Быстрый поиск

Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число

Пусть --- насыщенная формация, а --- ее максимальный внутренний локальный экран, --- характеристика формации . Обозначим через --- множество простых чисел из таких, что , где --- простое число из .

1.3 Лемма. Пусть --- насыщенная формация, --- ее максимальный внутренний локальный экран. Тогда

Доказательство. Известно, что для любой насыщенной формации справедливо следующее равенство

Отсюда следует, что

По лемме 5.1.2,

Лемма доказана.

1.4 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1) --- -формация Шеметкова;

2) , где и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2). Из леммы 5.1.3 следует, что любую насыщенную формацию можно представить в виде

где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что если --- -формация Шеметкова, то

Действительно, очевидно, что

Покажем обратное включение. Пусть --- группа наименьшего порядка из

Так как --- наследственная формация, то .

Так как --- насыщенная формация, то . Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу и . Согласно условию, либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.

Пусть . Так как , то . Отсюда следует, что . Противоречие.

Пусть --- группа Шмидта и , где . Очевидно, что . Тогда из следует, что . А это значит, что . Так как , то . Но тогда . Так как --- полный экран, то . Так как --- внутренний экран, то . Получили противоречие.

Покажем, что из 2) следует 1).

Пусть . Согласно условию, --- разрешимая группа. Пусть . Очевидно, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем --- -группа и . Согласно теореме 2.2.5, , где , --- полный локальный экран формации . Согласно лемме 2.2.20, . А это значит, что , где . Отсюда нетрудно заметить, что --- группа Шмидта. Согласно лемме 2.2.21, --- либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой, либо группа простого порядка. Теорема доказана.

1.5 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда содержит любую -разрешимую группу , где и --- -подгруппы и индексы , не делятся на .

Доказательство. Доказательство проведем от противного. Тогда нетрудно доказать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу , причем и . Так как --- -разрешимая группа, то либо --- -группа, либо -группа. Если --- -группа, то из того, что следует, что . Противоречие.

Пусть --- -группа. Согласно условию, и . Так как и , то . Отсюда следует, что . Аналогичным образом получаем, что . Отсюда и группа . А это значит, что . Получили противоречие. Теорема доказана.

В работе [33] было доказано, что любая наследственная насыщенная формация Шеметкова замкнута относительно произведения -субнормальных -подгрупп. Для наследственных насыщенных -формаций Шеметкова справедлива следующая теорема.

1.6 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда содержит любую группу , где и --- -подгруппы, индексы , не делятся на и либо , либо -субнормальны в .

Доказательство. Пусть --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Тогда, согласно теореме 5.1.4, она имеет следующее строение:

где --- некоторое множество простых чисел, содержащее простое число .

Пусть --- группа наименьшего порядка, не принадлежащая , такая, что , где и --- -подгруппы, индексы , не делятся на и -субнормальна в .

Нетрудно показать, что имеет единственную минимальную нормальную подгруппу .

Так как --- насыщенная формация, то .

Пусть --- абелева группа и --- -группа. Если , то из того факта, что , следует, что . Противоречие.

Если --- -группа, то, как и в теореме 5.1.5, можно показать, что . Противоречие.

Пусть --- неабелева группа. В этом случае

z\ неабелевых простых групп и .

Рассмотрим подгруппу . Так как --- собственная -субнормальная подгруппа группы и , то нетрудно показать, что . Рассмотрим подгруппу . По тождеству Дедекинда