Реферат: Шпоры по математическому анализу

Векторы единичной длины, направленные по осям координат называют ортами и обозначают i (по оси Ох) j (по оси Оу). В 3х-мерном пространстве берется еще k (по оси z) Проекции  ах  и ау вектора а на оси х и у называют координатами вектора а. Углы вектора а с осями координат - a и b, тогда ах =|a|×cosa     - направляющие

          ау =|a|×cosb        косинусы

a,b - задают направление.

Величины cosa и cosb называются направляющимикосинусами вектора а. Зная координаты ах  и ау , можно вычислить модуль и направляющие косинусы: cosa= ах¸|a|, cosb= ау¸|a|

Очевидно, что |a| = Öах2 +ау2

Вектор ОМ, выходящий из (0;0) и оканчивающийся в т. М(х,у) называют радиус-вектором т.М. Координаты х и у т.М. так же являются координатами вектора r=ОМ. Поэтому r=хi+уj. Принято так же писать r ={х,у}

Длина вектора в 3х-мерном пространстве измеряется по формуле

|a|= Ö ах2 +ау2 +аz2

Векторное произведение и его свойства.

Результатом векторного умножения вектров является вектор. Векторное произведение векторов  а и в обозначается так: [а,в] или а´в.

Векторным произведением векторов а и в называется вектор с= [а,в], для кот.:

1.     длина численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах, т.е. |c|= |a|×|b|×sin(ab)

2.     прямая, несущая вектор, ^ каждому из перемножаемых векторов,т.е. плоскости указанного параллелограмма

3.     направление на этой прямой выбирается так, что бы при взгляде с конца  вектора с поворот первого множителя а на наименьший угол до совмещения со вторым множителем в производился бы против часовой стрелки ( такая тройка векторов а,в,с, называется правой)

 Если а и в коллиниарны, то с=0 и вопрос о направлении с отпалдает.

Свойства:

1.     в´а = - а´в, т.е. векторное умножение некоммуникативно

2.     [lа,в]=[а,lв]=l[а,в]

3.     (а+в)´с=а´с+с´в, т.е. векторное умножение дистрибутивно

 

          i  j  k         ау аz             ах аz            ах ау

а´в=  ах ау аz  =i   ву вz    - j  вх вz  +k вх ву

         вх ву вz        

11. Смешанное произведение векторов. Его геометрический смысл.

Под смешанным произведением (векторно-скалярным) векторов а,в,с, понимают число авс=[а,в]×с

Выясним геометрический смысл смешанного произведения. Пусть S=[а,в]

|S|- площадь основания паралл-да

H -высота паралл-да

H= |c| ×|cosj|, где j - острый или тупой угол между векторами S и С.

авс=(s,c)=|s|×|c|×j= |s|×(±H)=±V - объем параллелепипеда.

Знак "+" получается, если тройка а,в,с правая и "-", если леваяÞАбсолютная величина смешанного произведения авс численно равна объему парал-да, построенного на векторах а,в,с.

Исходя из геом. Смысла, получаем необходимое и дополнительное условие компланарности векторов а,в,с, а именно авс=0

Координатная формула величины см. произведения векторов.

а={ах ау аz}, в={вх ву вz}, с={сх су сz}:

           ах ау аz

авс=   вх ву вz

                 сх су сz

12.Формулы расстояния между двумя точками и длина отрезка в заданном отношении.

Расстояние между точками М1  и М2вычисляется как модуль |М1 М2| вектора М1 М2.

М1 М2=| М1 М2|=√(х2 -х1)2 + (у2 -у1)2

Нахождение координат точки, делящей отрезок М1 М2 в заданном отношении М1N¸N М2 = p(число р задано)

Известно ,что || прямые K1М1 ;

NL  ;  K2М2 рассекают стороны угла M2AK2  на пропорциональные отрезки:

p=М1N¸N М2=K1L¸LK2 или х-х1¸х2-х1=pÞх=х1+pх2¸1+p;y=у1 +pу2¸1+p

в частности координаты середины отрезка (p=1)

x= х1 +х2¸2

у= у1 +у2¸2

13. прямая линия на плоскости: общее уравнение, уравнение с угловым коэфициентом, уравнение в отрезках.

