Реферат: Краевые задачи и разностные схемы

В этой задаче весь интервал интегрирования [0,1] был разбит на 10 равных частей с шагом h=0.1. Из одиннадцати точек в двух крайних искомая функция x(t) была задана, поэтому уравнения записывались для девяти внутренних точек, в которых значения функции требовалось найти.

5. Разностные схемы для уравнений в частных производных

Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений в частных производных, называемая в литературе методом сеток, использует те же конечно-разностные выражения производных через значения искомой функции, которые приведены в таблицах выше. Однако есть особенности, которые связаны с наличием у каждой рассматриваемой точки соседних точек не только по направлениям осей независимых переменных, но и во множестве других наклонных направлений.

Поэтому, в случае использования многоточечных (более трех точек) формул для производных, выражения последних могут разрабатываться дополнительно для каждого применения.

Наиболее удобным в разработке многоточечных конечно-разностных выражений для уравнений в частных производных является операторный метод, основанный на учете взаимосвязи оператора дифференцирования с операторами сдвига по направлениям различных независимых переменных. Рассмотрим его применение на примере построения разностных формул для двумерных уравнений в частных производных второго порядка.

Характерным представителем уравнений в частных производных второго порядка является уравнение Лапласа:

,

где      непрерывная функция, заданная на границе области.

Область численного решения уравнения разобьем на клетки системой вертикальных и горизонтальных прямых, проходящих через равномерно расположенные с шагом h точки на осях координат соответственно x и y:

Значения функции в узлах сетки обозначим через  и для каждой точки области решений частные производные из уравнения заменим соответствующим (например, трех точечным) симметричным конечно-разностным выражением для внутренних точек и для точек вблизи границ таким несимметричным, чтобы значения функций не выходили за пределы области:

После подстановки в уравнение Лапласа этих выражений для каждой внутренней точки области будет получена система алгебраических уравнений следующего вида:

В качестве примера, демонстрирующего применение метода сеток, приведем решение уравнения Лапласа для прямоугольной области с количеством узлов  и значениями функции на границе, как показано ниже:

u(0,0)	0.5	0.476	0.404	0.294	0.154	0
0.5	u(1,1)	u(1,2)	u(1,3)	u(1,4)	u(1,5)	0
0.476	u(2,1)	u(2,2)	u(2,3)	u(2,4)	u(2,5)	0
0.404	u(3,1)	u(3,2)	u(3,3)	u(3,4)	u(3,5)	0
0.294	u(4,1)	u(4,2)	u(4,3)	u(4,4)	u(4,5)	0
0.154	u(5,1)	u(5,2)	u(5,3)	u(5,4)	u(5,5)	0
0	0	0	0	0	0	0

Уравнения для 25 внутренних точек u(i,k):

0.5-4·u(1,1)+u(1,2)+u(2,1) +0.5=0, u(1,1)-4·u(2,1)+u(2,2)+u(3,1)+0.476=0, u(2,1)-4·u(3,1)+u(3,2)+u(4,1)+0.404=0, u(3,1)-4·u(4,1)+u(4,2)+u(5,1)+0.294=0, u(4,1)-4·u(5,1)+u(5,2)+0.154=0, 0.476+u(1,1)-4·u(1,2)+u(1,3)+u(2,2)=0, u(1,2)+u(2,1)-4·u(2,2)+u(2,3)+u(3,2)=0, u(2,2)+u(3,1)-4·u(3,2)+u(3,3)+u(4,2)=0, u(3,2)+u(4,1)-4·u(4,2)+u(4,3)+u(5,2)=0, u(4,2)+u(5,1)-4·u(5,2)+u(5,3)=0, 0.404+u(1,2)-4·u(1,3)+u(1,4)+u(2,3) =0, u(1,3)+u(2,2)-4·u(2,3)+u(2,4)+u(3,3)=0, u(2,3)+u(3,2)-4·u(3,3)+u(3,4)+u(4,3)=0

u(3,3)+u(4,2)-4·u(4,3)+u(4,4)+u(5,3)=0, u(4,3)+u(5,2)-4·u(5,3)+u(5,4)=0, 0.294+u(1,3)-4·u(1,4)+u(1,5)+u(2,4) =0, u(1,4)+u(2,3)-4·u(2,4)+u(2,5)+u(3,4)=0, u(2,4)+u(3,3)-4·u(3,4)+u(3,5)+u(4,4)=0, u(3,4)+u(4,3)-4·u(4,4)+u(4,5)+u(5,4)=0, u(4,4)+u(5,3)-4·u(5,4)+u(5,5)=0, 0.154+u(1,4)-4·u(1,5)+u(2,5) =0, u(1,5)+u(2,4)-4·u(2,5)+u(3,5)=0, u(2,5)+u(3,4)-4·u(3,5)+u(4,5)=0, u(3,5)+u(4,4)-4·u(4,5)+u(5,5)=0, u(4,5)+u(5,4)-4·u(5,5)=0.

