Быстрый поиск

Реферат: Программа государственного экзамена по математике для студентов математического факультета Московского городского педагогического университета

Значение x = 1 второй раз проверять незачем: если бы число 1 было корнем g, то оно было бы и корнем f, что неверно. А -1 проверить обязательно - ничто не мешает ей быть также и корнем частного g:

	1	-2	-4	3
-1	1	-3	-1	4

Следовательно, g(-1) ¹ 0.

Составим схему Горнера для x = 3:

	1	-2	-4	3
3	1	1	-1	0

Следовательно, g(3) = 0, и при делении g на x - 3 получается многочлен x2- x - 1, корни которого (1±)/2.

Таким образом, многочлен f, а значит, и исходное уравнение имеет 4 корня: -1, 3 и (1±)/2.

30. Следствия из теоремы Безу. Теорема Безу позволяет частично ответить и на важный теоретический вопрос - Сколько корней может иметь многочлен?

Теорема. Многочлен степени n имеет в любом поле не более n корней.

Доказательство. Пусть многочлен f степени n имеет k корней, и c -один из его корней. Предположим противное - пусть k>n.

По теореме Безу, f = (x - c)g, и частное g имеет степень n - 1. Всякий корень f, отличный от c, является одновременно и корнем g: если f(a) = 0, то (a - c)g(a) = 0, откуда g(a) = 0, так как a¹ c. Другими словами, многочлен g имеет, по меньшей мере k - 1>n - 1 корень, т.е. число его корней также больше его степени.

Но с многочленом g можно провести те же рассуждения, и на втором шагу получить новый многочлен h, число корней которого также больше его степени. Продолжая таким же образом, мы придем к многочлену степени 2, имеющему больше 2 корней, чего не может быть.

Полученное противоречие показывает, что предположение k>n неверно, и следовательно, k не больше n, что и требовалось доказать.

Из теоремы о числе корней вытекают два исключительно важных и для теории, и для практики утверждения.

Следствие 1. Два многочлена степени, не большей n, принимают одинаковые значения при n + 1 значении x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

Следствие 2. Два многочлена принимают одинаковые значения при всех значениях x тогда и только тогда, когда при каждой степени x они имеют одинаковые коэффициенты.

9. Разложение многочлена в произведение неприводимых

множителей и его единственность

10. Основная теорема арифметики кольца k[x]. Любой многочлен положительной степени можно разложить в произведение неприводимых сомножителей, и такое представление единственно с точностью до ассоциированности и порядка сомножителей.

Доказательство. 1. Существование. Индукцией по n докажем, что каждый многочлен f степени n ³ 1 можно разложить в произведение неприводимых сомножителей. Основанием индукции при n = 1 служит тривиальное разложение f = f. Сделав индуктивное предположение, рассмотрим многочлен f степени n. Если f - неприводим, то разложение имеет вид: f = f; если же f - приводим, то его можно записать в виде f = gh, где степени g, h меньше степени f. По предположению индукции многочлены g и h можно разложить на неприводимые сомножители:

g = p1p2 . . . ps, h = q1q2 . . . qt,

поэтому

f = p1p2 . . . psq1q2 . . . qt.

2. Единственность. Предположим, что некоторый многочлен f имеет два разложения на неприводимые сомножители:

f = p1p2 . . . ps , f = q1q2 . . . qt,

тогда

p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt.

Левая часть последнего равенства делится на p1, значит, правая часть также делится на p1. По основному свойству неприводимого многочлена на p1 делится либо q1, либо q2, . . . , либо qt. Изменяя, если надо нумерацию сомножителей, можно считать, что p1 делит q1, и поскольку q1 неприводим, то они ассоциированы, т.е. для некоторого числа c верно p1 = cq1. Значит, сокращая на p1 обе части равенства

p1p2 . . . ps = p1q2 . . . qt,

получаем:

p2 . . . ps = (cq2 ) . . . qt.

Обозначим данное произведение через m, и заметим, что deg m < deg f. По предположению индукции можно считать, что для m выполнено утверждение теоремы, т.е. левая часть последнего равенства отличается от правой либо перестановкой сомножителей, либо их ассоциированностью, значит, и в исходном равенстве

p1p2 . . . ps = q1q2 . . . qt

s = t и одна часть отличается от другой только порядком сомножителей и их ассоциированностью. ð

Пример. Разложить x6 - 1 на неприводимые множители над Q.

Решение. x6 - 1 = (x3 - 1)(x3 + 1) = (x - 1)( x2 + x + 1)(x + 1)( x2 - x + 1).

20. Каноническое разложение числа.

Обозначим через p(k) - множество неприводимых нормированных многочленов над полем k.

Тогда произвольный многочлен f представим в виде произведения

c, где ai ³ 0, pi Î p(k), cÎk.

Указанное разложение однозначно определяется многочленом f и называется его каноническим разложением; число ai называется показателем pi в каноническом разложении.

Канонические разложения удобны для доказательства различных свойств делимости и вычисления НОД и НОК. Приведем важнейшие из них.

10. f := c делит g := d Û a1 £ b1, a2 £ b2, . . . , an £ bn.

Доказательство. Пусть g = fh, a1 > b1, h := e. Тогда b1 = a1 + c1 > b1, что невозможно. Обратное утверждение очевидно. ð

20. Пусть имеются канонические разложения многочленов f и g:

f = c, g = d.

Тогда

НОД(f, g) = , НОК(f, g) = ,

где ci = min (ai, bi), di = max (ai, bi).

Доказательство. Пусть j = , где ci = min (ai, bi). Тогда по свойству 10 многочлен j является делителем многочленов f и g и всякий общий делитель f и g делит многочлен j. Следовательно, j = НОД(f, g).

