Быстрый поиск

Реферат: Случайные вектора

. (62.3)

Элемент матрицы , обратной ковариационной можно найти по известной формуле:

, (62.4)

где - алгебраическое дополнение элемента матрицы . Из (62.3) следует

, (62.5)

а также при . Подстановка этих результатов в (62.4) приводит к выражению

. (62.6)

Подставим (62.3), (62.6) в (62.1), тогда

, (62.7)

где - плотность вероятности случайной величины . Таким образом, для гауссова случайного вектора из условия попарной некоррелированности его компонент , , следует условие (62.7) - независимости компонент случайного вектора.

Характеристическая функция случайного вектора

63.1 Функция переменных

(63.1)

называется характеристической функцией случайного вектора .

Если случайный вектор является непрерывным, то его характеристическая функция (63.1) определяется через его плотность :

. (63.2)

Это соотношение является - мерным преобразованием Фурье от функции . Поэтому плотность можно выразить через характеристическую функцию в виде обратного преобразования Фурье по отношению к (63.2):

. (63.3)

63.2 Несложно доказать следующие свойства характеристической функции.

1. .

2. .

3. Для независимых случайных величин их совместная характеристическая функция , где - характеристическая функция случайной величины .

4. Для любого целого , , справедливо соотношение:

63.3. Для нормально распределенного случайного вектора его характеристическая функция находится подстановкой плотности вероятности (62.1) в (63.2.) и последующем вычислении - мерного интеграла (63.2). Это приводит к следующему выражению:

, (63.3)

где - ковариация случайных величин и .

Функции от случайных величин

Пусть - случайные величины, имеющие совместную плотность и совместную функцию распределения вероятностей . Пусть также заданы функций , переменных . Вместо аргументов функции подставим случайные величины , тогда

(64.1)

- новые случайные величины. Задача состоит в том, чтобы по известным функциям , , , , найти функцию и плотность распределения вероятностей случайного вектора . Такая задача довольно часто возникает во многих приложениях теории вероятностей.

Сравнительно просто найти функцию распределения вероятностей . Действительно, по определению:

(64.2)

Представим случайные величины через , используя соотношения (64.1), тогда

(64.3)

Здесь вероятность можно представить в виде интеграла по области от плотности :

(64.4)

где областьсодержит все -мерные вектора , удовлетворяющие условию:

(64.5)

Плотность вектора можно определить из (64.4) по формуле:

(64.6)

Соотношения (64.4), (64.6) определяют всего лишь метод решения задачи, но не само решение. Задача в конкретной постановке может быть как относительно простой, так и очень сложной, в зависимости от чисел , , плотности и вида функций , определяющих область . Ниже рассмотрим примеры решения этой задачи для преобразования одной, двух и нескольких случайных величин.

Распределение вероятностей функции одной случайной величины

65.1. Пусть случайная величина имеет плотность вероятности и функция одной переменной , , является взаимно однозначной, тогда плотность вероятности случайной величины определяется соотношением:

, (65.1)

где - функция, обратная функции .

Вывод формулы (65.1) основан на соотношениях (64.4) и (64.6). Поскольку функция - взаимно однозначная, то эта функция или монотонно возрастающая или монотонно убывающая . Очевидны соотношения:

, (65.2)

. (65.3)

Пусть , - функции распределения вероятностей случайных величин и . Если , тогда используя (65.2),

. (65.4)

Продифференцируем по равенство (65.4), тогда

. (65.5)

Аналогично при справедливо равенство (65.3), поэтому

(65.6)

Отсюда:

. (65.7)

Теперь из соотношений (65.5) и (65.7) следует (65.1).

Существенным условием при выводе формулы (65.1) является свойство взаимной однозначности функции . Примерами таких функций являются: 1). Линейная функция , где , - числа, при этом обратная функция имеет вид ; 2). Экспонента - , откуда обратная функция , , и другие. Однако условие взаимной однозначности функции может нарушаться, например, для функции обратная функция , - двузначная. При этом рассматриваются две функции и , , которые называются первая и вторая ветви обратного преобразования . Более сложный пример: . Здесь обратная функция многозначная.

65.2. Рассмотрим модификацию формулы (65.1) на случай многозначного обратного преобразования . Для этого на области определения функции выделим неперекрывающиеся интервалы , - целое, на которых , тогда на интервалах вида выполняется условие . Функция , для , монотонная возрастающая, а для - монотонная убывающая. Поэтому для каждого из указанных интервалов существует однозначная обратная функция по отношению к функции . Пусть функция для имеет обратную функцию вида , , очевидно - монотонная возрастающая, поскольку обратная ей - монотонная возрастающая. Аналогично обозначим через - функцию со значениями , обратную к на интервале . Очевидно - монотонная убывающая. Функция называется -я ветвь обратного преобразования функции . Теперь по формуле сложения вероятностей для несовместных событий:

(65.8)

где суммирование ведется по всем ветвям обратного преобразования.

На рис. 65.1. представлен простой пример функции , у которой ветви обратного преобразования: со значениями , и - со значениями . На интервале функция - монотонно возрастающая, а на интервале функция - монотонная убывающая. Равенство (65.8) в этом случае принимает вид: