Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число

Пусть теперь  --- -группа. Тогда . Покажем, что . Предположим, что . Пусть . Тогда в  найдется максимальная подгруппа  такая, что . Рассмотрим подгруппу . Так как  и  --- собственные подгруппы , то они принадлежат . Очевидно, что ,  не делятся на  и . Тогда, согласно условию, . Противоречие. Отсюда следует, что  --- -замкнутая, но тогда  --- -замкнута. Тот факт, что  ( --- максимальный внутренний локальный экран ) следует из теоремы 2.2.5. Итак,  --- группа типа 3). Лемма доказана.

3.2 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть  --- тотально насыщенная формация, содержащая любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое фиксированное простое число . Тогда любая разрешимая минимальная не -группа  принадлежит одному из следующих типов:

1)  --- группа простого порядка , где ;

2)  --- группа Шмидта;

3)  --- группа Шмидта;

4) , где  и , где  --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой,  --- простое число отличное от .

Доказательство. Согласно лемме 5.3.1, любая минимальная не -группа  есть группа типа 1) -- 4) из леммы 5.3.1.

Пусть  --- группа типа 3) из леммы 5.3.1. Тогда . Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Так как  --- тотально насыщенная формация, то  --- насыщенная формация. Согласно лемме . Пусть . Так как  --- насыщенная формация, то , что невозможно. Итак, . А это значит, что  --- группа простого порядка . Но тогда нетрудно заметить, что  --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21,  --- группа Шмидта.

Пусть  --- группа типа 4) из леммы 5.3.1. Тогда

где . Покажем, что  --- группа Шмидта. Так как  --- тотально насыщенная формация, то  --- насыщенная формация. В виду леммы 2.2.21, при доказательстве утверждений, можем считать, что . Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Согласно теореме 2.2.5,

где .

Так как  --- тотально насыщенная формация, то  является насыщенной формацией. Как и выше, нетрудно доказать, что . Отсюда следует, что  --- группа Шмидта. Лемма доказана.

3.3 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная разрешимая формация Фиттинга,  --- некоторое фиксированное простое число. Тогда и только тогда  содержит любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на некоторое простое число , когда  есть пересечение некоторых классов групп одного из следующих типов:

1) класс всех разрешимых -замкнутых групп;

2) класс всех разрешимых групп с -длиной ;

3) класс всех разрешимых групп  таких, что  --- -группа, где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Доказательство. Необходимость. Согласно результатам работы [33]  является тотально насыщенной формацией. Теперь можно применить результаты леммы 5.3.2.

Пусть любая минимальная не -группа есть группа типа 1), 2) из леммы 5.3.2. Тогда  является -формацией Шеметкова. Согласно теореме 5.1.4 , где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть любая минимальная не -группа является группой типа 1), 3). Тогда  --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число . Согласно лемме 5.2.3, . А это значит, что .

Пусть любая минимальная не -группа --- группа типа 1), 4). Пусть  --- максимальный внутренний локальный экран формации .

Известно, что

Покажем, что для любого простого числа  из , отличного от , . Предположим противное. Пусть  --- группа наименьшего порядка из . Так как  --- наследственная формация, то . Так как  --- тотально насыщенная формация, то  --- насыщенная формация. Отсюда нетрудно показать, что . Очевидно, что  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем . Так как  --- полный экран, то . А значит,  --- -группа, где .

Согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Покажем, что . Так как  точен, то . Так как , то очевидно, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Если , то . Отсюда следует, что . А значит, . Пусть . Тогда , где  --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как , то . Так как , то из полноты экрана  следует, что . Так как  --- внутренний экран, то . Итак, . Последнее противоречит тому, что  --- группа типа 4) из леммы 5.3.2.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7