Результат решения системы из 25 уравнений представлен в таблице:

u(0,0)	0.5	0.476	0.404	0.294	0.154	0
0.5	0.444618	0.389236	0.316975	0.225193	0.116966	0
0.476	0.389236	0.319355	0.249474	0.172833	0.0886772	0
0.404	0.316975	0.249474	0.188730	0.127986	0.0649079	0
0.294	0.225193	0.172833	0.127986	0.0854773	0.0429672	0
0.154	0.116966	0.0886772	0.0649079	0.0429672	0.0214836	0
0	0	0	0	0	0	0

Следует отметить, что в трех точечном представлении конечно-разностные выражения производных второго порядка для внутренних и приграничных точек совпадают. Это позволяет для прямоугольных областей, заменив двумерную индексацию неизвестных  одномерной

,

преобразовать систему уравнений в векторно-матричную форму записи с блочно-диагональной матрицей коэффициентов, которая удобна для решения алгебраических уравнений с числом неизвестных более 100 на векторных вычислительных машинах:

,

,  , I

– матрицы, соответственно, блочная, коэффициентов и единичная;

,                 ,              ,

,      ,   

– соответственно, векторы неизвестных и правых частей уравнения со своими блочными компонентами.

В конечно-разностном представлении уравнения Лапласа каждое уравнение является для соответствующей точки области формулой вычисления среднего арифметического совокупности значений функции в соседних точках:

.

Погрешность конечно-разностного представления уравнения Лапласа в виде системы алгебраических уравнений определяется погрешностью аппроксимации производных, которая для трех точечного варианта, приведенного выше, пропорциональна шагу сетки.

Естественно желание повысить точность аппроксимации лапласиана, добавив в структуру его конечно-разностного представления значения функции в дополнительных точках при сохранении суммирования значений из окружающих точек.

6. Повышение точности разностных схем

Оператор сдвига, преобразующий значение функции в точке z в значение функции в точке z+h выражается через оператор производной , как , а его применение представляется выражением:

Обозначив операторные выражения для сдвига значений функции по осям x, y соответственно

несложно записать с их помощью следующие операторные выражения:

Во фрагменте сетки, изображенной в виде таблицы , для каждой представленной индексом точки записано значение функции, выраженное через значение функции в центральной точке, преобразованное соответствующими операторами сдвига:

Вычислим суммы значений функций, симметрично располагающихся вокруг центральной точки:

Подобными преобразованиями операторных выражений можно получить формулы для следующих сумм:

 и любых других.

Включая выражения для частичных сумм в единую сумму с различными весовыми коэффициентами, пренебрегая выражениями с производными и лапласианами высоких порядков, получают конечно-разностные формулы, аппроксимирующие уравнение Лапласа в заданной точке и содержащие большее число значений искомой функции.

Например, из выражения для  непосредственно следует

что, после пренебрежения слагаемыми в правой части, полностью соответствует трех точечной разностной аппроксимации частных производных. Суммируя  и  с весами соответственно 4 и 1, получим аппроксимацию производных по значениям в восьми точках:

Если значения частных производных в точках области решения малы, то радикальным способом увеличения точности аппроксимации уравнения является уменьшение шага сетки.

При задании в правой части уравнения Лапласа функции g(x,y) последняя в приведенных конечно-разностных суммах должна заменить  на ,  – на  и т.д.:

7. Сеточные методы для нестационарных задач

Уменьшение величины шага приводит к квадратичному возрастанию числа точек в области решения, а следовательно, к порядку алгебраической системы уравнений. Одним из путей уменьшения числа уравнений является метод прямых, который позволяет аппроксимировать дифференциальное уравнение в частных производных системой дифференциальных уравнений в обыкновенных производных с краевыми условиями. Для этого частные производные по одной из независимых переменных не заменяют конечно-разностным эквивалентом. Если в уравнении оставлена пространственная переменная, то получаемая система будет краевой задачей со всеми сложностями ее решения, рассмотренными ранее.

Существенным будет выигрыш лишь при решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих нестационарные процессы. К ним относятся уравнения, подобные уравнениям теплопроводности и волновому. Этим уравнениям кроме условий на границе задают еще и начальное распределение искомой функции во всех точках области решения.

Применение метода прямых рассмотрим на примере решения уравнения теплопроводности следующего вида:

,

которое описывает распространение тепла (изменение температуры) вдоль металлического стержня, вваренного своими концами в две металлические пластины с разными, постоянно поддерживаемыми на них температурами. Коэффициент B, характеризующий свойства материала, возьмем равным 1.

Пусть расстояние между пластинами равно единице, т.е. , значения температуры на пластинах  и начальное распределение температуры по длине .

Разобьем единичную длину стержня на 8 равных частей (h=1/8) и обозначим значение температуры в каждой точке через , k=0,1,..., Применим пяти- и шести точечную аппроксимацию частной производной второго порядка: первую симметричную - для внутренних точек, и вторую (несимметричную) для приграничных точек . Температуры в точках с k=0 и k=8 заданы: 100° и 0°.

