Дипломная работа: Дроби
Некоторые первоначальные математические понятия не определяются (или косвенно определяются через аксиомы). Например, понятие множество - неопределяемое понятие.
Определение каждого понятия можно было бы рассматривать в динамике, т.е. в виде процесса сведения одного понятия к другому. Последовательность шагов здесь конечна, так как, продолжая этот процесс, мы неизбежно придем к понятиям, считающимся первоначальными.
В последовательности понятий, полученной в результате процесса определения некоторого понятия, каждое понятие (начиная со второго) является родовым понятием для предыдущего понятия, т.е. объемы этих понятий находятся между собой в последовательном отношении включения: vl v2 v3... vn.
Например (рис.1): квадрат есть особый ромб; ромб - особый параллелограмм; параллелограмм - особый четырехугольник; четырехугольник - особый многоугольник; многоугольник - особая геометрическая фигура; геометрическая фигура - точечное множество.
Таким образом, мы дошли до первоначальных понятий: точка и множество.
В процессе обучения такие понятия должны быть особо выделены, а принятие их в качестве основных мотивировано.
Понятие может быть правильно определено различными способами.
1. Через ближайший род и видовое отличие. Например: квадрат - прямоугольник с равными сторонами; ромб-параллелограмм, у которого диагонали взаимно перпендикулярны.
На языке теории множеств и математической логики сущность этого способа определения понятия заключается в следующем:
Если во множестве А имеются элементы х, обладающие некоторым свойством Р(х), и элементы, не обладающие этим свойством, то данное свойство Р(х) разбивает множество А на два подмножества:
причем
эти два множества таковы: 
Здесь множество А есть множество объектов, принадлежащих родовому понятию, а свойство Р есть видовой признак (видовое отличие) данного понятия. В определении «квадрат - прямоугольник с равными сторонами» множеством А является множество всех прямоугольников, а свойством Р (видовым отличием понятия «квадрат») является свойство «иметь «не стороны».
2. Генетически (способом, указывающим на происхождение понятия). Например, окружность - множество всех точек плоскости, находящихся на данном расстоянии от данной точки, лежащей в этой плоскости.
3. Индуктивно. Например, рекуррентное равенство an = a n-1 + d определяет арифметическую прогрессию.
4. Через абстракцию. Например, натуральное число - характеристика класса эквивалентных конечных множеств.
Процесс выяснения объема понятия называется классификацией понятия. Таким образом, под классификацией понимается разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов в существенных признаках.
Например, классификацию понятия натурального числа можно провести так, как показано на следующей схеме (рис.2).
 |
Рис.2.
Правильная классификация предполагает соблюдение определенных условий, которые могут быть проиллюстрированы вышеприведенной схемой классификации натуральных чисел:
1. Классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации. В приведенном примере таким признаком является число простых делителей данного натурального числа.
2. Понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимыми. В приведенном примере это выражается тем, что пересечение множеств простых, составных чисел и единицы пусто.
3. Сумма объемов понятий, получающаяся при классификации, должна равняться объему исходного понятия. В приведенном примере числа простые, составные и единица исчерпывают все множество натуральных чисел.
4. В процессе классификации необходимо переходить к ближайшему в данном родовом понятии виду.
В приведенном примере, проводя классификацию натуральных чисел, было бы неверным подразделить множество натуральных чисел на простые числа, числа, имеющие три различных делителя, и единицу. В этом случае произошел бы так называемый «скачок в классификации», так как прежде следовало бы выделить составные числа, а лишь потом подразделить составные числа на числа, имеющие три различных делителя, четыре различных делителя и т.д.
В самом деле, на первом этапе классификации некоторого понятия выделяется некоторое свойство - признак Pi (x). В результате исследования некоторого множества объектов А мы выделяем из этого множества два подмножества А1 и А2:
Тем самым мы получили разбиение множества А на два класса, удовлетворяющих вышеприведенным условиям классификации.
Желая продолжить процесс классификации данного понятия, мы выделяем новое свойство Р2 (х) и получаем разбиение множества Ai на два подмножества В) и В2 и т.д.
В результате последовательно проведенных разбиений множества объектов, составляющих объем некоторого понятия, и возникает определенная классификация данного понятия. Так, например, одна из возможных классификационных схем понятия «выпуклый многоугольник» будет выглядеть так (рис.3).
Заметим, что в современном школьном курсе геометрии принята классификация четырехугольников, отличающаяся от данной.
В процессе определения и классификации понятий данной науки образуется система понятий этой науки.
