Реферат: Краевые задачи и разностные схемы
Рассмотрим примеры аппроксимации дифференциальных уравнений с краевыми условиями конечно-разностной системой алгебраических уравнений. Эти аппроксимации в литературе получили название "разностные схемы". Ниже в четырех таблицах приведены четыре варианта конечно-разностной аппроксимации одной и той же краевой задачи, для которой известно точное решение. Вид уравнения, условия на границе интервала, решение аналитическое и вычисленное в заданных точках с 12 значащими цифрами приведены в правой крайней колонке первой таблицы. В левых колонках первой и в трех остальных таблицах записаны системы алгебраических уравнений, полученных применением трех-, пяти-, пяти-шести- и семи точечной аппроксимации второй производной в заданном уравнении. Справа от уравнений приведены решения алгебраических уравнений тоже с 12-ю значащими цифрами.
| Система уравнений с трехточечным представлением производных |
Вектор разностного решения с шагом h=0.1 |
|
|
-199 |
0.0186590989712 | 0.0186415437361 |
|
100 |
0.0361316064473 | 0.0360976603850 |
|
100 |
0.0512427953890 | 0.0511947672548 |
|
100 |
0.0628415300546 | 0.0627828520998 |
|
100 |
0.0698118753674 | 0.0697469636621 |
|
100 |
0.0710840847137 | 0.0710183518969 |
|
100 |
0.0656455142231 | 0.0655851465687 |
|
100 |
0.0525504484304 | 0.0525024675253 |
|
100 |
0.0309298757856 | 0.0309018656257 |
+100
+0.1=0
-199
+100
+0.2=0
-199
+100
+0.3=0
-199
+100
+0.4=0
-199
+100
+0.5=0
-199
+100
+0.6=0
-199
+100
+0.7=0
-199
+100
+0.8=0
-199
+0.9=0Система уравнений для пяти-точечного представления производных |
Вектор решения |
|
-9940 |
0.0186406186406 |
|
8000 |
0.0360968696594 |
|
-500 |
0.0511941848390 |
|
-500 |
0.0627825213460 |
|
-500 |
0.0697468774179 |
|
-500 |
0.0710184988305 |
|
-500 |
0.0655854996422 |
|
-500 |
0.0525029672554 |
|
-500 |
0.0309024932693 |
+3000
+2000
-500
+6=0
-14940
+8000
-500
+12=0
+8000
-14940
+8000
-500
+18=0
+8000
-14940
+8000
-500
+24=0
+8000
-14940
+8000
-500
+30=0
+8000
-14940
+8000
-500
8+36=0
+8000
-14940
+8000
-500
+42=0
+8000
-14940
+8000
+48=0
+2000
+3000
-9940
+54=0| Система уравнений для пяти- и шести точечного представления производных | Вектор решения |
|
-3720 |
0.0186415486274 |
|
8000 |
0.0360976918947 |
|
-500 |
0.0511948294923 |
|
-500 |
0.0627829167486 |
|
-500 |
0.0697469746974 |
|
-500 |
0.0710183243686 |
|
-500 |
0.0655851063829 |
|
-500 |
0.0525024168959 |
|
250 |
0.0309018105849 |
-1000
+3500
-1500
+250
+3=0
-14940
+8000
-500
+12=0
+8000
-14940
+8000
-500
+18=0
+8000
-14940
+8000
-500
+24=0
+8000
-14940
+8000
-500
+30=0
+8000
-14940
+8000
-500
+36=0
+8000
-14940
+8000
-500
+42=0
+8000
-14940
+8000
+48=0
-1500
+3500
-1000
-3720
+27=0| Система уравнений для семиточечного представления производных | Вектор решения |
|
-7260 |
0.0186415513486 |
|
11400 |
0.0360976659970 |
|
-1350 |
0.0511947713313 |
|
10 |
0.0627828547351 |
|
10 |
0.0697469648318 |
|
10 |
0.0710183515790 |
|
100 |
0.0655851447467 |
|
100 |
0.0525024640963 |
|
-650 |
0.0309018602217 |
-12750
+23500
-14250
+4650
-650
+9=0
-20910
+10000
+750
-600
+100
+18=0
+13500
-24410
+13500
-1350
+100
+27=0
-135
+1350
-2441
+1350
-135
+10
+3.6=0
-135
+1350
-2441
+1350
-135
+10
+4.5=0
-135
+1350
-2441
+1350
-135
+10
+5.4=0
-1350
+13500
-24410
+13500
-1350
+63=0
-600
+750
+10000
-20910
+11400
+72=0
+4650
-14250
+23500
-12750
-7260
+81=0
