Реферат: Прикладная математика
Вычисляем значение функции состояния только для одного значения аргумента x = у4 = 0, так как не хотим оставлять продукцию в запас в конце исследуемого периода. Процесс вычислений приведен в табл. 4. Получаем
F3 (x = y4) = min W3 (x3,0) = min (80, 71, 65, 62, 62) = 62,
x3
причем минимум достигается при двух значениях переменной х3, равных
`3 (x = y4 = 0) = 3 или `3 (x = y4 = 0) = 4.
Таким образом, мы получили не только минимальные общие затраты на производство и хранение продукции, но и последнюю компоненту оптимального решения. Она равна
= 3 или = 4.
Рассмотрим случай, когда на последнем этапе планируем выпускать три единицы продукции
= 3.
Остальные компоненты оптимального решения найдем по обычным правилам метода динамического программирования. Чтобы найти предпоследнюю компоненту, учтем, что
х3 + у3 - d3 = y4
или
3 + у3 - 4 = 0,
откуда
у3 = 1.
Из таблицы (3) значений находим
Аналогично, продолжая двигаться в обратном направлении и учтя, что
х2 + у2 - d2 = y3
|
|
|
xk |
yk = yk+1 + dk - xk |
Wk(xk, yk+1) =jk(xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk) |
0 £ y3 £ d3 |
x = y3 |
0 £ x2 £ d2 + y3 |
x2 |
y2 = y3 + d2 - x2 |
W2(x2, y3) = a + bx + c + h2y3 + F1(y2) |
0 £ y3 £ 4 |
x = y3 |
0 £ x2 £ 2 + y3 |
x2 |
y2 = y3 + 3 - x2 |
|
y3 = 0 |
0 £ x2 £ 2 |
x2 = 0 x2 = 1 x2 = 2 |
y2 = 2-0 = 2 y2 = 2- 1 = 1 y2 = 2-2 = 0 |
W2(0;0) = 02 + 5×0 + 2 + 3×0 + F1(2) =2+28 =30 W2(1;0) = 12 + 5×1 + 2 +3×0 + F1(1)=8+17 =25 W2(2;0) = 22 +5×2 + 2 + 3×0 +F1(0) =16+8=24* |
|
y3 = 1 |
0 £ x2 £ 3 |
x2 = 0 x2 = 1 x2 = 2 x2 = 3 |
y2 = 3 - 0 = 3 y2 = 3-1 = 2 y2 = 3-2 = 1 y2 = 3-3 = 0 |
W2(0;1) = 02 + 5×0 + 2 + 3×1 + F1(3) = 5+41=46 W2(1;1) = 12 + 5×1 + 2 + 3×1 + F1(2) =11+28 =39 W2(2;1) = 22 + 5×2 + 2 + 3×1 + F1(1)=19+17 =36* W2(3;1) = 32 + 5×3 + 2 + 3×1 + F1(0)=29+8 =37 |
|
y3 = 2 |
....................... | ........ | ............................ | ............................................................. | |
y3 = 3 |
0 £ x2 £ 5 |
x2 = 0 x2 = 1 x2 = 2 x2 = 3 x2 = 4 x2 = 5 |
y2 = 5 - 0 = 5 y2 = 5 - 1 = 4 y2 = 5 - 2 = 3 y2 = 5 - 3 = 2 y2 = 5 - 4 = 1 y2 = 5 - 5 = 0 |
W2(0;3) = 02 + 5×0 + 2 + 3×3 + F1(5) = 11+73=84 W2(1;3) = 12 + 5×1 + 2 + 3×3 + F1(4) =17+56 =73 W2(2;3) = 22 + 5×2 + 2 + 3×3 + F1(3)=25+41 =66 W2(3;3) = 32 + 5×3 + 2 + 3×3 + F1(2)=35+28 =63* W2(4;3) = 42 + 5×4 + 2 + 3×3 + F1(1)=47+17 =64 W2(5;3) = 52 + 5×5 + 2 + 3×3 + F1(0)=61+8 =69 |
|
y3 = 4 |
0 £ x2 £ 6 |
x2 = 0 x2 = 1 x2 = 2 x2 = 3 x2 = 4 x2 = 5 x2 = 6 |
y2 = 6 - 0 = 6 y2 = 6 - 1 = 5 y2 = 6 - 2 = 4 y2 = 6 - 3 = 3 y2 = 6 - 4 = 2 y2 = 6 - 5 = 1 y2 = 6 - 6 = 0 |
W2(0;4) = 02 + 5×0 + 2 + 3×4 + F1(6) = 14+92=106 W2(1;4) = 12 + 5×1 + 2 + 3×4 + F1(5) =20+73 =93 W2(2;4) = 22 + 5×2 + 2 + 3×4 + F1(4)=28+56 =84 W2(3;4) = 32 + 5×3 + 2 + 3×4 + F1(3)=38+41 =79 W2(4;4) = 42 + 5×4 + 2 + 3×4 + F1(2)=50+28 =78* W2(5;4) = 52 + 5×5 + 2 + 3×4 + F1(1)=64+17 =81 W2(6;4) = 62 + 5×6 + 2 + 3×4 + F1(0)=80+8 =88 |
|
||||
|
|
|
|
xk |
yk = yk+1 + dk - xk |
Wk(xk, yk+1) = jk(xk) + hkyk+1 + Fk-1(yk) |
||
0 £ y4 £ 0 |
x = y4 |
0 £ x3 £ d3 + y4 |
x3 |
y3 = y4 + d3 - x3 |
W3(x3, y4) = a + bx3 + c + h3y4 + F2(y3) |
||
y4 = 0 |
x = y4 |
0 £ x3 £ 4 |
x3 |
y3 = y4 + 4 - x3 |
|||
y4 = 0 |
0 £ x3 £ 4 |
x3 = 0 x3 = 1 x3 = 2 x3 = 3 x3 = 4 |
y3 = 4-0 = 4 y3 = 4- 1 = 3 y3 = 4-2 = 2 y3 = 4-3 = 1 y3 = 4-4 = 0 |
