Реферат: Случайные вектора

.

Рис. 65.1. Пример преобразования случайной величины.

Представим вероятности в (65.8) через плотности вероятностей, тогда:

 .                 (65.9)

Дифференцируя по  обе части (65.9), получим

                                    (65.10)

или

 ,                    (65.11)

где суммирование по  ведется по всем ветвям обратного преобразования.

65.3. Рассмотрим примеры вычисления плотности вероятности случайной величины  по формуле (65.11). Пусть  - линейное преобразование случайной величины . Функция  - взаимно однозначная, поэтому обратное преобразование имеет одну ветвь и сумма в (65.11) содержит одно слагаемое. Поскольку , то (65.11) принимает вид:

 .                                (65.12)

Рассмотрим квадратичное преобразование . Обратное преобразование имеет две ветви  и . Поэтому сумма (65.11) состоит из двух слагаемых. Вычисляя,  для , получаем:

                   (65.13)

Пусть  и случайная величина  имеет равномерное распределение вероятностей на интервале , с плотностью , если , и  при . Обратное преобразование имеет две ветви: , а также  . Вычисление производных  и подстановка в (65.11) приводит к результату:

.                                    (65.14)

На рис. 65.2. представлен график плотности  косинус-преобразования

равномерно распределенной случайной величины. Таким образом, исходная

Рис. 65.2. Плотность вероятности косинус-преобразования.

исходная величина  и преобразованная величина  могут иметь совершенно непохожие плотности вероятности.

Преобразование нескольких случайных величин

66.1. Соотношение (65.11), определяющее плотность вероятности  преобразованной величины  через плотность  исходной случайной величины , можно обобщить на случай преобразования  случайных величин. Пусть случайные величины  имеют совместную плотность , и заданы  функций ,  переменных . Необходимо найти совместную плотность вероятности  случайных величин:

                             (66.1)

Эта задача отличается от общей постановки, п. 6.4., условием  - число исходных случайных величин равно числу преобразованных величин. Преобразование, обратное (66.1), находится как решение системы уравнений , , относительно переменных . При этом каждое  зависит от . Совокупность таких функций , , образует обратное преобразование. В общем случае обратное преобразование неоднозначно. Пусть , , - - я ветвь обратного преобразования , тогда справедливо соотношение:

 ,                           (66.2)

где сумма берется по всем ветвям обратного преобразования,

                               (66.3)

- якобиан преобразования от случайных величин  к случайным величинам .

Если из каждой совокупности  случайных величин получается  случайных величин , то формулой (66.2) можно воспользоваться, дополнив систему  до  случайных величин, например, такими величинами . Если же , то  случайных величин из совокупности  функционально связаны с остальными  величинами, поэтому - мерная плотность  будет содержать  дельта-функций.

Соотношения (64.4), (64.6) и (66.2) определяют два метода решения задачи вычисления плотности  совокупности случайных величин , полученных функциональным преобразованием исходных случайных величин  с совместной плотностью вероятности . Основная трудность в применении первого метода состоит в вычислении -мерного интеграла по сложной области . Во втором методе основная трудность – это нахождение всех ветвей обратного преобразования.

66.2. Рассмотрим простой пример вычисления плотности вероятности суммы двух случайных величин  и  с плотностью  по формуле (66.2). Очевидно, в качестве первой преобразованной величины следует выбрать сумму: , а в качестве второй  (хотя можно взять и ). Таким образом, функциональное преобразование от ,  к ,  задается системой уравнений:

                         (66.4)

Обратное преобразование – это решение системы уравнений относительно , :

               (66.5)

Обратное преобразование однозначно, поэтому в (66.2) сумма состоит из одного слагаемого. Найдем якобиан преобразования:

 .                                           

Теперь (66.2) для  принимает вид:

 .                            (66.6)

Функция  - это совместная плотность вероятности случайных величин  и . Отсюда плотность вероятности  суммы  находится из условия согласованности:

.                 (66.7)

Рассмотрим первый метод решения этой же задачи. Из (64.4) следует:

.                          66.8)

Задача сводится к преобразованию интеграла по области , определяемой условием . Этот интеграл можно представить в виде:

    (66.9)

Отсюда плотность вероятности:

Отсюда плотность вероятности:

 ,                     (66.10)

что совпадает с формулой (66.7).

