Реферат: Случайные вектора
. (55.7)
Ковариация и независимость двух случайных величин
Для независимых случайных величин и ковариация . В отличие от этого рассмотрим другой крайний случай, когда случайные величины и связаны функциональной зависимостью:
, (56.1)
где - числа. Вычислим ковариацию случайных величин и :
. (56.2)
Из (56.1) следует . Подставим этот результат в (56.2), тогда
. (56.3)
Из (56.1) определим дисперсию
, (56.4)
откуда . Это равенство подставим в (56.3), тогда
(56.5)
Таким образом, ковариация линейно связанных случайных величин и принимает максимальное значение , если , или минимальное значение , если , на отрезке допустимых значений для в общем случае (согласно формуле (55.4)).
В связи с этим можно выдвинуть предположение о том, что ковариация является мерой статистической связи между случайными величинами и . Действительно, для двух крайних случаев получены подходящие для этого результаты, а именно: для независимых величин , а для линейно связанных максимален. Далее будет показано, что это предположение верно, но не в общем, а только для статистической связи линейного типа. Эта связь характерна тем, что при усилении этой связи растет , и в пределе связь вырождается в линейную зависимость (56.1).
Однако если связь имеет нелинейный характер, то величина не отражает меру (степень) этой связи. Рассмотрим следующий пример. Пусть , , и - случайная величина с равномерным на интервале распределением вероятностей. Случайные величины и связаны между собой соотношением: . Таким образом, между величинами и существует функциональная связь, а не статистическая, и следовало ожидать, что величина максимальна. Однако, прямые вычисления приводят к результату . Действительно,
, (56.6)
где
- плотность распределения вероятностей случайной величины . С учетом этого (56.6) преобразуется:
.
Аналогично
,
теперь ковариация
.
Таким образом, для нелинейной связи между случайными величинами их ковариация не может использоваться как мера статистической связи, поскольку значение ковариации не отражает степень этой связи.
Ковариация и геометрия линий равного уровня плотности вероятности
Ковариация случайных величин и определяется через их совместную плотность вероятности соотношением:
. (57.1)
Подынтегральная функция в (57.1) неотрицательна для таких , , при которых , то есть при , или , . И наоборот, при , или , подынтегральная функция (57.1) отрицательна либо равна нулю. Знак ковариации зависит от того, какие значения, положительные или отрицательные преобладают в подынтегральной функции. Поэтому знак числа определяется расположением линий равного уровня плотности вероятности . На рис. 57.1 представлен пример линий равного уровня функции , для которой . Штриховкой
Рис. 57.1.
Линии равного уровня плотности вероятности при .указана часть плоскости, на которой , и следовательно неотрицательна подынтегральная функция. Поскольку в заштрихованной области (положительные значения подынтегральной функции) плотность имеет в среднем большее значение, чем в нештрихованной области (отрицательные значения подынтегральной функции), то ковариация . На рис. 57.2 представлены линии равного уровня плотности при . Случай соответствует симметричному расположению линий относительно прямой (или ). Например, эти линии могут быть эллипсами, у которых большая полуось совпадает по направлению с прямой (или ). Другой пример – линии являются окружностями с центром в точке .
Рис. 57.2. Линии равного уровня плотности
вероятности при .
Отметим, что если , а линии равного уровня имеют ось симметрии, например, на рис. 57.1 линии – это эллипсы, тогда можно выполнить преобразование (вращение) системы координат , такое, что в новой системе ковариация . Это означает также и преобразование случайных величин , с ненулевой ковариацией к новым случайным величинам, для которых ковариация равна нулю.
Коэффициент корреляции
58.1. Коэффициентом корреляции двух случайных величин и называется число
. (58.1)
Коэффициент корреляции является ковариацией: двух безразмерных случайных величин
, , (58.2)
полученных из исходных величин и путем преобразования специального вида (58.2) (нормировки), которое обеспечивает нулевые средние , и единичные дисперсии , .
Коэффициент корреляции (58.1) можно представить через ковариацию случайных величин и :
. (58.3)
Поскольку , то из (58.3) следует
. (58.4)
Коэффициент корреляции является безразмерной величиной, принимает значения на интервале и поэтому используется как мера статистической связи линейного типа между случайными величинами и , в отличие от ковариации , для которой интервал значений зависит от дисперсий случайных величин. Рассмотрим примеры вычисления коэффициента корреляции, позволяющие выяснить свойства как меры статистической связи между случайными величинами.
58.2. Пусть - случайная величина с математическим ожиданием , дисперсией и . Ковариация случайных величин и определяется формулой (56.5): . Подставим это соотношение в (58.3) , тогда:
(58.4)
Таким образом, для случайных величин , , связанных линейной зависимостью коэффициент корреляции принимает либо максимальное значение , либо минимальное - .
58.3. Рассмотрим обобщение линейной функции, связывающей случайные величины и на линейную случайную функцию следующего вида:
(58.5)
где и - независимые случайные величины. В частном случае - число и (58.5) – линейная функция, определяющая через . Для детерминированной линейной связи - принимает максимальное значение. Если - случайная величина, то связь (58.5) становится статистической (стохастической, случайной), то есть не столь жесткой как детерминированная функциональная связь. Это приводит к . В зависимости от свойств случайной величины статистическая связь между и может быть сильной, , или слабой, . Для того, чтобы ответить на вопрос, какова мера связи между случайными величинами и (58.5) вычислим их коэффициент корреляции.
Пусть , , , . Тогда из (58.5) следует, в силу независимости и:
.
Выразим дисперсию случайные величины через параметры случайных величин ,: