Контрольная работа: Экономическое моделирование составления портфеля инвестиций
В данной работе мы формируем инвестиционный портфель, состоящий из 10 акций. В основе выбора активов в портфель лежит принцип диверсификации. Сущность диверсификации состоит в формировании инвестиционного портфеля таким образом, чтобы он при определённых ограничениях удовлетворял заданному соотношению риск/доходность. Из полученных значений средней доходности выберем акции тех предприятий, имеющих положительное значение средней доходности. Следовательно, из дальнейшего анализа исключаются Транснефть, Аптечная сеть 36.6, Волгателеком, Сберабнк, Ростелеком, Лебедянский. Нецелесообразно инвестору включать в инвестиционный портфель акции с отрицательной доходностью.
Как указывалось ранее для оценки рискованности вложений в ценные бумаги кроме дисперсии значений доходности и стандартного отклонения доходности, используется β коэффициент, учитывающий систематический риск на фондовом рынке.
Для нахождения данного коэффициента найдём значения коэффициента корреляции между котировками акций оставшихся предприятий и индексом ММВБ. Полученные значения представлены в таблице 2.
Таблица 2 – Значение коэффициента корреляции
| Предприятие | Коэффициент корреляции |
| Аэрофлот | 0,5476 |
| Банк Москвы | 0,4697 |
| Росбанк | 0,3858 |
| Верофарм | 0,2637 |
| Газпром | 0,8548 |
| ГМК Норильский Никель | 0,7352 |
| Татнефть | 0,7922 |
| ГУМ | 0,2001 |
| Камаз | 0,1445 |
| Лукойл | 0,8508 |
| Магнит | 0,4298 |
| МТС | 0,7853 |
| Новатэк | 0,6608 |
| Роснефть | 0,8055 |
Исходя из полученных значений коэффициентов, можно увидеть, что практически все акции предприятий положительно скоррелированы с индексом ММВБ. Из этого следует, что при общерыночном снижении, ухудшении ситуации на фондовом рынке, котировки акций данных предприятий будут снижаться, и, наоборот, при улучшении ситуации, экономическом росте, расти.
Используя ранее указанную формулу (4) найдем значения β – коэффициента для каждого предприятия – таблица 3.
Таблица 3
| Предприятие | β коэффициент | Средняя доходность за неделю |
| Аэрофлот | 0,7786 | 0,9% |
| Банк Москвы | 1,0843 | 0,25% |
| Росбанк | 0,3655 | 0,18% |
| Верофарм | 0,3926 | 0,67% |
| Газпром | 0,9921 | 0,18% |
| ГМК Норильский Никель | 1,0129 | 0,94% |
| Татнефть | 1,1368 | 0,6% |
| ГУМ | 0,2997 | 0,17% |
| Камаз | 0,2998 | 1,77% |
| Лукойл | 1,0724 | 0,14% |
| Магнит | 0,5841 | 0,32% |
| МТС | 1,0308 | 0,48% |
| Новатэк | 0,8698 | 0,38% |
| Роснефть | 0,9607 | 0,11% |
НА основе полученных данных выберем предприятия с наибольшей доходностью и с наименьшим β – коэффициентом. Из дальнейшего расчёта исключим следующие предприятия: Банк Москвы, Газпром, Лукойл, Роснефть (высокий уровень риска исходя из β – коэффициента при невысокой доходности по сравнению с другими предприятиями). Повторюсь, что при более точном расчёте инвестору необходимо также учитывать дивиденды, выплачиваемые акционерам, поэтому данные предприятия с высокой долей вероятности вошли в окончательный инвестиционный портфель.
Следовательно в окончательный инвестиционный портфель могут войти следующие предприятия: Аэрофлот, Росбанк, Верофарм, ГМК Норильский Никель, Татнефть, ГУМ, Камаз , Магнит, МТС, Новатэк.
