Курсовая работа: Автоматическая система регулирования с П-регулятором
6.3 Расчет ПИ-регулятора
Передаточная характеристика ПИ-регулятора имеет вид:
где
| w |
Rо |
KП |
kи |
| 0 | 0.428 | -2.336 | 0 |
| 0.5 | 0.099 | -0.492 | 0.432 |
| 1 | -0.257 | 2.456 | 0.602 |
| 1.5 | -0.208 | 4.627 | -1.025 |
| 2 | -0.095 | 4.545 | -4.291 |
Ниже приведены результаты расчета на ЭВМ в электронных таблицах параметров П, И, ПИ-регуляторов, а также графики изменения этих параметров.
7. Передаточные функции системы
7.1 Разомкнутые системы
Структура разомкнутой системы автоматического регулирования может быть изображена следующим образом:
Передаточной функцией такой системы будет выражение:
.
Запишем передаточные функции систем с регуляторами:
- П-регулятором:
- И-регулятором:
- ПИ-регулятором:
7.2 Замкнутые системы
Структура замкнутой системы автоматического регулирования может быть изображена следующим образом:
.
Передаточной функцией такой системы будут выражения:
-
по возмущению 
;
-
по управлению 
.
Подставив все известные выражения передаточных функций объекта регулирования и регуляторов, получим передаточные функции систем с различными регуляторами:
- с П-регулятором:
- с И-регулятором:
- с ПИ-регулятором:
8. Исследование устойчивости АСР
Исследование замкнутых АСР на устойчивость предполагает получение ответов на следующие вопросы. Является ли система с рассчитанным регулятором устойчивой, то есть, возвращается ли она в состояние равновесия при наличии возмущений? Какие из параметров системы (объекта и регулятора) и каким образом влияют на устойчивость? При каких предельных значениях параметров система становится неустойчивой? Каков запас устойчивости системы при заданных значениях параметров?
Ввиду сложности решения поставленных задач часто ограничиваются только установлением факта устойчивости заданной системы. Также нужно помнить, что, так как расчет регулятора ведется не только из условия обеспечения устойчивости системы, но и из условия обеспечения заданного качества регулирования, то такая система уже будет устойчивой. Если задана передаточная функция объекта высокого порядка или замкнутая АСР с некоторыми изменяемыми параметрами, то факт устойчивости не очевиден и нужно выполнить такой анализ.
Для исследования на устойчивость замкнутых систем автоматического регулирования разработано множество методов. Среди них определение устойчивости по корням характеристического уравнения, по критерию Гурвица, по критерию Рауса, по частотному критерию Михайлова, по частотному критерию Найквиста, D-разбиение и другие.
8.1 Обзор методов исследования на устойчивость
При определении устойчивости по корням характеристического уравнения исследование производится по оператору левой части дифференциального уравнения, либо по полиному знаменателя исходной передаточной функции. В этом случае система будет устойчивой, если действительные корни характеристического уравнения, действительные части комплексных корней будут отрицательны. Запас устойчивости при таком способе определения устойчивости можно графически представить как расстояние от значения корня до мнимой оси координат.
При оценке устойчивости по критерию Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения составляется определитель Гурвица вида:
Для устойчивости АСР необходимо и достаточно, чтобы главный определитель и все определители низших порядков были одного знака с an.
Для проверки устойчивости по критерию Рауса составляется таблица коэффициентов по следующим правилам (см. табл.).
| 1 | - |
an |
an-2 |
an-4 |
| 2 | - |
an-1 |
an-3 |
an-5 |
| 3 |
rn=an/an-1 |
c13=an-2-rn.an-3 |
c23=an-4-rn.an-5 |
c33=an-6-rn.an-7 |
| 4 |
rn-1=an-1/c13 |
c14=an-3-rn-1.c23 |
c24=an-5-rn-1.c33 |
c34=an-7-rn-1.c43 |
| 5 |
rn-2=c13/c14 |
c15=c23-rn-2.c24 |
c25=c33-rn-2.c34 |
c35=c43-rn-2.c44 |
Система будет устойчива, если все коэффициенты таблицы Рауса положительны, то есть an>0, an-1>0, c13>0, c14>0, c15>0 и так далее. Если в характеристическом уравнении an<0, то умножаем все коэффициенты исходного характеристического уравнения на -1.
Для исследования на устойчивость систем с запаздыванием по корням характеристического уравнения по критериям Рауса и Гурвица звено запаздывания необходимо разложить в ряд Паде с учитыванием соответствующего числа членов, перемножить полученную передаточную функцию с передаточной функцией объекта, а затем получить передаточную функцию замкнутой АСР с регулятором.
Ввиду значительной трудоемкости при исследовании на устойчивость систем высокого порядка по критериям Рауса и Гурвица обычно используют ЭВМ.
