Лабораторная работа: Исследование нелинейных систем
%при переборе начальных условий движемсЯ снизу вверх с шагом dy
%и слева направо с шагом dx
%Назначение диапазонов изменениЯ начальных условий
x0_min = -1.5;
y0_min = -1.5;
x0_max = 1.5;
y0_max = 1.5;
%Шаг при переборе начальных условий
dx = 0.8;
dy = 0.9;
%Исходные значениЯ начальных условий
x0 = x0_min;
y0 = y0_min;
%Задание цветовой гаммы длЯ рисованиЯ фазовых траекторий
%'r' – red, красный;
%'g' – green, зеленый;
%'c' – cyan, голубой;
%'m' – magenta, пурпурный;
%'k' – black, черный;
%'y' – yellow, желтый;
%'b' – blue, синий
color = ['r';'g';'c';'m';'k'];%многоцветнаЯ картинка
%color = 'r'; %одноцветнаЯ картинка
%Подготовка рисунка с фазовым портретом
figure(1)
xlabel('x')
ylabel('y')
title(['Фазовый портрет. НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',…
lin, ', k=', num2str(k), ', T=', num2str(T), '; alfa=', num2str(alfa)])
hold on
grid on
%вызов модели
open_system ('FP_mod.mdl');
%начальнаЯ установка номера цвета
i=0;
%перебор начальных условий; при каждом варианте начальных условий запускаетсЯ
%моделирование, а после его окончаниЯ строитсЯ фазоваЯ траекториЯ
while x0 <= x0_max
i = i+1; %номер текущего цвета
if i == length(color)+1
i=1;
end
x0_ = x0; %запоминание значений НУ
y0_ = y0; %длЯ текущей фазовой траектории
sim ('FP_mod'); %запуск моделированиЯ
gr1 = plot (x, y); %x и y – массивы из workspace
set (gr1, {'Color'}, {color(i)});
y0 = y0 + dy;
if y0 > y0_max
y0 = y0_min;
x0 = x0 + dx;
end
end
%рисование линии / линий переключениЯ
y1 = [-2.5; 2.5];
if (config == 1) | (config == 2)
x1 = – alfa.*y1; %уравнение линии переключениЯ, НЭ – ид. 2‑х поз. реле
gr2 = plot (x1, y1);
set (gr2, {'Color'}, {'b'});
else
x11 = – alfa.* y1 + b; %уравнениЯ линий
x12 = – alfa.* y1 – b; %переключениЯ, НЭ – 2‑х поз. реле с гист.
gr2 = plot (x11, y1);
set (gr2, {'Color'}, {'b'});
gr2 = plot (x12, y1);
set (gr2, {'Color'}, {'b'});
end
%построение процессов во времени, соответствующих
%последней фазовой траектории
figure(2)
xlabel ('t, cек')
ylabel ('x, y')
title(['x(t) и y(t). НЭ – ', nlin, ', b=', num2str(b), ', c=', num2str(c), '; ЛЧ – ',…
lin, ', k=', num2str(k), ', T=', num2str(T), '; alfa=', num2str(alfa),…
'; x0=', num2str (x0_), '; y0=', num2str (y0_)])
hold on
grid on
gr3 = plot (time, x);
set (gr3, {'Color'}, {'r'});
gr4 = plot (time, y);
set (gr4, {'Color'}, {'b'});
legend ('x(t)', 'y(t)', 4);
Все команды Matlab, использованные при составлении данной программы, описаны в приложении.
В m‑файле необходимо задать значения констант – параметров нелинейностей и линейной части, значение коэффициента обратной связи по скорости, задать шаг и время моделирования, диапазоны изменения начальных условий для сигналов х и у, шаг при их переборе и их исходные значения, а также значение переменной config, управляющей конфигурацией модели.
В процессе выполнения m‑файла происходит подготовка графического окна для вывода фазового портрета, вызов и циклический запуск модели нелинейной системы при различных начальных условиях по x и y. По результатам моделирования строятся фазовый портрет системы и временные процессы х(t) и y(t), соответствующие последней из воспроизведенных на фазовом портрете фазовых траекторий. Для получения рисунка с изображением только одной фазовой траектории необходимо задать одинаковые значения для границ изменения начальных условий по х и у.
При составлении модели в Simulink используются элементы библиотек Simulink (Math, Nonlinear, Sinks и Sources) и Simulink Extras (Additional Linear), доступные через Simulink Library Browser. Схема моделирования из файла-примера FP_mod.mdl представлена на рис. 2.2.
Интегрирующие и инерционные звенья с возможностью установки начальных условий по выходу находятся в дополнительной библиотеке Simulink - Simulink Extras\Additional Linear.
Управление переключателем конфигурации системы осуществляется через переменную config, значение которой задается в m‑файле.
