Реферат: Краевые задачи и разностные схемы
Шести точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-137 | 300 | -300 | 200 | -75 | 12 | -10 |
|
|
-12 | -65 | 120 | -60 | 20 | -3 | 2 |
|
|
3 | -30 | -20 | 60 | -15 | 2 | -1 |
|
|
-2 | 15 | -60 | 20 | 30 | -3 | 1 |
|
|
3 | -20 | 60 | -120 | 65 | 12 | -2 |
|
|
-12 | 75 | -200 | 300 | -300 | 137 | 10 |
Семи точечная аппроксимация первой производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-147 | 360 | -450 | 400 | -225 | 72 | -10 | 60 |
|
|
-10 | -77 | 150 | -100 | 50 | -15 | 2 | -10 |
|
|
2 | -24 | -35 | 80 | -30 | 8 | -1 | 4 |
|
|
-1 | 9 | -45 | 0 | 45 | -9 | 1 | -3 |
|
|
1 | -8 | 30 | -80 | 35 | 24 | -2 | 4 |
|
|
-2 | 15 | -50 | 100 | -150 | 77 | 10 | -10 |
|
|
10 | -72 | 225 | -400 | 450 | -360 | 147 | 60 |
Трех точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
1 | -2 | 1 | -12 , 2 |
|
|
1 | -2 | 1 | 0 , -1 |
|
|
1 | -2 | 1 | 12 , -2 |
Четырех точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 | -5 | 4 | -1 | 55 , -6 |
|
|
1 | -2 | 1 | 0 | -5 , -2 |
|
|
0 | 1 | -2 | 1 | -5 , -2 |
|
|
-1 | 4 | -5 | 2 | 55 , -6 |
Пятиточечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
35 | -104 | 114 | -56 | 11 | -150 , 12 |
|
|
11 | -20 | 6 | 4 | -1 | 15 , -3 |
|
|
-1 | 16 | -30 | 16 | -1 | 0 , 2 |
|
|
-1 | 4 | 6 | -20 | 11 | 15 , 3 |
|
|
11 | -56 | 114 | -104 | 35 | 150 , -12 |
Шести точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
225 | -770 | 1070 | -780 | 305 | -50 |
|
|
50 | -75 | -20 | 70 | -30 | 5 |
|
|
-5 | 80 | -150 | 80 | -5 | 0 |
|
|
0 | -5 | 80 | -150 | 80 | -5 |
|
|
5 | -30 | 70 | -20 | -75 | 50 |
|
|
-50 | 305 | -780 | 1070 | -770 | 225 |
Семи точечная аппроксимация второй производной
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
812 | -3132 | 5265 | -5080 | 2970 | -972 | 137 |
|
|
137 | -147 | -255 | 470 | -285 | 93 | -13 |
|
|
-13 | 228 | -420 | 200 | 15 | -12 | 2 |
|
|
2 | -27 | 270 | -490 | 270 | -27 | 2 |
|
|
2 | -12 | 15 | 200 | -420 | 228 | -13 |
|
|
-13 | 93 | -285 | 470 | -255 | -147 | 137 |
|
|
137 | -972 | 2970 | -5080 | 5265 | -3132 | 812 |
Например, производная первого порядка
в точках m=0,
3, 5 для семи точечной аппроксимации будет иметь вид:
,
.
Аналогично выписываются выражения и для вторых производных в точках 0 и 2:
Таким образом, из приведенных таблиц можно выбрать аппроксимирующие выражения для производной в данной точке, включающие значения функции в точках нужного окружения.
4. Краевые задачи для уравнений второго порядка
При математическом описании реальных физических объектов чаще всего приходится иметь дело с дифференциальными уравнениями в обыкновенных или частных производных второго порядка с начальными, краевыми или граничными условиями.
Преобразование их в конечно-разностную систему алгебраических уравнений осуществляется аналогично: для каждой точки в области (интервале) интегрирования, где не задано краевое или граничное значение искомой функции, записывается исходное уравнение, в котором все производные выражены через заранее определенное число близлежащих ординат искомой функции, принадлежащих области, и вычислены все коэффициенты и функции независимых переменных в этой точке. К полученным таким образом уравнениям добавляются соотношения или значения функции и ее производных в точках границы области. В результате будет сформирована алгебраическая система уравнений с числом уравнений и неизвестных, равном общему числу точек области интегрирования.
В процессе формирования уравнений особое внимание необходимо обращать на замену производных конечно-разностными эквивалентами в приграничных точках. В выражениях последних должны отсутствовать неизвестные значения функции в точках, расположенных вне области интегрирования. Это достигается многократным применением оператора сдвига к соответствующему конечно-разностному оператору.
Если в центральных точках точность аппроксимации производных с n точками удовлетворяет поставленным требованиям и эту точность желательно сохранить и в приграничных точках заданных областей, то для последних выбирают аппроксимирующие формулы, построенные для (n+1)-й точки или более.
