеспечивающего единичную статику

%Векторы коэффициентов полиномов числителЯ и знаменателЯ дискретной передаточной

%функции замкнутой системы

[num_d_z, den_d_z] = tfdata (sys_d_z, 'v');

disp ('Коэффициент при командном сигнале, обеспечивающий единичную статику')

%Величина, обратнаЯ сумме коэффициентов числителЯ дискретной ПФ замкнутой системы

Kv = 1/sum (num_d_z)

%:

%Моделирование в Simulink системы с обратной свЯзью

%по вектору состоЯниЯ

%Для того, чтобы провести моделирование, необходимо иметь доступ к вектору состояния объекта. Поэтому в файле SSLOpt_dSim.mdl при задании объекта в векторноматричной форме (блок State-Space) нужно вместо матрицы Cn_ob указать единичную

%матрицу Сх, а в качестве матрицы Dn_ob – нулевой вектор-столбец Dx соответств-щих

%размерностей

Cx = eye (n_ob(1));                          %ЕдиничнаЯ матрица                   

Dx = zeros (n_ob(1), 1);                  %Нулевой вектор-столбец

open_system ('SSLOpt_dSim.mdl');         %Вызов mdl‑файла

sim ('SSLOpt_dSim');                               %Запуск моделированиЯ

%:

disp ('Желаемые собственные числа дискретного наблюдателЯ')

P_obs_d = zeros (1, n_ob(1))

%Матрица невЯзки дискретного наблюдателЯ

Все команды Matlab, использованные при составлении данной программы, описаны в приложении.

При составлении моделей в Simulink (SSLOpt_dSim.mdl и SSLKOpt_dSim.mdl) используются элементы из таких разделов библиотеки Simulink, как Math, Linear, Discrete, Nonlinear, Function & Tables, Signals & Systems, Sinks и Sources. Схемы моделирования и настройки элементов моделей представлены на рис. 4.1 – 4.8. Параметры моделирования нужно указать в окне «Simulation parameters», доступном через меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 4.9).

Рис. 4.3. Настройки блока «Фиксатор нулевого порядка»

Рис. 4.4. Настройки блока «Ограничитель входного сигнала»

Рис. 4.5. Настройки блока «Коэффициент усиления командного сигнала»

Рис. 4.6. Настройки блока «Матрица коэффициентов обратной связи»

Рис. 4.7. Настройки блока «Объект»

Рис. 4.8. Настройки блока «Наблюдатель»

Рис. 4.9. Параметры моделирования

Составьте план экспериментов в соответствии с целями лабораторной работы (см. п. 4.1).

 Выполнение работы

Выберите передаточную функцию объекта и значения её параметров в соответствии с вашим вариантом.

Установите необходимые параметры моделирования: шаг моделирования объекта, такт работы системы управления (первоначально около 0.4 c), время моделирования; снимите ограничения на уровень управляющего сигнала.

Ознакомьтесь с работой программного комплекса. Обратите внимание на данные, появляющиеся в командном окне во время решения.

Проанализируйте влияние наблюдателя на процессы, происходящие в системе, выясните роль начальных условий по вектору состояния наблюдателя. Зафиксируйте переходные процессы в системе без наблюдателя и с наблюдателем.

Исследуйте влияние периода квантования T0 на требуемый диапазон изменения управляющего сигнала в системе с наблюдателем. Результаты фиксируйте в таблице.

Введите ограничение на величину управляющего сигнала и выберите оптимальный период квантования Т0. Зафиксируйте переходные функции системы с наблюдателем при оптимальном и неоптимальном значениях Т0.

Вследствие того, что параметры реального объекта могут изменяться с течением времени, важно знать, как это сказывается на основных показателях качества процессов управления (времени регулирования, перерегулировании). На примере системы с наблюдателем проведите анализ «грубости» (чувствительности) синтезированного алгоритма управления по отношению к параметрам объекта. Для этого необходимо в m‑файле после осуществления синтеза системы управления непосредственно перед запуском моделирования в Simulink пересчитать матрицы объекта в соответствии с изменившимся значением какого-либо параметра и зафиксировать поведение системы в таких условиях. Количество значений для каждого параметра должно быть не менее пяти. Результаты эксперимента следует оформить в виде таблиц и построить соответствующие графики.

Во время лабораторной работы необходимо вести протокол, в котором следует фиксировать все промежуточные и конечные результаты. Основные результаты согласовывать с преподавателем по мере их получения, соответствующие комментарии отражать в протоколе.

 Содержание отчёта

Цель работы, вариант задания, структура программы, схемы моделирования.

План проведения лабораторной работы.

Значения матрицы обратной связи и матриц наблюдателя, полученные при выполнении п. 4.3.3.

Графические зависимости, характеризующие систему с наблюдателем и без наблюдателя, полученные при выполнении п. 4.3.4.

Результаты выполнения п. 4.3.5 в виде таблицы и соответствующая графическая зависимость.

Результаты выполнения п. 4.3.6 графики переходных функций системы при введении ограничений на величину управляющего сигнала. Обоснование выбора периода квантования по времени T0.

Результаты выполнения п. 4.3.7 таблицы и графические зависимости, характеризующие «грубость» синтезированных алгоритмов.

 Контрольные вопросы

Перечислить операторы пакета Matlab, необходимые для модального синтеза и синтеза наблюдателя.

Сформулировать основные отличия и общие черты синтеза непрерывных и дискретных систем управления.

Из каких соображений выбирается период квантования по времени в дискретной системе?

Структура наблюдателя Люенбергера.

Что такое матрица невязки наблюдателя?

Как вычисляется коэффициент усиления по командному сигналу, обеспечивающий единичную статику в дискретной системе?

Как вычислить размерности матриц A, B, C, D объекта и наблюдателя?

Как обеспечить максимальное быстродействие при синтезе дискретной системы управления и чему оно будет равно?

Список литературы

1.      Бесекерский В.А. Теория систем автоматического регулирования / В.А. Бесекерский, Е.П. Попов. М.: Наука, 1975. 768 с.

2.      Теория автоматического управления / под ред. А.А. Воронова. М.: Высшая школа, 1986. Ч. 2. 504 с.

3.      Теория автоматического управления / под ред. А.В. Нетушила. М.: Высшая школа, 1972. Ч. 2. 430 с.

4.      Попов Е.П. Теория нелинейных систем автоматического регулирования и управления / Е.П. Попов. М.: Наука, 1988. 256 с.

5.      Цыпкин Я.З. Основы теории автоматических систем / Я.З. Цыпкин. М.: Наука, 1977. 560 с.

6.      Сборник задач по теории автоматического регулирования и управления. 5‑е изд., перераб. и доп. / под ред. В.А. Бесекерского. М.: Наука, 1978. 512 с.

7.      Задачник по теории автоматического управления. 2‑е изд., перераб. и доп. / под ред. А.С. Шаталова. М.: Энергия, 1979. 545 с.

8.      Ануфриев И.Е. Самоучитель Matlab 5.3/6.x / И.Е. Ануфриев. СПб.: БХВ-Петербург, 2002. 736 с.

9.      Дьяконов В. Matlab: учебный курс / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2001. 560 с.

10.    Дьяконов В. Simulink 4. Специальный справочник / В. Дьяконов. СПб.: Питер, 2002. 528 с.