Как и в предыдущей работе, в настройках параметров моделирования следует указывать специально предназначенные для этой цели переменные, значения которых заданы в файле-сценарии. Параметры моделирования должны быть указаны в окне «Simulation parameters», доступном через меню Simulation\Simulation parameters окна, в котором открыт mdl‑файл (рис. 2.3).
Рис. 2.2. Схема моделирования
Рис. 2.3. Параметры моделирования
Установку параметров различных функциональных блоков модели поясняют рис. 2.4 – 2.6. В настройках блоков используются переменные, заданные в m‑файле. Такой подход помогает экономить время при настройке и перенастройке модели.
Рис. 2.4. Параметры блока To Workspace
а б
Рис. 2.5. Параметры нелинейных элементов модели:
а – идеального двухпозиционного реле; б – двухпозиционного реле с гистерезисом
а б
в
Рис. 2.6. Параметры блоков линейной части системы: а интегрирующего звена; б – инерционного звена; в-интегратора
Выполнение работы
Получите и зафиксируйте фазовый портрет
системы с идеальным двухпозиционным реле и линейной частью 
без обратной связи по
скорости. Для одного варианта начальных условий получите изображения фазовой
траектории и процессов во времени x(t) и y(t).
Введите отрицательную обратную связь по
скорости (a
0.1 – 0.5) так, чтобы
при этом не происходило возникновение скользящего режима. Зафиксируйте фазовый
портрет, фазовую траекторию и временные процессы.
Увеличьте значение a до величины, при которой в системе возникает скользящий режим и изображающая точка перемещается по линии переключения. Зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы.
Измените конфигурацию модели системы,
активировав комбинацию блоков «идеальное двухпозиционное реле + линейная часть 
«, после чего повторите действия
пп. 2.4.1 – 2.4.3.
Измените конфигурацию модели системы,
активировав комбинацию блоков «двухпозиционное реле с гистерезисом + линейная
часть 
« и отключив обратную связь
по скорости. Зафиксируйте фазовый портрет системы, при этом диапазон изменения
и шаг изменения начальных условий следует задать таким образом, чтобы получить
фазовые траектории, берущие начало как в области между линиями переключения (
), так и вне ее (
). Для одного варианта
начальных условий получите изображения фазовой траектории и процессов во
времени x(t) и y(t).
Введите в модель обратную связь по
скорости (a
0.1 – 0.5) так, чтобы
при этом не происходило возникновение скользящего режима. Зафиксируйте фазовый
портрет системы, обеспечив такие варианты начальных условий, при которых
фазовые траектории начинаются как в области между линиями переключения, так и
вне ее: а) 
; б) 
. Постройте две фазовые
траектории и соответствующие им процессы во времени для таких вариантов
начальных условий.
Увеличьте a до величины, при которой в системе возникает скользящий режим и изображающая точка перемещается в данном случае между двумя линиями переключения. Зафиксируйте фазовый портрет, две фазовых траектории и соответствующие им временные процессы аналогично п. 2.4.6.
Измените конфигурацию модели системы,
активировав комбинацию блоков «двухпозиционное реле с гистерезисом + линейная
часть 
«. Зафиксируйте фазовый
портрет, фазовую траекторию и временные процессы при отсутствии обратной связи
по скорости.
Введите обратную связь по скорости и зафиксируйте фазовый портрет, фазовую траекторию и временные процессы как при отсутствии, так и при наличии скользящего режима.
Содержание отчёта
Вариант задания, схемы моделирования, цель работы.
Подготовительная часть: эскизы фазовых портретов и сопровождающие расчеты (дифференциальные уравнения, описывающие линейную часть; уравнения, описывающие нелинейные элементы; уравнения фазовых траекторий и линий переключения).
Результаты моделирования (фазовые портреты, фазовые траектории, временные процессы x(t) и y(t)).
Анализ результатов (нахождение соответствия между видами фазовых траекторий и процессов во времени, анализ влияния коэффициента обратной связи на вид фазового портрета, на возникновение скользящего режима в системе и др.). Выводы (аргументированное подтверждение соответствия предварительных расчетов и результатов эксперимента).
Отчет оформляется на листах формата А4, допускается рукописное, печатное или комбинированное оформление.
Контрольные вопросы
Определение фазовой траектории и фазового портрета.
Определение линии переключения. От чего зависит наклон линии (линий) переключения?
Определение скользящего режима. Условия его появления.
Предельный цикл: определение, условия возникновения и графическое изображение на фазовой плоскости.
Определение системы, устойчивой / неустойчивой в малом / большом.
Приведите пример фазовой траектории и найдите соответствующий ему процесс во времени.
В чем схожесть фазовых портретов устойчивых (неустойчивых, на границе устойчивости) систем?
3. Исследование нелинейных систем методом гармонического балансаВ работе необходимо провести исследование нелинейной системы, приведенной на рис. 3.1, средствами пакета Matlab и его расширения пакета Simulink. Используются следующие обозначения:
НЭ – нелинейный элемент: двухпозиционное реле с гистерезисом (рис. 3.2, а), трехпозиционное реле без гистерезиса (рис. 3.2, б) или люфт (рис. 3.2, в);
Wл (р) – передаточная функция линейной части (ЛЧ); в табл. 3.1 приведены возможные варианты передаточной функции.
