Быстрый поиск

Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число

главным, если является минимальной нормальной подгруппой в для всех .

Класс групп --- совокупность групп, содержащая с каждой своей группой и все ей изоморфные группы.

-группа --- группа, принадлежащая классу групп .

Формация --- класс групп, замкнутый относительно факторгрупп и подпрямых произведений.

Если --- класс групп, то:

--- множество всех простых делителей порядков всех групп из ;

--- множество всех тех простых чисел , для которых ;

--- формация, порожденная классом ;

--- насыщенная формация, порожденная классом ;

--- класс всех групп , представимых в виде

где , ;

;

--- класс всех минимальных не -групп, т. е. групп не принадлежащих , но все собственные подгруппы которых принадлежат ;

--- класс всех -групп из ;

--- класс всех конечных групп;

--- класс всех разрешимых конечных групп;

--- класс всех -групп;

--- класс всех разрешимых -групп;

--- класс всех нильпотентных групп;

--- класс всех разрешимых групп с нильпотентной длиной .

Если и --- классы групп, то:

Если --- класс групп и --- группа, то:

--- пересечение всех нормальных подгрупп из таких, что ;

--- произведение всех нормальных -подгрупп группы .

Если и --- формации, то:

--- произведение формаций;

--- пересечение всех -абнормальных максимальных подгрупп группы .

Если --- насыщенная формация, то:

--- существенная характеристика формации .

-абнормальной называется максимальная подгруппа группы , если , где --- некоторая непустая формация.

-гиперцентральной подгруппой в называется разрешимая нормальная подгруппа группы , если обладает субнормальным рядом таким, что

(1) каждый фактор является главным фактором группы ;

(2) если порядок фактора есть степень простого числа , то .

--- -гиперцентр группы ,

Введение

Известно, что любая конечная группа вида , где и --- -замкнутые подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -замкнутой.

В работе [38] В.Н. Тютянов доказал, что любая конечная группа вида , где и --- -нильпотентные подгруппы и индексы , не делятся на некоторое простое число , является -нильпотентной группой.

В связи с этим результатом можно сформулировать следующую проблему.

Проблема. Классифицировать наследственные насыщенные формации , содержащие любую группу , где и принадлежат и содержит некоторую силовскую подгруппу группы .

В данной главе в классе разрешимых групп для наследственной формации Фиттинга данная проблема решена полностью.

1. Описание -формаций Шеметкова

Важную роль при получении основных результатов данной главы сыграли формации Шеметкова, т. е. такие формации , у которых любая минимальная не -группа является либо группой Шмидта, либо группой простого порядка.

Впервые наследственные насыщенные разрешимые формации Шеметкова были описаны в работе [22]. Затем в работах [9] и [50, 51] были описаны произвольные наследственные насыщенные формации Шеметкова.

Определение. Формация называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой.

Приведем пример -формаций Шеметкова.

1.1 Пример. Если --- формация всех -нильпотентных групп, то --- -формация Шеметкова.

Пусть --- произвольная минимальная не -группа. Известно, что группа является разрешимой. Покажем, что является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Так как не -нильпотентная группа, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где --- единственная минимальная нормальная подгруппа, --- примарная -группа, , где --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, если , то из того факта, что -нильпотентна, а значит и так же -нильпотентна, следует, что -нильпотентна, что невозможно. Известно, что формацию можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак, --- группа Шмидта. Пусть . Выше показано, что --- группа Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. Теперь, в виду леммы 2.2.2 и леммы 4.1.1, является группой Шмидта с нормальной -силовской подгруппой. А это значит, что --- -формация Шеметкова.