Общее уравнение прямой линии - Ах+Ву+С=0, где коэфициенты А, В, С - какие-либо числа, переменные х, у называют текущимикоординатами точки, лежащей на прямой. Некотоорые коэфициенты могут равняться 0, однако хотя бы одно из чисел А, В должно быть отлично от 0, т.е. А2+В2¹0, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты

у=kх+в - уравнение прямой с угловым коэфициентом

k=tga, где a - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси Ох (0<a<p;a¹p/2)

                   геом. смысл коэфицтентов

уравнение в отрезках

заданы ненулевые отрезки а и в, отсекаемые прямой на осях координат. По условию точки (а;0) и (0;в) лежат на прямой. Воспользуемся уравнением

  х - х1      у - у1

  х2-х1    у2- у1

где х1=а    у1=0

      х2=0    у2=в

14. Уравнение прямой, проходящей через одну заданную точку, через 2 точки.

у - у1=k(х - х1)

уравнение прямой: у=kх+в

Если мы преобразуем первоначальное уравнение у - у1=k(х - х1), то получим у=kх+( у1-kх1) Оно удовлетворяет условия уравнения прямой : у=kх+в, т.к.

1.     его степень первая, а значит оно может быть прямой,

2.     прямая проходит через точку (х1; у1), т.к. координаты этой точки удовлетворяют уравнению : 0=0

3.     роль коэфициента в играет выражение у1-kх1

Прямая с уравнением у - у1=k(х - х1) проходит через 1 точку. Потребуем, что бы и вторая точка лежала на этой прямой, т.е. что бы выполнялось равенство у2 - у1=k(х2 - х1). Отсюда находим k= у2 - у1¸ х2 - х1 и подставим в уравнение:

у - у1  = у2 - у1¸ х2 - х1×(х - х1) или

х - х1¸х2 - х1= у - у1¸у2 - у1

15.Угол м/у прямыми на плоскости

Прямые: у=k1х +в1, у=k2х +в2

В тр-ке АВС сумма внутр. углов a1+b равна внешнему углу a2 поэтому b=a2-a1Очевидно, tga1= k1; tga2= k2.Проименяя формулу для tg разности 2х углов получим tgb=tg(a2-a1)= tga2-tga1¸1+ tga2×tga1

Окончательно имеем tgb= k2- k1¸1+k2××k1Вычислив тангенс можно найти и сам угол b.

16. Условия || и ^ прямых на плоскости.

 

Даны уравнения прямых с угловым коэф. у=k1х  и у=k2х +в2

Условия || прямых -это равенство угловых коэф. к1=к2     (1)

Условие (1) выполн. и для слившихся прямых. Формулу углового коэф. прямых (tga= k2- k1¸1+k2××k1) можно записать ввиде: ctga= 1+k2××k1¸k2- k1 (это в сслучае, если к1¹к2). Условие ^ прямых выражается равенством k2××k1= -1. Если к1=0 или к2=0, то одна из прямых || оси Ох, а вторая ей ^, имеет уравнение вида х=а.

Пусть прямые заданы общим уравнением. А1х+В1у+С1=0,  А2х+В2у+С2=0, Если В1=В2=0, то обе прямые параллельны оси Оу и между собой (их уравнения имеют вид х=а) Если В1=0, а В2¹0, то прямые^. В случае когда А2=0 (уравнение приводится к виду х=а, у=в)В случае В1¹0 и В2¹0можно выразить у в каждом уравнении. у= -А1х¸В1-С1¸В1;

У= - А2х¸В2-С2¸В2, тогда к1= -А1¸В1, а к2= - А2¸В2 и условие || А1¸В1= А2¸В2 или А1¸А2= В1¸В2.

С помощью равенства 1+к1×к2=0, 1+ А1¸В1× А2¸В2=0. Приходим к условию ^прямых А1×А2+В1×В2=0.

