Курсовая работа: Классы конечных групп F, замкнутые относительно произведения F-подгрупп, индексы которых не делятся на некоторое простое число

Очевидно, что  --- -субнормальная подгруппа . Так как  --- наследственная формация и , то . Очевидно, что индексы ,  не делятся на . Тогда по индукции, . Если , то . Получили противоречие. Значит, . Так как  --- нормальная подгруппа из , то  --- нормальная подгруппа из . Но тогда

где  --- изоморфные неабелевы простые группы, . Так как  и  --- наследственная формация, то . Отсюда нетрудно показать, что . Если  делится на , то из того, что ,  следует, что  --- нормальная подгруппа группы . Противоречие. Если  --- -группа, то ясно, что . Противоречие. Теорема доказана.

2. Описание -формаций Шеметкова

Введем следующее определение.

Определение. Формация  называется -формацией Шеметкова, если любая минимальная не -группа --- либо группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой, либо группа простого порядка.

Приведем пример -формаций Шеметкова.

2.1 Пример. В классе конечных разрешимых групп формация всех -замкнутых групп  является -формацией Шеметкова.

Действительно. Пусть  --- произвольная минимальная не -группа. Так как  не -замкнута, то . Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа из ,  --- -группа, , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Покажем, что . Действительно, в противном случае, из того факта, что  -замкнута и  -замкнута, следует, что  -замкнута. Получаем противоречие. Известно, что формацию  можно представить в виде . Согласно лемме 2.2.20, формация  имеет максимальный внутренний локальный экран такой, что . Очевидно, что любая минимальная не -группа есть группа простого порядка . Итак,  --- группа Шмидта с ненормальной циклической подгруппой простого порядка . Пусть . Выше показано, что  --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Согласно лемме 3.1.1,  --- группа Шмидта с ненормальной циклической -силовской подгруппой. Итак,  --- -формация Шеметкова.

2.2 Теорема [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная формация. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

1)  --- -формация Шеметкова;

2) , где  и .

Доказательство. Покажем, что из 1) следует 2).

Ясно, что формация  является формацией Шеметкова. Тогда, согласно лемме 2.2.22, эта формация имеет следующее строение:

где  --- максимальный внутренний локальный экран . Вначале докажем, что , где  --- любое простое число из . Предположим, что это не так. Тогда найдется простое число , но . Обозначим через  группу простого порядка . Очевидно, что  и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Покажем, что . Так как  точен, то . Так как , то, очевидно, что . Пусть  --- произвольная максимальная подгруппа из . Так как  и , то нетрудно заметить, что . Итак, . Так как , то это невозможно ввиду того, что  --- -формация Шеметкова. Итак,  для любого  из . Отсюда, в частности, следует, что . Учитывая данные факты, нетрудно показать, что равенство (5.1) принимает следующий вид:

Используя лемму 5.1.2, равенство (5.2) приводится к виду:

где  --- некоторое множество простых чисел, содержащее число .

Покажем, что из 2) следует 1).

Действительно, что  --- произвольная минимальная не -группа. Согласно условию,  разрешима. Пусть . Согласно теореме 2.2.5, , где  --- единственная минимальная нормальная подгруппа,  --- -группа и , где  --- максимальный внутренний локальный экран формации . Если , то из того факта, что , следует, что . Получили противоречие. Тогда . Согласно лемме 2.2.20, насыщенная формация  имеет полный локальный экран  такой, что . Очевидно, что . Так как , то очевидно, что . Итак, любая минимальная не -группа  с  либо группа простого порядка, либо группа Шмидта с ненормальной -силовской подгруппой. Согласно лемме 2.2.21, это же верно, когда . Итак,  --- -формация Шеметкова. Теорема доказана.

2.3 Лемма [14-A, 21-A]. Пусть  --- наследственная насыщенная -формация Шеметкова. Формация  содержит любую разрешимую группу , где  и  --- -подгруппы и индексы ,  не делятся на , только в том случае, когда  --- формация -замкнутых групп.

Доказательство. Пусть  --- -формация Шеметкова. Согласно теореме 5.2.2, она имеет следующее строение:

где . Если , то  --- формация -замкнутых групп. Так как индексы ,  не делятся на , то  и  содержат силовскую -подгруппу группы . По условию,  и  -замкнуты. Отсюда следует, что  -замкнута. Пусть множество  содержит простое число . Покажем, что в этом случае утверждение леммы неверно. Пусть  --- группа порядка . Пусть  --- простое число, отличное от  и . Так как , то существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Так как  и  имеет единственную минимальную нормальную подгруппу, то согласно лемме 2.2.18, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть . Так как , то, как и выше, существует точный неприводимый -модуль , где  --- поле из  элементов. Пусть .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7