Реферат: Шпоры по математическому анализу

Покажем, как нахождение предела периметра Pn сводится к вычислению интеграла. Представим ∆li в нужном виде:

По формуле конечных приращений Лагранжа

Поставив это выражение ∆уi в формулу ∆li, полуим

Таким образом (1),

Если составить интегральную сумму для функции

с полученными выше точками ξi, то придем к выражению (1), т.е.

кроме того стремление к нулю наибольшей хорда ∆li влечет за собой стремление к нулю

поэтому

(если этот предел существует).

Но по нашим предположениям функция f'(x), а следовательно и функция g(x) непрерывна. Непрерывная функция интегрируема, значит, упомянутый предел существует. Мы доказали, что

Подставляя выражение g(x), получаем формулу длины дуги:

29. Вычисление объема и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла.

Пусть тело образовано вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной сверху графиком непрерывной функции y=f(x). (рис 1) Нахождение объема V этого тела сведем к вычислению интеграла.

Делаем разбиение R отрезка [a,b] точками а=х0< x1< x2<…< xn=b. На отрезке [xi, xi+1] строим прямоугольник высотой f(xi). При вращении этого прямоугольника получается цилиндр с радиусом основания f(xi) и высотой ∆ xi. Его объем равен π[f(xi)]² ∆ xi. Построим такие же целиндры для каждого промежутка [x0,x1], [x1,x2],…[xn-1,xn]. Все цилиндры в совакупности образуют тело, назовем его объем Vn.

Определение: Если существует предел Vn, когда

Стремится к нулю, не зависящей от выбора разбиений R, то этот предел называю объемом тела вращения.

Очевидно,

Данная сумма является интегральной суммой для функции,

Которая непреывна по условию. Следовательно, интеграл сществует. Формула для объема тела вращения имеет вид:

Площадь поверхности вращения.

Если площадь поверхности, образованной вращением кривой АВ (рис 1) задана непрерывна дифференцируемой функций y=f(x), обазначить через Р, то

15. Основные свойства неопределенного интеграла.

1. ∫ Аf(x)dx = A ∫ f(x)dx (постоянный множитель можно выносить за знак интеграла).

2. ∫[f(x)-f(x)]dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx (интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций).

16. Интегрирование по частям и замена переменной в неопределенной интеграле.

Замена переменной.

Будем полагать функции f(u) и φ'(x) непрерывными. Замена переменной производится по формуле:

Формула проверяется дифференциалом обеих частей равенства по x (правая часть дифференцируется как сложная функция).

Интегрирование по частям:

Пусть u и v являются функциями x. Умножив обе части равенства  (uv)'=u'v+uv' на dx, получим d(uv)=vdu+udv. Интегрируя приходим к формуле интегрирования по частям

1 Матрицы и действия с ними

Матрицей порядка m´n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Квадратная матрица порядка m  - m=n. Составляющие матрицу числа называют ее элементами.

Сложение матриц.

При сложения, должны быть равны порядки матриц.

 а11 а12                      в11    в12      _

 а21 а22              в21   в22      _

 

 а11+ в11           а12 + в12

 а21+в21            а12 + в12

 

Умножение матриц на число.

       а11    а12             ва11     ва12

 в    а21    а22       =    ва21     ва22

Умножение матриц друг на друга.

а11 а12               в11    в12        _

а21  а22               в21    в22        _

 

а11в11+ а12 в21    а11в12+а12в22         

а21 в11+ а22 в21    а21в12+а22в22

 

2 Правила вычисления определителей второго и третьего порядков.

 Определитель (детерминал) матрицы - число, которое ставится в соответствие этой квадратной матрице.

Порядок определителя - порядок соответствующей матрицы.

Определение определителя 2-го порядка.

а11 а12       _

а21 а22       _   а11 а22  -  а21 а12

 

а11 а22 - главная диагональ

а21 а12 - побочная диагональ

Определение определителя 3-го порядка.

а11 а12  а13

а21 а22 а23       = а11 а22  а33 + а21 а32  а13 +

а31 а32  а33    + а12 а23  а31 - а13 а22  а31 -

                   - а23 а32  а11  -  а21 а12  а33

 

3 Минором элемента аij определителя 3-го порядка называется определитель 2-го порядка, который получается путем вычеркивания в определителе третьего порядка i- той строки и j-ого столбца, т.е. строки и столбца, в котором находится данные элемент аij

аij занимает четное место, если сумма i+j  является четной и наоборот нечетное место, если сумма является нечетным числом.

Алгебраическим дополнением (Аij) элемента аij называется минор этого элемента взятый с "+" если аij  - четное и с "-" , если аij  - нечетное.

а11 а12  а13

а21 а22 а23       =  а11А11+а12А12+а13А13

а31 а32  а33

 

 

 

 

 

 

4. Системы линейных уравнений. Правило Крамера.

  а1х + в1у =с1        · в2    -для искл.

  а2х + в2у =с2        · (-в1) неизв. у

                      или

                              · а2     -для искл.

                                  · (-а1) неизв. х.

 

 

II сложим полученные уравнения, получим

х( а1в2 - а2в1) = с1в2 - с2в1

или (при исключении х)

у( а1в2 - а2в1) = а1с2 - а2с1

 

III По формуле определения определителя 2-го порядка, можно заменить коэфициенты уравнения.