Для нахождения эффективной границы портфеля далее по формуле (5) вычислим ковариацию между доходностями. Полученные данные представим в виде ковариационной матрицы – таблица 4
Таблица 4
| Аэрофлот | РОСБАНК | Верофарм | ГМК Норильский Никель | Татнефть | ГУМ | Камаз | Магнит | МТС | Новатэк | |
| Аэрофлот | 0,0023 | 0,0003 | 0,0011 | 0,0012 | 0,0009 | 0,0002 | 0,0006 | 0,0005 | 0,0013 | 0,0005 |
| РОСБАНК | 0,0003 | 0,0010 | 0,0001 | 0,0007 | 0,0005 | 0,0004 | 0,0002 | 0,0007 | 0,0005 | 0,0004 |
| Верофарм | 0,0011 | 0,0001 | 0,0026 | 0,0003 | 0,0006 | -0,0002 | 0,0008 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0006 |
| ГМК Норильский Никель | 0,0012 | 0,0007 | 0,0003 | 0,0025 | 0,0014 | 0,0004 | 0,0003 | 0,0007 | 0,0014 | 0,0008 |
| Татнефть | 0,0009 | 0,0005 | 0,0006 | 0,0014 | 0,0024 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0008 | 0,0013 | 0,0014 |
| ГУМ | 0,0002 | 0,0004 | -0,0002 | 0,0004 | 0,0003 | 0,0026 | 0,0009 | 0,0006 | 0,0004 | 0,0002 |
| Камаз | 0,0006 | 0,0002 | 0,0008 | 0,0003 | 0,0003 | 0,0009 | 0,0050 | 0,0006 | 0,0003 | 0,0003 |
| Магнит | 0,0005 | 0,0007 | 0,0005 | 0,0007 | 0,0008 | 0,0006 | 0,0006 | 0,0021 | 0,0007 | 0,0006 |
| МТС | 0,0013 | 0,0005 | 0,0005 | 0,0014 | 0,0013 | 0,0004 | 0,0003 | 0,0007 | 0,0020 | 0,0009 |
| Новатэк | 0,0005 | 0,0004 | 0,0006 | 0,0008 | 0,0014 | 0,0002 | 0,0003 | 0,0006 | 0,0009 | 0,0020 |
Чтобы построить эффективную границу разделим расчет на два этапа. В начале найдем два портфеля (х и у) на огибающей реализуемого множества, а затем построим эффективную границу.
Поиск двух портфелей на огибающей
Согласно теореме 2 [Приложение Б], для нахождения всей эффективной границы необходимо найти два эффективных портфеля. По теореме 1 [Приложение В] для этого нужно решить систему (13):
R - с = Sz (13)
где R – средний доход;
c - константа;
относительно z для двух различных значений с. Для каждого из c путем решения системы находим вектор z, а затем для нахождения эффективного портфеля принимаем xi=zi/∑zh.
Значения с, для которых следует решить систему, могут выбираться более-менее произвольно. Будем учитывать, что с = 0,0025
Используя указанные теоремы и пакетные средства Microsoft Excel я построила график эффективной границы инвестиционного портфеля в зависимости от среднего дохода и среднего отклонения портфеля – рисунок 3. Описание построения графика эффективной границы в Microsoft Excel - Приложение Г.
Рисунок 3 – график средних значений и стандартных отклонений инвестиционного портфеля, эффективная граница.
Заключительным этапом моделирования инвестиционного портфеля является нахождение долей акций, составляющих этот портфель. Для этого воспользуемся функцией «Поиск решения» в Microsoft Excel.
Необходимо минимизировать дисперсию дохода инвестиционного портфеля σ2p при условии, что ожидаемы доход составит не менее 0,35%. Данное значение было получено при построении графика эффективной границы.
Будем также исходить из предположения, что доля каждой из акций не должна превышать 25% в инвестиционном портфеле (данное ограничение устанавливается инвестором, исходя из собственных соображений, чем меньше значение, тем меньший уровень риска приходится на одну акцию). В нашем же случае при наличии сильной скоррелированности между котировками акций изучаемых предприятий можно выбрать любое значение данного ограничения. Особое значение данного ограничения проявляется при учёте дивидендов с каждой акции при расчёте средней доходности.