17. Эллипс

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная (большая расстояния между фокусами)

Уравнение элипса примет самый простой вид, если фокусы разместить на оси Ох слева от начала координат на равном от него расстоянии. F1 F2 - фокусы эллипса. Обозначим F1F2 = 2c тогда фокусы имеют координаты (-с,0) и (с,0). Расстояния о фокусов до текущей точки эллипса М обозначим r1 и r2. Их называют фокальными радиусами. Постоянную величину r1 + r2 обозначим 2а: r1 + r2 =2а. помещая точку М в точки  и А'  легко сообразить, что А'А = 2а. Отрезки AA' и ВВ' называются осями эллипса, а отрезки ОА и ОВ - полуосями эллипса. Точки А,А',В,В' называют вершинами эллипса. Пусть М(х,у)находится в точке В, тогда r1 = r2 =а. Из тр-ка ВОF2 ВО=ÖBF22-OF22 Обозначим ВО=в, тогда в=Öа2 - с2 . Через полуосиэллипса а и в уравнение запишится так:

Это уравнение называют каноническим уравнением эллипса. Окружность - частный случай эллипса, получается при а=в=R(R - радикс окружности). Чем больше отличаются друг от друга полуоси а и в, тем более сплюснутым будет эллипс. Степень сплюснутости эллипса принято измерять эксцентриситетом

Очевидно, 0£ɛ£1. При ɛ=0 имеем окружность, с увеличением ɛэллипс все больше отличается от окружности, становясь более выпуклым.

18. Гипербола

Гиперболой называется геом. место точек плоскости , для которых абсолютная величина разности расстояний до двух данный точек, называемых фокусами, есть величина посоянная, не равная 0 и меньшая расстояния между фокусами. Фокусы F1 и F2 снова расположим на оси Ох в точках (-с,0), (с,0). Отрезки F1М = r1 и F2М = r2 называют фокальными радиусами. По определению |r1 - r2 | есть величина постоянная. Обозначим ее 2а: |r1 - r2| =2а. Точки А и А' называют вершинами гиперболы. Легко понять, что АА' =2а. Действительно, для точки А r1 =АF1 а r2 =АF2. Очевидно, АF2=А'F1,поэтому r1 - r2 = АF1-АF2= АF1=А'F1 = А'A. С другой стороны r1 - r2 =2а. Отрезок АА' называют действительной осью гиперболы. Пусть в=Öс2-а2 Точки В и В' имеют координаты(0,в) и (0,-в). отрезок ВВ' называют мнимой осью гиперболы. Канонической уравнение гиперболы имеет вид:

 у гиперболы 2 ветви, при а=в гиперола называется равнобочной. Уравнения у=вх¸а и у=-вх¸а. Они называются асимптотами. Если точка удаляется по любой из ветвей гиперболы, то ее  расстояние до соответствующей асимптоты стремиться к 0. Для гиперболы эксцентриситет принимает зн-ия большие 1.

19. Парабола.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной прямой, называемой директрисой, и от данной точки, не принадлежащей директрисе, называемой фокусом. Обозначим расстояние между фокусом и директрисой через р. Канонической уравнение параболы имеет вид:

у2=2рх и получается, если фокус F поместить в точку (р¸2, 0), а в качестве директрисы взять прямую х = - р¸2. Число р называют параметром параболы, точку (0,0) - ее вершиной.

20. Плоскость в пространстве: общее уравнение, геометрический смысл коэфициентов, уравнение плоскости., проходящей через заданную точку пространства.

Общее уравнение плоскости: Ах+Ву+Сz +D=0, в котором хотя бы один из коэффициентов А,В,С отличен от 0. Эти коэффициенты имеют опред. Геом. смысл

Зададим положение плоскости с помощью некоторой точки М0(х0,у0,z0) и ненулевого вектора N(А,В,С), перпендекулярного плоскости. По этим данным плоскость определяется однозначно. Пусть М(х,у,z) - текущая точка плоскости. Векторы N(А,В,С) и М0М(х-х0,у-у0,z-z0) ортогональны, поэтому их скалярное произведение равно )

А(х-х0)+В(у-у0)+С(z-z0)=0 (1)

После преобразований получаем уравнение:

Ах+Ву+Сz+D=0, где D = -Ах0-В0-Сz0

Следовательно, А,В,С - координаты вектора, перпендекулярного плоскости, заданной общим уравнением.