          а1  в1

Д =                 - осн. опред-ль системы

               а2   в2      

          с1  в1

Дх =               

               с2   в2

                                                  доп. опред-ли

          а1  с1

Ду =                

               а2   с2

 

 

х= Дх¸Д          у= Ду¸Д

Основной определитель составляется из коэфициентов при неизвестных а Дх  и  Ду  получаются путем замены свободными членами соответственно первого и второго столбцов основного определителя.

5.Геометрическое истолкование линейной системы двух уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

   I                 

-      у системы 1 решение.

 

   II                                      

                   а1¸а2= в1¸в2 = k

                   c1¸с2 ¹ k

                    k (а1х + в1у) = k c1

                            пусть х0у0    - какое-нибудь              решение 2-го уравнения, подставляем:

                 

                  k(а1х0+в1у0)=kc1¹с2Þ

решение второго уравнеиня не удовлетворяет первое.

Противоречивая система   - не имеет решений.

______________________________________________________________________

а1/а2= в1/в2 = c1/с2= k

второе уравнение равно первому умноженному на какое-либо число или второе уравнение является следствием первого.

Неопределенной системой называется система, имеющая бесконечное количество значений.

6. Геометрическое истолкование линейной системы трех уравнений. Неопределенная и противоречивая системы.

В пространстве Oxyz каждому из уравнений соответствует плоскость. Рассмотрим все возможные случаи взаимного расположения этих плоскостей.

1.     Основной определитель Д¹0. По правилу Крамера находится единственное решение системы. Геометрически - это координаты единственной точки пересечения всех трех плоскостей.

2.     Д=0 Много возможностей.

А) все три плоскости совпадают.

х+2у+z=2        2-ое и 3-е мы полу-

3х+6у+3z =6   чаем из 1-го, умно-

2х+4у+2z=4    жая их на 3 и 2 соответственно.ÞСистема неопределена. Отбрасываем 2 и 3 ур. и из оставшегося вычисляем z=2-х-2у. Давая различные значения х и у, вычислим соответствующее значение z и получим решение системы Таких решений бесконечное множество.

Б) Две плоскости совпадают, а 3-я их пересевает по одной прямой (т.е. не сливается с ними)Þможно отбросить одно уравнение, оставив уравнения любых двух несливающихся плоскостей. Эта система явл. неопред: значение одной из неизвестных задается произвольно, две другие вычисляются из упомянутой системы. Аналогичный результат получается, когда 3 плоскоти пересекаются по одной прямой, попарно не совпадая.

Если 1 и 3 сложить, то получится 2. И наоборот, если из 3-1, то получим 2.

В) 2 или 3 плоскости ||

При этом когда 2 || , третья либо их пересекает, либо совпадает с одной из нихÞ система противоречива.

Г) плоскости попарно пересекаются. Линии пересечения ||  между собой (их 3)Þ система противоречива.

*** Если в однородной системе все миноры 2-го порядка =0, решение зависит от 2х параметров., или хотябы один отличен от нуля, то решение зависит от одного пораметра.

7. Сложение векторов, умножение вектора на скаляр. Проекция вектора на ось. Коллиниарность и комплиментарность векторов.

Вектором называется величина, которая характеризуется не только численным значением, но и направлением в пространстве. Модулем |ā| или длиной вектора а наз его числ. зн-ие. Если |ā|=0, вектор называют нулевым..

Проекция вектора на ось.

Пусть в пространстве даны вектор ĀВ и ось Ох. Опустим ^ на ось Ох и з точек А и В, т.е. спроектируем эти точки на ось Ох. Обозначим проекции через А'  и В'  Вектор A'B' называют компонентой вектора АВ по оси Ох. Проекцией вектора АВ на ось Ох называется длинна компоненты, взятая со знаком "+", если направление оси и компоненты совпадают, и со знаком "-" если направления противоположны.

Сложение и вычитание векторов

Сумма векторов ā и в определяется с помощью параллелограмма. Они выпускаются из одной точки и достраивается параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма есть сумма векторов ā и в.

 Сумма векторов так же определяется по правилу многоугольника - к концу первого вектора  подставляют начало другого и соединяется начало первого и конец второго.

Разность векторов

с=а-в      в+с=а                      а              с

                                                       в

Умножение вектора на скаляр.

λ-число (скаляр)

ā - вектор λā=с

Произведением λā называется вектор, длинна которого равна |ā|·|λ|, а направление такое же, как и у вектора ā если λ>0, и противоположное, если λ<0.

Векторы называются коллиниарными, если они лежат на совпадающих прямых.

Если векторы ā и в коллиниарны (ā¹0; в¹0), то они пропорциональны, т.е. существует такое положительное или отрицательное число l, что а=lв.

Три вектора называются компланарными, если их можно уложить на одну плоскость.

9. Скалярное произведение и его свойства.

Скалярным произведением векторов а и в называют произведение их длин и косинуса угла между ними.

(а,b)=|a|×|b|×cos(a,b)

Свойства:

1.     Коммуникативность. (а,в)=(в,а)

2.     Дистрибутивность. (а+в)×(с)=(а×с)+(в×с)

3.     (lа,в)=(а,lв) - скалярный множитель можно выносить за знак скалярного произведения.

4.     Скалярное произведение (а,в) равно 0 тогда и только тогда, когда они ^ или один из них=0

Док-во: cos 90 = 0

8. Длина и направляющие косинусы вектора, заданного координатами. Орты. Радиус-вектор точки.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5