Хи - квадрат распределение вероятностей

67.1. Хи - квадрат распределением с  степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины , где  - независимые случайные величины и все  - гауссовы с математическим ожиданием  и дисперсией . В соответствии с формулой (64.3) функция распределения вероятностей случайной величины  равна

         ,              (67.1)

где  - совместная плотность вероятности величин . По условию  - независимые, поэтому  равна произведению одномерных плотностей:

         .                                  (67.2)

Из (67.1), (67.2) следует, что плотность вероятности  случайной величины  определяется выражением:

          .    (67.3)

Анализ этого выражения, видимо, представляет собой наиболее простой способ нахождения , поскольку здесь  и (67.3) можно представить в виде:

         .                          (67.4)

Здесь интеграл равен объему  области  - мерного пространства, заключенной между двумя гиперсферами:  - радиуса  и  - радиуса . Поскольку объем  гиперсферы радиуса  пропорционален , т.е. , то

                                                      (67.5)

- объем между двумя гиперсферами с радиусами  и , что и определяет с точностью до множителя интеграл (67.4). Подставим (67.5) в (67.4), тогда

         ,                               (67.6)

где  - постоянная, которая может быть определена из условия нормировки:

         .                                             (67.7)

Подставим (67.6) в (67.7), тогда

         .                                      (67.8)

Пусть , , тогда интеграл (67.8)

         ,                            (67.9)

         ,                                  (67.10)

где  - гамма - функция аргумента . Из (67.8) и (67.9) определяется постоянная , подстановка которой в (67.6) приводит к результату

                            (67.11)

67.2. Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины . Из (67.11)

.                           (67.12)

Аналогично среднее квадрата величины  равно

.            (67.13)

Из (67.12), (67.13) дисперсия

         .           (67.14)

67.3. В задачах математической статистики важное значение имеют распределения вероятностей, связанные с нормальным распределением. Это прежде всего  - распределение (распределение Пирсона),  - распределение (распределение Стьюдента) и  - распределение (распределение Фишера). Распределение  - это распределение вероятностей случайной величины

,                            (67.15)

где  - независимы и все .

Распределением Стьюдента (или  - распределением) называется распределение вероятностей случайной величины

,                          (67.16)

где  и  - независимые случайные величины,  и .

Распределением Фишера (- распределением) с ,  степенями свободы называется распределение вероятностей случайной величины

.                         (67.17)

Хи - квадрат распределение и распределение Максвелла по скоростям

Распределение Максвелла по скоростям молекул газа представляет собой плотность распределения вероятностей модуля скорости  и определяется соотношением

         ,                             (68.1)

где - число молекул газа,  число молекул, модуль скорости которых лежит в интервале ,  - газовая постоянная,  - абсолютная температура газа. Отношение  - это вероятность того, что модуль скорости молекулы лежит в интервале , тогда  - плотность вероятности модуля скорости.

Распределение (68.1) может быть получено на основе следующих двух простых вероятностных положений, задающих модель идеального газа. 1). Проекции  скорости на оси  декартовой системы координат являются независимыми случайными величинами. 2). Каждая проекция скорости  - гауссова случайная величина с нулевым математическим ожиданием и дисперсией . Параметр  задается на основе экспериментальных данных.

Определим плотность вероятности случайной величины

         .                                      (68.2)

Очевидно,  имеет хи - квадрат распределение с тремя степенями свободы. Поэтому ее плотность вероятности  определяется формулой (67.11) при :

         , ,                                 (68.3)

поскольку . Итак,  (68.3) - это плотность вероятности квадрата относительной скорости .

Следующий шаг состоит в переходе от распределения квадрата скорости  к распределению ее модуля , . Функциональное преобразование имеет вид: , а обратное , для , . Таким образом, обратное преобразование однозначное. Поэтому по (65.1) плотность распределения модуля  имеет вид

         .            (68.4)

Последний шаг состоит в переходе от случайной величины  к новой случайной величине

         .                                               (68.5)

Обратное преобразование  - однозначное, поэтому плотность вероятности  случайной величины , согласно (65.1) принимает вид

         , ,      (68.6)

что и совпадает с формулой (68.1).

Соотношение (68.5), определяющее связь относительной и абсолютной скоростей  и , следует из третьего положения модели идеального газа, которое является чисто физическим условием, в отличие от первых двух вероятностных условий. Третье условие может быть сформулировано как утверждение относительно значения  средней кинетической энергии одной молекулы в виде равенства

         ,                                        (68.7)

где  - постоянная Больцмана и представляет, по сути, экспериментальный факт. Пусть , где  - постоянная, которая далее определяется условием (68.7). Для нахождения  определим из (68.4) среднее квадрата относительной скорости:

         .                                     (68.8)

Тогда средняя кинетическая энергия молекулы , где  - масса молекулы, и с учетом (68.7) , или .

Литература

1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. М.: Высшая школа, 1999. - 575с.

2. Коваленко И.Н., Филиппова А.А. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1973. - 368с.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения М.: Высшая школа, 2000. - 480с.

4. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1999. - 479с.

5. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983. - 256с.

6. Пугачев В.С. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1979. - 496с.

7. Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1991. - 400с.

8. Фигурин В.А., Оболонкин В.В. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Новое знание, 2000. - 206с.

9. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1982. - 256с.

10. Боровков А.А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1976. - 352с.

11. Кремер Н.Ш.  Теория вероятностей и математическая статистика. М.: ЮНИТИ, 2000. - 543с.