Аналогично доказывается и второе утверждение. ð

Из свойства 20 немедленно вытекает свойство

30. (Связь между НОД и НОК).

НОД(f, g) × НОК(f, g) = f × g.

10. Теорема о строении простого алгебраического расширения

10. Понятие минимального многочлена.

Пусть a - алгебраическое число над полем k, т.е. корень ненулевого многочлена с коэффициентами из поля k.

Определение. Нормированный многочлен m(a, k, x) над полем k называется минимальным многочленом числа a, если выполнены условия:

а) m(x) - неприводим над полем k, т.е. не разлагается в произведение многочленов положительной степени с коэффициентами из k;

б) m(a) = 0, т.е. a - корень многочлена m(x).

Примеры.

a	i		- 1	i +
m(a, Q, x)	x2 + 1	x2 - 5	x2 + 2x - 1	x4 - 4x2 + 16

20. Основные свойства минимальных многочленов.

1. Если f(x) Î k[x] и f(a) = 0, то f(x) делится на минимальный многочлен m(х) числа a.

Доказательство. В самом деле, предположив, что f не делится на m, запишем

f = mg + r, deg r < deg m

на основании теоремы о делении с остатком. Откуда r(a)=0. Поскольку многочлены r и m взаимно просты, то у них не может быть общих корней - противоречие.

2. Допустим, что a - алгебраическое число, а g(x) - нормированный многочлен наименьшей положительной степени такой, что g(x) Î k[x] и g(a) = 0. Тогда g(x) - минимальный многочлен числа a.

Доказательство немедленно вытекает из свойства 1.

3. Минимальный многочлен алгебраического числа a над данным полем определен однозначно.

Для доказательства достаточно применить свойство 2.

Определение. Степень минимального многочлена числа a называется степенью числа a; обозначение deg k a.

4. a Î k Û deg k a = 1.

Доказательство немедленно получается из определений.

5. Если a - алгебраическое число степени n, то 1, a, a2, ..., an-1 линейно независимы над полем k, т.е. ("c0, c1, ..., cn-1 Îk) c0 + c1a + ... + cn-1an-1 = 0 возможно только в случае c0 = c1 = . . . = cn-1 = 0.

Доказательство. Действительно, если указанные степени числа a линейно зависимы, то это число является корнем некоторого многочлена над k, степени меньшей чем m.

6. Пусть a - алгебраическое число, f(x) Î k[x] и f(a) ¹ 0. Тогда дробь представима в виде = g(a) для некоторого g(x) Î k[x].

Доказательство. В самом деле, многочлены f и m взаимно просты (иначе f делился бы на m), значит, по теореме о линейном представлении НОД: для некоторых многочленов g и h над k верно равнство

fg + mh = 1.

Откуда f(a) g(a) = 1, что и требовалось.

30. Строение простых алгебраических расширений.

Определение. Пусть k - подполе в L; a Î L. Наименьшее подполе в L, содержащее число a и подполе k, обозначаемое k(a), называется простым расширением поля k (говорят также, что k(a) получено присоединением к полю k числа a).

Из приведенных свойств легко вывести теорему.

Теорема (о строении простого алгебраического расширения).

Для любого алгебраического числа a над полем k линейное пространство k(a) обладает базисом из элементов вида

1, a, a2, . . . , an-1, где n = degk a.

Доказательство. Легко понять, что k(a) состоит из дробей f(a)/g(a), где f(x), g(x) - многочлены над полем k и g(a) ¹ 0. Обозначим через k[a] - кольцо значений многочленов в точке a, т.е. k[a] = { f(a)½f(x)Î k[x]}.

Из свойства 6 вытекает равенство k(a) = k[a]. Из теоремы о делении с остатком следует, что значение произвольного многочлена над полем k в точке a является линейной комбинацией над полем k указанных в теореме степеней элемента a. Наконец, из свойства 5 следует линейная независимочть над полем k этих степеней. ÿ

40. Освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

Разберем различные способы решения задачи об освобождении от иррациональности в знаменателе дроби. Принципиальная возможность ее решения вытекает из теоремы о строении простого алгебраического расширения.

Пример 1. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число , и воспользуемся известной формулой суммы членов геометрической прогрессии:

1+ c + c2+ c3+ c4 = (c5 - 1)/(c - 1) = 1/(c - 1),

следовательно, .

Пример 2. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число , и запишем сначала дробь

в виде суммы простейших:

Теперь, используя схему Горнера, каждую из указанных дробей можно заменить на многочлен относительно c. Сначала разделим c5 - 2 на c + 1:

	1	0	0	0	0	-2
-1	1	-1	1	-1	1	-3

следовательно,

= c4 - c3 + c2 - c + 1.

Теперь разделим c5 - 2 на c + 2:

	1	0	0	0	0	-2
-2	1	-2	4	-8	16	-34

следовательно,

= c4 - 2c3 + 4c2 - 8c + 16.

Тогда получаем

= 34(c4 - c3 + c2 - c + 1) - 3(c4 - 2c3 + 4c2 - 8c + 16) =

= 31c4 - 40c3 + 22c2 - 10c - 14,

т.е. .

Пример 3. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число . Найдем линейное представление НОД многочленов f(x) = x3 - 2 и g(x) = 1 + 2x - x2:

f(x) = - g(x)×(x + 2) + r(x), где r(x) = 5x

-5g(x) = r(x)×(x - 2) - 5.

Из этих равенств, получаем линейное представление НОД f(x) и g(x):

f(x)×(x - 2) + g(x)×(x2 + 1) = 5.

Подставляя в последнее равенство вместо x число c, получим

= c2 + 1,

следовательно, =.

Пример 4. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

Решение. Обозначим через c число и применим метод неопределенных коэффициентов. По теореме о строении простого алгебраического расширения существуют рациональные числа x, y, z такие, что