Множество плоскостей, описываемых уравнением (1), при фиксированной точке (х0,у0,z0) и переменных коэфициентах А,В,С называются связкой плоскостей. Когда среди условий, задающих искомую плоскость, значится ее точка М0(х0,у0,z0), можно начинать решение задачи с применения уравнения (1). Плоскость так же называют поверностью первого порядка.

23. Сфера,

Сфера. Уравнение сферы, центр которой находится в начале координат: х2+у2+z2=R2. Пусть теперь центр расположен в точке М0(х0,у0,z0)

Текущая точка М(х,у,z) сферы находится на расстоянии R от т. М.

Из равенства ММ02=R2 получаем: (х-х0)2+(у-у0)2+(z-z0)2=R2

Эллипсоид канонич. уравнение:

- а,в,с - полуоси эллипсоида. При а=в получается эллипсоид вращения. Такую форму имеет поверхность нашей планеты. При а=в=с эллипсоид превращается в сферы радиуса R=а

Параболоид вращения

В плоскости уОz  рассмотрим параболу у2=2рz. Поверхность, образованная вращением этой параболы вокруг оси Oz называется параболоидом вращения.

Пусть М(х,у,z) - произвольная точка поверхности, а М0 -  точка с той же аппликатой z, лежащая на параболе у2=2рz. Т.к. О'М=О' М0, то у2 для точки М0 можно заменить в уравнении на х2+у2 для точки М: х2+у2=2рz - уравнение параболоида вращения

21.     Уравнение прямой линии в пространстве.

Прямую линию в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей А1х+В1у+С1 z +D1=0 и А2х+В2у+С2 z +D2=0. Рассмотрим случай, когда прямая задана своей точкой М0(х0,у0,z0) и направлением р=(l,m,n). Пусть М(х,у,z) - текущая точка прямой, векторы М0Ми р должны быть коллиниарны, поэтому:

х-х0¸l=у-у0¸m=z-z0¸n (1)

получили каноническое уравнение прямой. Разрешается одной и даже двум величинам в знаминателе обращаться в 0.В этом случае используют свойства пропорции.

х-х0¸l=у-у0¸m=z-z0¸n=t

приравнивая величине t каждое из отношений по отдельности, выразим х, у, z: х= х0+lt, y= у0+mt, z= z0+nt. Получили параметрические уравнения той же прямой.

 С помощью (1) можно написать уравнение прямой, проходящей через 2 заданные точки М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2). Одну из этих точек, например М1 можно принять за М0, что даст возможность написать числители в (1). Осталось определить направление прямой. Для этого используют вектор М1М2(х1-х2,у1-у2,z1-z2) его координаты принимают за числа l,m,n В результате приходим к уравнениям:

х-х0¸ х1-х2 =у-у0¸у1-у2=z-z0¸ z1-z2

22.     Условия || и ^ прямых на плоскости.

Пусть даны две прямые х-х1¸l1=у-у1¸m1 =z-z1¸n1 и х-х2¸l2=у-у2¸m2 =z-z2¸n2 и две плоскости А1х+В1у+С1z+D1=0 и А2х+В2у+С2z +D2=0. Вспомним, что векторы р1={l1,m1,n1} и р2={l2,m2,n2} имеют направления прямых, а векторы N1{А1,В1,С1} и N2{А2,В2,С2}ортоганальны соответствующим плоскостям. Кроме того, воспользуемся условиями коллиниарности и ортоганальности двух векторов:

1.Условие параллельности прямых.

l1¸l2 =m1¸m2 =n1¸n2

2.     Условие параллельности плоскостей

А1¸А2 =В1¸В2 =С1¸С2

3.     условие перпендекулярности прямых(скалярное произведение и р1и р2=0)

l1+l2 =m1+m2 =n1+n2=0

4. условие перпендекулярности плоскостей

А1+А2 =В1+В2 =С1+С2=0

4.     условие перпендекулярности прямойи плоскости( коллиниарность векторов р1и N1)

l1¸А1 =m1¸В1 =n1¸С1

5.     Условие параллельности прямой и плоскости ( ортогонтальность векторов р1и N1)

l1+А1 =m1+В1 =n1+С1=0