Реферат: Случайные вектора
. (58.6)
Теперь по формуле (58.3):
. (58.7)
Если 
, то из
(58.7) следует 
, что соответствует слабой
связи между случайными величинами 
и 
. Если 
, из
(58.7) следует 
, связь становится сильной и
в пределе при 
переходит в
детерминированную линейную связь.
Коэффициент корреляции и расстояние
59.1. Пусть 
-
множество элементов 
Расстоянием (метрикой)
между элементами 
множества 
называется
неотрицательная функция 
, удовлетворяющая следующим
трем аксиомам:
, причем 
.
.
.
Вторая аксиома
называется условием симметрии, а третья – неравенством треугольника. Если
аксиому 1 ослабить: 
, тогда 
называется
псевдометрикой. Для псевдометрики из условия 
не обязательно следует 
.
Пусть 
-
множество случайных величин. Для каждой пары 
элементов этого множества
можно также ввести расстояние 
вида
. (59.1)
Покажем, что функция
является
псевдометрикой. Аксиома 1 – очевидна: 
, причем из условия 
следует 
.
Аксиома 2 также очевидна. Рассмотрим аксиому 3. Справедливы следующие
преобразования:
(59.2)
Пусть 
-
корреляция двух случайных величин 
и 
. Известно, что 
удовлетворяет
неравенству (55.2)
. (59.3)
Подставим (59.3) в (59.2), тогда
, (59.4)
что и доказывает третью аксиому.
59.2. Пусть
, 
(59.5)
- нормированные случайные величины. Рассмотрим квадрат расстояния между ними:
, (59.6)
где 
-
коэффициент корреляции случайных величин 
и 
. Из (59.6)
следует равенство
(59.7)
которое можно
рассматривать как закон сохранения: величина 
- постоянная для любых
случайных величин 
и 
. Это равенство
позволяет дать интерпретацию коэффициента корреляции 
как величины,
дополняющей расстояние 
до единицы.
Функция распределения вероятностей случайного вектора
Во многих приложениях
теории вероятностей возникает необходимость рассматривать совокупность 
случайных
величин 
, которая называется многомерной
(
-
мерной) случайной величиной 
или 
-мерным случайным
вектором 
. Полное вероятностное
описание 
- мерного случайного вектора
задается функцией распределения вероятностей 
(или плотностью вероятности
,
или характеристической функцией 
). Функция 
аргументов
(60.1)
называется функцией
распределения вероятностей случайного вектора 
. Здесь случайное событие
(60.2)
- представляет
пересечение 
событий вида 
. В
записях вида (60.1) для краткости символ пересечения 
принято заменять
запятой.
Рассмотрим основные свойства функции распределения вероятностей.
1. Пусть 
-
независимые случайные величины, тогда события 
, 
, - независимы и
формула (60.1) принимает вид
, (60.3)
где 
-
функция распределения вероятностей случайной величины 
. Таким образом, для
независимых случайных величин их совместная функция распределения 
представима
произведением одномерных функций 
.
Для любого 
. (60.4)
Доказательство
следует из определения (60.1). Событие 
является невозможным,
поэтому и событие (60.2) - невозможное, его вероятность равна нулю,
следовательно выполняется соотношение (60.4).
Для любого 
. (60.5)
Это равенство также
следует из определения. Событие 
- достоверное и в
пересечении вида (60.2) это событие можно опустить, после чего из (60.1)
следует (60.5).
Если 
для всех
,
то
, (60.6)
как вероятность достоверного события.
5. Функция
распределения 
- непрерывна справа по
каждому своему аргументу.
Плотность вероятности случайного вектора
Пусть случайный
вектор 
имеет функцию распределения
вероятностей 
и существует частная
производная
, (61.1)
тогда функция 
называется
плотностью распределения вероятностей случайного вектора 
или 
- мерной
плотностью вероятности. При этом функция 
и сам вектор 
называются
непрерывными.
Рассмотрим основные свойства плотности вероятности случайного вектора.
1. Пусть 
-
независимые случайные величины, тогда функция распределения вероятностей
вектора 
представима в виде
произведения одномерных функций, формула (60.3). Подставляя (60.3) в (61.1),
получим
, (61.2)
где
(61.3)
- плотность
вероятности случайной величины 
.
2. Пусть 
- малое
приращение аргумента 
. Тогда из (61.1) следует
, (61.4)
где 
-
разность порядка 
функции 
, определяемая
соотношением:
,
,…
Из определения
функции 
, формула (60.1), следует
, (61.5)
затем из (61.4),
(61.5) получаем вероятность попадания случайного вектора 
в 
-мерный
параллелепипед со сторонами 
:
. (61.6)
Из (61.6) следует
. (61.7)
4. Аналогично из (61.6)
. (61.8)
5. Условие
нормировки для плотности вероятности 
также следует из
соотношения (61.6):
. (61.9)
6. Пусть 
-
область 
- мерного пространства,
тогда 
-
вероятность того, что 
- мерный случайный вектор
принимает значение из области 
, определяется через
плотность 
:
. (61.10)
Доказательство этого
соотношения следует из (61.6) с учетом того, что любая область 
может
быть покрыта 
- мерными параллелепипедами
при условии, что 
- наибольшая сторона
параллелепипеда стремится к нулю.
7. Для любого 
. (61.11)
Это равенство
называется свойством согласованности плотности: из плотности вероятности
порядка 
путем интегрирования по
«лишнему» аргументу 
может быть получена
плотность вероятности порядка 
. Для доказательства
представим обе части равенства (60.5) через плотности, используя (61.8), тогда
(60.5) принимает вид:
. (61.12)
Продифференцируем
обе части этого равенства по аргументам 
, что приводит к выражению
(61.11).
Многомерное нормальное распределение
Случайный вектор 
называется
нормально распределенным, если его плотность вероятности
, (62.1)
где 
; 
-
ковариационная матрица вектора 
, элемент которой 
является
ковариацией случайных величин 
; 
- определитель
матрицы 
; 
- матрица,
обратная ковариационной.
Рассмотрим плотность
вероятности 
в частном случае попарно
некоррелированных случайных величин 
, для которых выполняется
условие
, (62.2)
где 
- символ
Кронекера. Таким образом, ковариационная матрица 
является диагональной,
поскольку ее элементы (62.2) на главной диагонали – ненулевые, а вне главной
диагонали - нулевые. Следовательно, определитель