Указав обозначенные ограничения, я получила следующее оптимальное решение – таблица 5.
| Аэрофлот | РОСБАНК | Верофарм | ГМК Норильский Никель | Татнефть | ГУМ | Камаз | Магнит | МТС | Новатэк | ||
| Средний доход | 0,90% | 0,18% | 0,67% | 0,94% | 0,60% | 0,17% | 1,77% | 0,32% | 0,0048 | 0,0038 | Всего |
| Решения | 4,77% | 25,00% | 18,50% | 1,38% | 0,00% | 18,77% | 4,23% | 4,26% | 8,59% | 14,51% | 100,00% |
| Ограничения | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 25,00% | 100,00% |
| Ожидаемый доход | 0,0428% | 0,0450% | 0,1246% | 0,0129% | 0,0000% | 0,0326% | 0,0748% | 0,0135% | 0,0416% | 0,0557% | 0,4434% |
Как видно из таблицы, решение предусматривает, что примерно 4,77% портфеля будут составлять акции Аэрофлота, 25% - акции РОСБАНКа, 18,5% - акции Верофарма, 1,38%- акции ГМК Норильский Никель, 18,77% - акции ГУМ, 4,23% - акции Камаз, 4,26% - акции Магнит, 8,59% - акции МТС, 14,51% - акции Новатэк. Ожидаемый доход будет равен 0,4434% в неделю. Оптимальное значение целевой функции показывает, что дисперсия недельного дохода инвестиционного портфеля составляет примерно 0,000645, таким образом, стандартное отклонение равно 2,54%. Если считать, что данная модель правильна, и предположить, что доход инвестиционного портфеля является нормально распределенной величиной со средним значением 0,4434% и стандартным отклонением 2,54%, то согласно теории вероятностей с достаточной уверенностью (доверительный уровень 95%) можно ожидать, что данный портфель в следующие недели будет давать доход от -4,6371% до +5,5239% (т.е. 0,4434% ±2x2,54%).
Приложение А
Значение котировок акций 20 предприятий за период с 10.01.2009 по 30.04.2009(каждая среда)
| Транснефть | Аэрофлот | Аптечная сеть 36.6 | Банк Москвы | РОСБАНК | ||||||||||
| неделя | Курс | Доход | неделя | Курс | Доход | неделя | Курс | Доход | неделя | Курс | Доход | неделя | Курс | Доход |
| 10.01.2009 | 58715 | 1 | 59,85 | 1 | 1498,99 | 1 | 1234 | 1 | 175 | |||||
| 17.01.2009 | 57999,99 | -1,22% | 2 | 63,35 | 5,85% | 2 | 1530 | 2,07% | 2 | 1849,5 | 49,88% | 2 | 194 | 10,86% |
| 24.01.2009 | 61400 | 5,86% | 3 | 74,8 | 18,07% | 3 | 1575,99 | 3,01% | 3 | 1748 | -5,49% | 3 | 189,99 | -2,07% |
| 31.01.2009 | 62700 | 2,12% | 4 | 74,55 | -0,33% | 4 | 1590 | 0,89% | 4 | 1698,95 | -2,81% | 4 | 174,76 | -8,02% |
| 07.02.2009 | 65700 | 4,78% | 5 | 71,3 | -4,36% | 5 | 1579 | -0,69% | 5 | 1625 | -4,35% | 5 | 183 | 4,72% |