Рис. 3.1. Структурная схема системы
а б в
Рис. 3.2. Характеристики нелинейных элементов: а – двухпозиционное реле с гистерезисом, б – трехпозиционное реле без гистерезиса, в-люфт
Таблица 3.1 Варианты линейной части
|
Номер ЛЧ |
Передаточная функция ЛЧ |
| 1 |
|
| 2 |
|
| 3 |
|
| 4 |
|
Метод гармонического баланса позволяет определить, могут ли в нелинейной системе возникнуть периодические колебания, и если да, то оценить их амплитуду Ап и частоту wп, а также оценить устойчивость этих периодических режимов. Метод применяется, если выполняется гипотеза фильтра, т.е. линейная часть обеспечивает подавление высокочастотных составляющих входного негармонического сигнала, который поступает с выхода нелинейного элемента. Условием возникновения периодического режима является прохождение эквивалентной частотной передаточной функции через критическую точку (-1, j0), т.е. выполнение равенства
,
которое для решения представляется в более удобном виде:
.
Целями работы являются: графическое решение данного уравнения; определение, если возможно, Ап и wп, оценка устойчивости периодических режимов; моделирование нелинейной системы и определение параметров колебаний по полученному процессу; проверка выполнения гипотезы фильтра.
Подготовительная часть работы
По данным рис. 3.2 и табл. 3.1 и 3.2 в соответствии со своим вариантом выбрать:
1) передаточную функцию линейной части и значения ее параметров;
2) типы нелинейных элементов и значения их параметров.
Эксперименты будут проводиться для выбранного варианта линейной части и нелинейности сначала первого типа, а затем второго.
Для каждого типа
нелинейности своего варианта подготовьте на основании справочных данных
выражения для коэффициентов гармонической линеаризации q(A) и q1(A) и запишите
эквивалентный комплексный передаточный коэффициент 
.
Запишите
комплексный передаточный коэффициент линейной части своего варианта Wл(jw), постройте (эскизно) ее ЛАЧХ и ФЧХ, после чего
для каждого типа нелинейности приведите совместные характеристики линейной
части (АФХ линейной части Wл(jw)) и нелинейности 
.
Таблица 3.2 Значения параметров линейной части и нелинейных элементов
|
Номер варианта |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | |
|
Wл(р) |
Wл1 |
Wл2 |
Wл3 |
Wл4 |
Wл1 |
Wл2 |
Wл3 |
Wл4 |
|
|
Типы НЭ |
НЭ1, НЭ2 |
НЭ2, НЭ3 |
НЭ1, НЭ3 |
НЭ1, НЭ3 |
НЭ2, НЭ3 |
НЭ1, НЭ3 |
НЭ1, НЭ2 |
НЭ1, НЭ3 |
|
|
Параметры |
k |
6 | 5 | 3 | 4 | 15 | 2 | 10 | 8 |
|
T1 |
0.1 | 0.2 | 10 | 0.4 | 0.5 | 0.6 | 9 | 0.8 | |
|
T2 |
0.2 | 0.4 | 5 | 0.8 | 1.0 | 1.2 | 6 | 1.6 | |
|
T3 |
1 | - | 0.1 | - | 5 | - | 0.2 | - | |
|
b |
0.1 | 0.2 | 0.25 | 0.25 | 0.3 | 0.35 | 0.4 | 0.5 | |
|
c |
1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 | 3.5 | 4 | 4.5 | |
|
Номер варианта |
9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | |
|
Wл(р) |
Wл1 |
Wл2 |
Wл3 |
Wл4 |
Wл1 |
Wл2 |
Wл3 |
Wл4 |
|
|
Типы НЭ |
НЭ1, НЭ3 |
НЭ1, НЭ2 |
НЭ1, НЭ2 |
НЭ1, НЭ3 |
НЭ1, НЭ2 |
НЭ2, НЭ3 |
НЭ1, НЭ3 |
НЭ1, НЭ3 |
|
|
Параметры |
k |
15 | 10 | 9 | 6 | 7 | 8 | 5 | 7 |
|
T1 |
0.9 | 1.0 | 7 | 0.6 | 0.2 | 0.3 | 9 | 0.7 | |
|
T2 |
1.8 | 2.0 | 5 | 1.2 | 0.3 | 0.5 | 4 | 1.5 | |
|
T3 |
9 | - | 0.3 | - | 1.5 | - | 0.2 | - | |
|
b |
0.5 | 1.0 | 0.5 | 0.35 | 0.3 | 0.35 | 0.35 | 0.45 | |
|
c |
5 | 6 | 5.5 | 3 | 2 | 2.5 | 3 | 4 | |