После замены производных конечно-разностными эквивалентами получим следующую систему линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями  в векторно-матричной форме:

Чтобы получить представление о влиянии порядка разностных формул на вид записи и точность решения задачи, в таблице приведены системы уравнений для 5- и 3-точечных выражений частных производных:

Произ-водная
T1’=	-15T1-4T2+14T3-6T4+T5+1000	-20T1+6T2+4T3-T4+1100	-2T1+T2+100
T2’=	16T1-30T2+16T3-T4-100	16T1-30T2+16T3-T4-100	T1-2T2+T3
T3’=	-T1+16T2-30T3+16T4-T5	-T1+16T2-30T3+16T4-T5	T2-2T3+T4
T4’=	-T2+16T3-30T4+16T5-T6	-T2+16T3-30T4+16T5-T6	T3-2T4+T5
T5’=	-T3+16T4-30T5+16T6-T7	-T3+16T4-30T5+16T6-T7	T4-2T5+T6
T6’=	-T4+16T5-30T6+16T7	-T4+16T5-30T6+16T7	T5-2T6+T7
T7’=	T3-6T4+14T5-4T6-15T7	-T4+4T5+6T6-20T7	T6-2T7

Полученные системы обыкновенных дифференциальных уравнений можно решать любым из рассмотренных ранее численным методом. Правда, появляется особенность в выборе шага интегрирования по времени, который теперь зависит еще и от шага разбиения области решения по пространственной переменной. В случае аппроксимации производной по времени конечными разностями “вперед” соотношение между шагом по временной переменной  и по пространственной  должно подчиняться следующему неравенству: . При несоблюдении неравенства решение будет численно неустойчивым и интегрирование по времени с каждым шагом будет давать неограниченно возрастающие значения.

В рассматриваемом примере =0,015625, поэтому интегрирование трех систем по формулам Рунге-Кутта было выполнено с шагом по времени = 0,001 до значения 0,01 и с шагом 0,005 – до значения времени, равного 0,75. Выборка ряда значений температуры из решений в интервале времени (0,0.75] показана в таблице колонками из трех чисел, соответствующих сверху-вниз трем приведенным выше системам.

0.01	36.32 36.82 23.97	152 466 3.434	0.9573 1.038 0.3456	-0.005579 0.004583 0.02668	-0.02021 -0.02009 0.001666	-0.001651 -0.002840 73610^(-5)	0.009336 -0.0001931 3.93410^(-6)
0.02	52.52 52.39 37.89	20.86 21.00 9.682	6.165 6.287 1.825	1.298 1.347 0.2702	0.1715 0.1810 0.0328	0.01656 0.002515 0.003367	0.03366 -0.01559 0.0002973
0.05	69.3 69.17 57.27	42.88 42.79 26.61	23.52 23.50 10.15	11.37 11.37 3.243	4.821 4.826 0.884	1.773 1.767 0.2089	0.5202 0.5142 0.04223
0.1	77.99 77.98 69.09	57.61 57.58 42.81	40.14 40.12 23.71	26.27 26.25 11.75	16 15.99 5.222	826 829 2.076	3.842 3.854 0.6867
0.25	85.43 85.43 80.18	71.18 71.18 61.57	57.51 57.51 45.12	44.6 44.60 31.4	32.51 32.51 20.52	21.18 21.18 12.13	10.43 10.43 5.581
0.5	87.32 87.32 85.39	74.67 74.67 71.1	62.07 62.07 57.41	49.54 49.54 44.5	37.07 37.07 32.42	24.67 24.67 21.11	12.32 12.32 10.39
0.75	87.48 87.48 86.87	74.97 74.97 73.84	62.46 62.46 60.99	49.96 49.96 437	37.46 37.46 35.99	24.97 24.97 23.84	12.48 12.48 11.87

Как видно, трех точечная аппроксимация по сравнению с пятиточечной дает худший результат. Точное решение в установившемся режиме дает изменение температуры на каждой одной восьмой длины стержня 12,5°С. Пятиточечная аппроксимация в данной задаче дала погрешность в сотые доли процента.

Литература

1.   Калашников В. И. Введение в численные методы: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 132 с.

2.   Рено Н.Н. АЛГОРИТМЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ: МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ВУЗОВ. Изд-во: "Книжный дом Университет" (КДУ), 2007. – 24с.

3.   Самарcкий А. А. Задачи и упражнения по численным методам. Изд.3 Изд-во: КомКнига, ЛКИ, 2006. – 208с.

4.   Самарский А.А. Введение в численные методы Учебное пособие для вузов 3-е изд.,стер. ЛАНЬ, 2005. – 288с.

5.   Турчак Л. И., Плотников П. В. Основы численных методов. Изд-во: ФИЗМАТЛИТ®, 2003. – 304с.

6.   Тыртышников Е.Е. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА (1-Е ИЗД.) УЧЕБ. ПОСОБИЕ Издательство "Академия/Academia", 2007. – 320с.