| 14.02.2009 | 62800 | -4,41% | 6 | 71,9 | 0,84% | 6 | 1554,79 | -1,53% | 6 | 1598 | -1,66% | 6 | 180 | -1,64% |
| 21.02.2009 | 60400 | -3,82% | 7 | 72 | 0,14% | 7 | 1679,91 | 8,05% | 7 | 1655 | 3,57% | 7 | 177 | -1,67% |
| 28.02.2009 | 57500 | -4,80% | 8 | 69,5 | -3,47% | 8 | 1621 | -3,51% | 8 | 1586 | -4,17% | 8 | 168 | -5,08% |
| 07.03.2009 | 54200 | -5,74% | 9 | 70,77 | 1,83% | 9 | 1613,88 | -0,44% | 9 | 1411 | -11,03% | 9 | 159,45 | -5,09% |
| 14.03.2009 | 53000 | -2,21% | 10 | 76,5 | 8,10% | 10 | 1620 | 0,38% | 10 | 1420 | 0,64% | 10 | 160 | 0,34% |
| 21.03.2009 | 53377 | 0,71% | 11 | 78,29 | 2,34% | 11 | 1665 | 2,78% | 11 | 1471 | 3,59% | 11 | 172,4 | 7,75% |
| 28.03.2009 | 54600 | 2,29% | 12 | 73,98 | -5,51% | 12 | 1745 | 4,80% | 12 | 1434,47 | -2,48% | 12 | 168,55 | -2,23% |
| 04.04.2009 | 53130 | -2,69% | 13 | 75,8 | 2,46% | 13 | 1777 | 1,83% | 13 | 1396 | -2,68% | 13 | 165,95 | -1,54% |
| 11.04.2009 | 52185 | -1,78% | 14 | 77,5 | 2,24% | 14 | 1810 | 1,86% | 14 | 1700 | 21,78% | 14 | 174,17 | 4,95% |
| 18.04.2009 | 55280 | 5,93% | 15 | 77,33 | -0,22% | 15 | 1965 | 8,56% | 15 | 1630 | -4,12% | 15 | 171,35 | -1,62% |
| 25.04.2009 | 51270 | -7,25% | 16 | 75,6 | -2,24% | 16 | 2090 | 6,36% | 16 | 1672,99 | 2,64% | 16 | 170,5 | -0,50% |
| 02.05.2009 | 49400 | -3,65% | 17 | 74 | -2,12% | 17 | 2160 | 3,35% | 17 | 1579 | -5,62% | 17 | 177,14 | 3,89% |
| 10.05.2009 | 47299 | -4,25% | 18 | 72 | -2,70% | 18 | 2330,01 | 7,87% | 18 | 1599 | 1,27% | 18 | 178,49 | 0,76% |
| 16.05.2009 | 46000 | -2,75% | 19 | 69,5 | -3,47% | 19 | 2379 | 2,10% | 19 | 1573,75 | -1,58% | 19 | 176,11 | -1,33% |
| 23.05.2009 | 44530 | -3,20% | 20 | 69 | -0,72% | 20 | 2346 | -1,39% | 20 | 1502 | -4,56% | 20 | 176,6 | 0,28% |
| 30.05.2009 | 38500 | -13,54% | 21 | 62,06 | -10,06% | 21 | 2265 | -3,45% | 21 | 1415 | -5,79% | 21 | 170 | -3,74% |
| 06.06.2009 | 37810,15 | -1,79% | 22 | 64,1 | 3,29% | 22 | 2484 | 9,67% | 22 | 1490 | 5,30% | 22 | 171,01 | 0,59% |
| 13.06.2009 | 37000 | -2,14% | 23 | 64,2 | 0,16% | 23 | 2454,55 | -1,19% | 23 | 1479,52 | -0,70% | 23 | 171 | -0,01% |
| 20.06.2009 | 43651 | 17,98% | 24 | 72,82 | 13,43% | 24 | 2438 | -0,67% | 24 | 1524,45 | 3,04% | 24 | 175,47 | 2,61% |
| 27.06.2009 | 42161,64 | -3,41% | 25 | 74,09 | 1,74% | 25 | 2338 | -4,10% | 25 | 1525 | 0,04% | 25 | 187,88 | 7,07% |
| 04.07.2009 | 42780,02 | 1,47% | 26 | 74,5 | 0,55% | 26 | 2301 | -1,58% | 26 | 1496 | -1,90% | 26 | 195,6 | 4,11% |