Для
исследования устойчивости по критерию Михайлова строится годограф вектора 
характеристического
уравнения А(р)=0 замкнутой системы. Для устойчивости системы необходимо и
достаточно, чтобы вектор 
, описывающий своим концом кривую
Михайлова при изменении частоты 
от 0 до 
, начав свое движение с
положительной действительной оси и вращаясь против часовой стрелки,
последовательно проходил n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль (n- порядок
характеристического уравнени
Критерий
устойчивости Найквиста формулируется следующим образом: если разомкнутая
система устойчива, то для устойчивости системы в замкнутом состоянии необходимо
и достаточно, чтобы амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не
охватывала точку на действительной оси с координатами 
.
Необходимо отметить, что при исследованиях на устойчивость по критериям Михайлова и Найквиста рассчитываются и строятся графики АФХ характеристического уравнения (критерий Михайлова) или разомкнутой АСР (критерий Найквиста), что является трудоемкой задачей. Поэтому для построения АФХ используется ЭВМ.
Частотные критерии применимы и для исследования на устойчивость систем с запаздыванием в общем виде, без разложения в ряд Паде передаточной функции звена запаздывания, используя его представление в форме Эйлера.
По АФХ замкнутой системы можно определить запас устойчивости по амплитуде и по фазе.
Если необходимо оценить влияние на устойчивость некоторого параметра (коэффициента) системы, например, коэффициента усиления, и определить область значений, внутри которой по этому параметру система будет оставаться устойчивой, то применяют к характеристическому уравнению, в которое входит исследуемый параметр, метод D-разбиения.
Для этого:
- характеристическое уравнение А(р)=0 разбивают на две составляющие (зависящую и не зависящую от параметра)
;
-
заменяют p на 
и выражают параметр в комплексной
форме
;
-
изменяют частоту 
в пределах от 0 до 
и, вычислив координаты
точек, строят границу устойчивости;
- полученная кривая дополняется ее зеркальным отображением относительно вещественной оси;
-
штрихуют границу слева при движении по кривой в направлении возрастания 
;
- область, полностью окаймленная штриховкой, является областью устойчивости;
- по точкам пересечения граничной кривой с вещественной осью определяют диапазон изменения значений параметра q, при которых система остается устойчивой.
8.2 Проверка устойчивости по критерию Рауса
В данной курсовой работе оценку устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования произведем по критерию Рауса так как этот метод не предполагает нахождение определителей, а значит наименее трудоемок. Для проверки устойчивости по критерию Рауса заполним таблицы коэффициентов аналогично таблице 14.
Для системы с П-регулятором составим таблицу 15 подставив в соответствующие ячейки коэффициенты при р из знаменателя передаточной характеристики системы.
Таблица 15
Таблица Рауса для системы с П-регулятором
| 1 | - |
An=0,179 |
An-2=2,075 |
An-4=2,157 |
| 2 | - |
An-1=0,884 |
An-3=4,176 |
An-5=1,975 |
| 3 |
Rn=0,202 |
c13=1,395 |
c23=1,736 |
c33=0 |
| 4 |
Rn-1=0,719 |
c14=3,053 |
c24=1,89 |
c34=0 |
| 5 |
Rn-2=0.422 |
c15=0,873 |
c25=0 |
c35=0 |
| 6 |
Rn-3=3,154 |
c16=1,89 |
c26=0 |
c36=0 |
| 7 |
Rn-4=0,468 |
c17=0 |
c27=0 |
c37=0 |
Из таблицы 15 видно, что замкнутая система с П-регулятором устойчива так как выполняется необходимое условие устойчивости по критерию Рауса.
Аналогично составляем таблицы Рауса (табл. 16 и табл. 17) для замкнутых систем автоматического регулирования с И-регулятором и ПИ-регулятором соответственно.
Таблица 16
Таблица Рауса для системы с И-регулятором
| 1 | - |
An=0.179 |
An-2=2.229 |
An-4=3.249 |
An-6=0.284 |
| 2 | - |
An-1=0.884 |
An-3=3.663 |
An-5=0.721 |
0 |
| 3 |
Rn=0.202 |
c13=1.487 |
c23=3.103 |
c33=0.284 |
c43=0 |
| 4 |
Rn-1=0.594 |
c14=1.819 |
c24=0.552 |
c34=0 |
c44=0 |
| 5 |
Rn-2=0.818 |
c15=2.651 |
c25=0.284 |
c35=0 |
c45=0 |
| 6 |
Rn-3=0.686 |
c16=0.357 |
c26=0 |
c36=0 |
c46=0 |
| 7 |
Rn-4=7.419 |
c17=0.284 |
c27=0 |
c37=0 |
c47=0 |
| 8 |
Rn-6=1.258 |
c18=0 |
c28=0 |
c38=0 |
c48=0 |