1.2. Методика введения математических понятий на уроках математики
Известный французский математик Фреше справедливо замечает: «Если что-нибудь действительно необходимо, так это уничтожение догматического метода; не давать никаких определений, не указав, как они возникли, для чего они нужны, как они применяются». При введении математических понятий в школьном обучении полезно руководствоваться следующей схемой, которая, однако, должна быть динамичной, сокращаться или дополняться в зависимости от объективно меняющихся условий обучения (состава класса, характера математических понятий и т.п.).
При введении понятий органически связанных с уже известными учащимся понятиями можно применить другой путь, называемый абстрактно-дедуктивным.
Так, например, понятие квадратного уравнения можно ввести следующим образом:
1. Дать определение нового понятия (уравнение вида ах2 + bх + с = 0, где a≠0 называется квадратным), мотивируя обозначающий его термин (наибольший показатель степени неизвестного равен двум; уравнение содержит квадрат неизвестного).
2. Рассмотреть частные (и особые) случаи выражения этого понятия (х2+ рх + с = 0, ах2 + с = 0, ах2 + bх = 0, ах = 0), проведя своеобразную классификацию этого понятия.
Привести некоторые контрпримеры этого понятия (спросить, например, учащихся, будет ли уравнение вида bх + с = 0 неполным квадратным уравнением).
3. Иллюстрировать введенное понятие конкретными примерами (х2 - 5х + 6 = 0, Зх2 - 27 = 0 и т.д.), всякий раз проверяя, удовлетворяет ли каждое из конкретных проявлений этого понятия его определению.
4. Привести конкретные примеры приложения этого понятия (например, известную формулу S=qt2 / 2 можно рассматривать как квадратное уравнение qt2 - 2S = 0; использовать квадратное уравнение при решении текстовых задач).
Конкретно-индуктивный метод находит большее применение в младших классах; в старших классах чаще применяют абстрактно-дедуктивный метод.
Усвоение учащимися некоторого математического понятия предполагает, наряду с четким представлением об его объеме и содержании, умение применять это понятие в процессе своей математической деятельности, а также способность к актуализации основных факторов, относящихся к данному понятию.
Применяя то или иное математическое понятие при доказательстве каких-либо теорем и решении задач, важно уметь обнаруживать данное понятие в тех случаях, где оно выступает в более или менее скрытой форме.
В частности, при усвоении многих геометрических понятий большое значение имеет умение «узнавать» это понятие в более сложном или непривычно расположенном чертеже.
В связи с этим весьма полезны упражнения «по готовым чертежам». Так, например, после ознакомления с понятием «равнобедренный треугольник» учащимся можно предложить следующую серию упражнений:
1. При помощи глазомерной оценки (а затем, подтвердив эту оценку измерением) установить, какие из треугольников, изображенных на рисунке 5.
2. Назовите и покажите в каждом равнобедренном треугольнике основание и боковые стороны.
3. Назовите и покажите в каждом из них углы при основании и угол при вершине.
На этапе актуализации знаний при изучении некоторого понятия целесообразно выделить серию ситуаций, наличие которых достаточно для возникновения данного понятия.
Так, например, изучив в курсе математики 5 – 6 классов понятие о равенстве величин углов, следует обратить внимание учащихся на то, что величины углов равны, если:
а) углы симметричны относительно прямой;
б) углы получаются один из другого параллельным переносом на данный отрезок;
в) данные углы являются углами при основании равнобедренного треугольника или углами равностороннего треугольника;
г) углы получаются один из другого поворотом вокруг данной точки на данный угол и т.д.
Эту работу следует проводить планомерно в течение всего года (а может быть, и нескольких лет) обучения; список таких ситуаций, связанных с основными понятиями, может и должен быть продолжен.
При овладении понятиями у учащихся нередко возникают различные затруднения и ошибки.
Начнем с рассмотрения ошибок, которые могут появиться при определении понятий, и укажем некоторые причины их возникновения.
Прежде всего, следует четко показать учащимся различие, связанное с использованием тех или иных понятий в определении некоторого нового понятия. Понятие, соответствующее определяемому объекту, называется определяемым; понятие, с помощью которого раскрывается содержание определяемого объекта, называется определяющим. Так, например, в определении «Множество, состоящее из двух различных точек и всех точек, лежащих между ними, называется отрезком», понятие «отрезок» - определяемое понятие, а понятие «множество точек» - одно из определяющих понятий.
Если это различие не осознается учащимися, то определение понятий часто дается ими стилистически неправильно.
Основные ошибки учащихся при формулировке определений вызваны несоблюдением установившихся в логике «правил определения», при выполнении которых это различие также играет большую роль. Перечислим важнейшие из этих «правил».
1) Всякое определение должно быть соразмерным, т.е. объем определяемого понятия должен быть равен объему определяющего понятия.