| 11.07.2009 | 42110 | -1,57% | 27 | 76,9 | 3,22% | 27 | 2268 | -1,43% | 27 | 1503 | 0,47% | 27 | 190,95 | -2,38% |
| 18.07.2009 | 44500 | 5,68% | 28 | 75,1 | -2,34% | 28 | 2198 | -3,09% | 28 | 1484 | -1,26% | 28 | 187,99 | -1,55% |
| 25.07.2009 | 47150 | 5,96% | 29 | 73,25 | -2,46% | 29 | 2230 | 1,46% | 29 | 1469,9 | -0,95% | 29 | 188 | 0,01% |
| 01.08.2009 | 45992,2 | -2,46% | 30 | 68,01 | -7,15% | 30 | 2046 | -8,25% | 30 | 1399,99 | -4,76% | 30 | 188,63 | 0,34% |
| 08.08.2009 | 46598,99 | 1,32% | 31 | 73,44 | 7,98% | 31 | 2155 | 5,33% | 31 | 1372,9 | -1,94% | 31 | 188,75 | 0,06% |
| 15.08.2009 | 43000 | -7,72% | 32 | 70,5 | -4,00% | 32 | 2101 | -2,51% | 32 | 1318 | -4,00% | 32 | 176,2 | -6,65% |
| 22.08.2009 | 40610 | -5,56% | 33 | 71 | 0,71% | 33 | 2040 | -2,90% | 33 | 1300 | -1,37% | 33 | 172 | -2,38% |
| 29.08.2009 | 38399,99 | -5,44% | 34 | 69,07 | -2,72% | 34 | 2050 | 0,49% | 34 | 1255 | -3,46% | 34 | 176,75 | 2,76% |
| 05.09.2009 | 40300 | 4,95% | 35 | 70 | 1,35% | 35 | 2020 | -1,46% | 35 | 1229,99 | -1,99% | 35 | 179 | 1,27% |
| 12.09.2009 | 40995 | 1,72% | 36 | 70,7 | 1,00% | 36 | 1911 | -5,40% | 36 | 1160 | -5,69% | 36 | 173 | -3,35% |
| 19.09.2009 | 42500 | 3,67% | 37 | 76,49 | 8,19% | 37 | 1915 | 0,21% | 37 | 1190,27 | 2,61% | 37 | 169,8 | -1,85% |
| 26.09.2009 | 44500 | 4,71% | 38 | 77,97 | 1,93% | 38 | 1830 | -4,44% | 38 | 1200 | 0,82% | 38 | 172,5 | 1,59% |
| 03.10.2009 | 45749,99 | 2,81% | 39 | 77,48 | -0,63% | 39 | 1895 | 3,55% | 39 | 1197 | -0,25% | 39 | 180 | 4,35% |
| 10.10.2009 | 46500 | 1,64% | 40 | 76,2 | -1,65% | 40 | 1869 | -1,37% | 40 | 1224,92 | 2,33% | 40 | 178,7 | -0,72% |
| 17.10.2009 | 44800 | -3,66% | 41 | 84,19 | 10,49% | 41 | 1963,15 | 5,04% | 41 | 1294,99 | 5,72% | 41 | 182 | 1,85% |
| 24.10.2009 | 42920,05 | -4,20% | 42 | 82,24 | -2,32% | 42 | 1870,12 | -4,74% | 42 | 1305 | 0,77% | 42 | 182,35 | 0,19% |
| 31.10.2009 | 48049,99 | 11,95% | 43 | 85,17 | 3,56% | 43 | 1883 | 0,69% | 43 | 1410 | 8,05% | 43 | 187,07 | 2,59% |
| 07.11.2009 | 50800 | 5,72% | 44 | 85,75 | 0,68% | 44 | 1875,1 | -0,42% | 44 | 1410,9 | 0,06% | 44 | 184 | -1,64% |
| 14.11.2009 | 49415 | -2,73% | 45 | 86,77 | 1,19% | 45 | 1900 | 1,33% | 45 | 1400 | -0,77% | 45 | 179,5 | -2,45% |
| 21.11.2009 | 46100 | -6,71% | 46 | 87 | 0,27% | 46 | 1830,99 | -3,63% | 46 | 1370 | -2,14% | 46 | 173,9 | -3,12% |
| 28.11.2009 | 45500,02 | -1,30% | 47 | 87,02 | 0,02% | 47 | 1800 | -1,69% | 47 | 1379,99 | 0,73% | 47 | 173,4 | -0,29% |