W3(0;0) = 02 + 5×0 + 2 + 2×0 + F2(4)=2+78=80 W3(1;0) = 12 + 5×1 + 2 + 2×0 + F2(3)=8+63=71 W3(2;0) = 22 + 5×2 + 2 + 2×0 + F2(2)=16+49=65 W3(3;0) = 32 + 5×3 + 2 + 2×0 + F2(1)=26+36=62* W3(4;0) = 42 + 5×4 + 2 + 2×0 + F2(0)=38+24=62* |
Самопроверка результатов Таблица 5
Этапы | январь | февраль | март | Итого за 3 месяца |
Имеем продукции к началу месяца, шт. |
у1 = 2 |
у2 = 1 |
у3 = 1 |
у1 = 2 |
Производим в течение месяца, шт. |
х1 = 2 |
х2 = 2 |
х3 = 3 |
х1+ х2+ х3 = 7 |
Отпускаем заказчикам, шт. |
d1 = 3 |
d2 = 2 |
d3 = 4 |
d1+ d2+ d3 = 9 |
Остаток к концу месяца (храним в течение текущего месяца), шт. |
у2 = 1 |
у3 = 1 |
у4 = 0 |
|
Затраты на производство, руб. |
j(х1)=16 |
j(х2)=16 |
j(х3)=26 |
j(х1) + j(х2) + j(х3) = 58 |
Затраты на хранение, руб. |
h1у2 = 1 |
h2у3 = 3 |
0 |
h1у2 + h2у3 = 4 |
|
2 + у2 - 2 = 1,
получаем
у2 = 1;
из таблицы (2) значений х1(x) находим
.
Итак, оптимальный план производства имеет вид
х1 = 2
х2 = 3
х3 = 3,
а минимальные общие затраты составляют 62 единицы.
Полезна самопроверка полученного результата. Для этого по исходным данным и найденному плану производства заполняем таблицу 5 и убеждаемся, что заявки потребителей на каждом этапе выполняются
у1 + х1 ³ d1 у2 + х2 ³ d2 у3 + х3 ³ d3
2 + 2 ³ 3 1 + 2 ³ 2 1 + 3 ³ 4
и что суммарный объем производства и имевшегося к началу первого этапа запаса продукции равен суммарной потребности
у1 + х1 + х2 + х3 = d1 + d2 + d3
2 + 2 + 2 + 3 = 3 + 2 + 4
причем это достигается при наименьших возможных затратах на производство и хранение продукции
j(х1) + j(х2) + j(х3) + h1у2 + h2у3 = F3(y4=0)
16 + 16 + 26 + 1 + 4 = 62
Студенту рекомендуется найти другой вариант оптимальной производственной программы, когда на последнем этапе предполагается произвести 4 единицы продукции, и так же выполнить самопроверку.
§10. Матричная модель производственной
программы предприятия
Предприятие состоит из n цехов. Каждый цех выпускает только один вид продукции. Пусть j-й цех выпускает xj единиц продукции, из которых yj единиц отправляет за пределы предприятия как товарную продукцию, а остающаяся часть используется другими цехами предприятия.
Пусть ajk – кол-во продукции j-го цеха, расходуемое на производство единицы продукции k-го цеха. Числа aij образуют матрицу А коэффициентов прямых затрат, называемую структурной. Производственная программа предприятия представляется вектором X(x1, … , xn), а выпуск товарной продукции – вектором У(у1, … , уn). Очевидно,
(Е - А)Х = У или Х = (Е - А)-1У.
Элементы любого столбца матрицы (Е - А)-1, называемой матрицей коэффициентов полных затрат, показывают затраты всех цехов, необходимые для обеспечения выпуска единицы товарного продукта того цеха, номер которого совпадает с номером данного столбца.
При заданном векторе У выпуска товарной продукции легко определить производственную программу Х и наоборот.
|
В = (Е - А)-1У = S
Зная закупочные цены сырья и рыночные цены готовой продукции, можно подсчитать прибыль.
§11. Матричная игра как модель конкуренции
и сотрудничества
Пусть игроки – Первый и Второй, играют в матричную игру с матрицей . Пусть стратегия Первого есть , а Второго – . Тогда выигрыш Первого есть случайная величина (с.в.) с рядом распределения:
… | … | ||||||||
… | … |
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10