Например, определение «Ромб есть параллелограмм, у которого две смежные стороны равны между собой» соразмерно, так как объем понятия «ромб» равен объему понятия «параллелограмм с двумя равными смежными сторонами» (множества, определяющие объемы этих понятий, совпадают).
Нарушение этого правила ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Объем определяющего понятия шире объема определяемого понятия. В этом случае определяемое понятие относится к определяющему, как вид к роду. Например: «Диаметр окружности есть отрезок прямой, соединяющей две точки окружности». Здесь по существу определена хорда - более широкое понятие, чем диаметр (в объем определяющего понятия входят все хорды окружности).
Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что признак видового отличия («соединять две точки окружности») принадлежит не только диаметрам, но и всем хордам вообще, а поэтому при помощи него нельзя отличить диаметры от других отрезков прямых, соединяющих точки окружности.
Такое определение в логике называется слишком широким.
Чтобы ученики поняли эту ошибку, желательно рассмотреть с ними динамичный рисунок или диафильм «Окружность и круг»
б) Объем определяющего понятия уже объема определяемого понятия. Последнее относится к первому как род к виду.
В качестве примера рассмотрим следующее определение: «Ромбом называется прямоугольнике двумя конгруэнтными смежными сторонами». Здесь по существу определен квадрат (более узкое понятие, чем ромб). Эта ошибка в определении данного понятия возникает потому, что указанный видовой признак (прямоугольник - параллелограмме двумя конгруэнтными смежными сторонами) принадлежит лишь подмножеству множества ромбов, квадратам, т.е. является отличительным лишь для части множества ромбов. Такое определение в логике называется слишком узким.
2) Определение не должно заключать в себе «порочного круга», т.е. нельзя строить определение так, чтобы определяемое понятие определялось (скрытым или явным образом) посредством того же самого определяемого понятия.
Нарушение этого правила также ведет к ошибкам двоякого рода:
а) Определяемое понятие характеризуется таким определяющим понятием, содержание которого становится ясным лишь при помощи самого определяемого понятия.
Так, например, определения «сложение есть действие нахождения суммы» и «суммой называется результат сложения» содержат в себе такой «порочный круг». Определяющее понятие суммы в этом случае не может быть определено независимо от определяемого понятия - понятия сложения.
б) Определяемое и определяющее понятия по содержанию тождественны, хотя могут быть выражены в различных словах.
Такое определение носит название тавтологии.
Например, «прямой угол - это угол в 90°», или «Прямым углом называется угол, стороны которого перпендикулярны».
Итак, в этих ошибочных определениях сущность определяемого объекта не раскрывается; в определяющем понятии повторяется то, что уже известно об определяемом понятии.
3) Определение по возможности не должно быть отрицательным. Это означает, что следует избегать таких определений, которых видовое отличие выступает в качестве отрицательного понятия.
Иногда в математике все же используют «отрицательные» определения, в частности, если в них указываются признаки, не принадлежащие определенному понятию.
Однако в процессе обучения математике такие определения нежелательны, поскольку они почти не раскрывают содержания понятия, его существенных свойств, а указывают лишь на те свойства, которые не должны иметь определяемые понятия.
Если при введении нового понятия ограничиться только формулировкой его определения и иллюстрацией этого понятия только одним примером, взятым из учебника, не показывая его наглядные модели, то учащиеся нередко усваивают такие понятия неправильно. У учащихся это чаще всего проявляется в попытке незаконных обобщений понятия (обобщений по несущественным признакам) и смешении существенных признаков с несущественными. Типичной ошибкой такого рода является, например, неузнавание учащимися знакомой геометрической фигуры, если та имеет непривычную форму или положение на плоскости.
В частности, учащиеся не «узнают» равнобедренный треугольник, данный в положении, указанном на рисунке 6, а испытывают большие затруднения в установлении пар подобных треугольников в ситуации, изображенной на рисунке 6, б и т.п.
Большое значение для сознательного усвоения учащимися важнейших математических понятий имеет система целенаправленных устных вопросов и упражнений, например, таких:
1. Найдите ошибку в следующих определениях (уточните каждое из этих определений):
а) равносильными уравнениями называются такие два уравнения, когда корни первого уравнения являются корнями второго;
б) прямая, делящая сторону треугольника пополам, называется медианой;
в) отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника и равный половине третьей стороны, называется средней линией треугольника.
2. Приведите примеры, указывающие на недостаточность следующих определений:
а) касательной к кривой называется прямая, имеющая с кривой только одну общую точку (см. рис.7);
Рис.7
б) если расстояние от любой точки одной линии L1 до другой L2 всюду одинаково, то такие линии называются параллельными (см. рис.8) и т.д.