| 05.12.2009 | 47546,96 | 4,50% | 48 | 86,91 | -0,13% | 48 | 1670,02 | -7,22% | 48 | 1404 | 1,74% | 48 | 181,3 | 4,56% |
| 12.12.2009 | 51680 | 8,69% | 49 | 88,1 | 1,37% | 49 | 1849,97 | 10,78% | 49 | 1440 | 2,56% | 49 | 177,94 | -1,85% |
| 19.12.2009 | 49450 | -4,32% | 50 | 86,5 | -1,82% | 50 | 1819 | -1,67% | 50 | 1420 | -1,39% | 50 | 173,9 | -2,27% |
| 26.12.2009 | 49411,01 | -0,08% | 51 | 91,79 | 6,12% | 51 | 1759 | -3,30% | 51 | 1369 | -3,59% | 51 | 180 | 3,51% |
| 09.01.2010 | 49060 | -0,71% | 52 | 94,12 | 2,54% | 52 | 1779 | 1,14% | 52 | 1358 | -0,80% | 52 | 177,02 | -1,66% |
| 16.01.2010 | 47700,01 | -2,77% | 53 | 96,55 | 2,58% | 53 | 1705 | -4,16% | 53 | 1305,99 | -3,83% | 53 | 177 | -0,01% |
| 23.01.2010 | 40101 | -15,93% | 54 | 86 | -10,93% | 54 | 1509 | -11,50% | 54 | 1050 | -19,60% | 54 | 170 | -3,95% |
| 30.01.2010 | 40950 | 2,12% | 55 | 90,87 | 5,66% | 55 | 1505 | -0,27% | 55 | 1144 | 8,95% | 55 | 169,99 | -0,01% |
| 06.02.2010 | 41502 | 1,35% | 56 | 99,4 | 9,39% | 56 | 1445 | -3,99% | 56 | 1209 | 5,68% | 56 | 171,5 | 0,89% |
| 13.02.2010 | 41800 | 0,72% | 57 | 106,2 | 6,84% | 57 | 1440 | -0,35% | 57 | 1224,34 | 1,27% | 57 | 172,5 | 0,58% |
| 20.02.2010 | 38400 | -8,13% | 58 | 108 | 1,69% | 58 | 1418 | -1,53% | 58 | 1195,49 | -2,36% | 58 | 181,5 | 5,22% |
| 27.02.2010 | 35850 | -6,64% | 59 | 107 | -0,93% | 59 | 1388 | -2,12% | 59 | 1199 | 0,29% | 59 | 182,5 | 0,55% |
| 05.03.2010 | 31301 | -12,69% | 60 | 105,5 | -1,40% | 60 | 1340 | -3,46% | 60 | 1222,5 | 1,96% | 60 | 187 | 2,47% |
| 12.03.2010 | 33389 | 6,67% | 61 | 105,49 | -0,01% | 61 | 1320 | -1,49% | 61 | 1222 | -0,04% | 61 | 187,5 | 0,27% |
| 19.03.2010 | 32489,99 | -2,69% | 62 | 98,54 | -6,59% | 62 | 1245 | -5,68% | 62 | 1220 | -0,16% | 62 | 186,75 | -0,40% |
| 26.03.2010 | 32355,02 | -0,42% | 63 | 96,49 | -2,08% | 63 | 1234,98 | -0,80% | 63 | 1210 | -0,82% | 63 | 188 | 0,67% |
| 02.04.2010 | 32805 | 1,39% | 64 | 100,7 | 4,36% | 64 | 1254,99 | 1,62% | 64 | 1230,96 | 1,73% | 64 | 188,91 | 0,48% |
| 09.04.2010 | 31700 | -3,37% | 65 | 100,76 | 0,06% | 65 | 1092 | -12,99% | 65 | 1225 | -0,48% | 65 | 190 | 0,58% |
| 16.04.2010 | 30398 | -4,11% | 66 | 100,6 | -0,16% | 66 | 1055 | -3,39% | 66 | 1229,9 | 0,40% | 66 | 189,4 | -0,32% |
| 23.04.2010 | 29680 | -2,36% | 67 | 101 | 0,40% | 67 | 982 | -6,92% | 67 | 1218,25 | -0,95% | 67 | 190,2 | 0,42% |
| 30.04.2010 | 28914,01 | -2,58% | 68 | 101 | 0,00% | 68 | 977,12 | -0,50% | 68 | 1221,1 | 0,23% | 68 | 190,75 | 0,29% |
Продолжение А
