Определение предела функции.
Пусть функция у = f(х) определена в некоторой точке а, кроме, может быть, самой
этой точки.
Число b называется пределом
функции f(х) при х стремящемся к а, если для любого сколь угодно малого,
наперед заданного ε>0 существует такое δ>0, что для всех х
таких, что |х-а|<δ выполняется неравенство |f(x) - b|<ε.
В компактном виде это определение можно записать lim f(x) = b.
(lim –
сокращенное слово limit(предел)).
Читается так: предел f(x) при х
стремящемся к а равен b.
При отыскании предела мы не
учитываем значение функции в самой точке а, оно может быть любым. Рис. 1, 2, 3,
4.
y y
f(a) y= f(x)
y = f (x)
b
0
0 a x
а х
Рис.1
Рис.2
y
f(a)
f(a)
0 a x
0 a x
Рис.3
Рис.4
На приведенных рисунках предел
существует в случаях 1) и 2), причем во 2) значение функции в точке а не
совпадает с предельным, а в 1) совпадает f(a) = b . На
рисунках 3) и 4) предел у функции в точке а не существует.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной
в точке а, если ее предел в этой точке совпадает со значением функции в той же
точке, или lim f(x) = f(a).
Все элементарные функции
непрерывны в каждой точке, где они определены.
Основные
теоремы о пределах функций.
1. Предел суммы двух функций
равен сумме пределов.
lim (f(x) + φ(x)) = lim f(x) + lim
φ(x)
2. Предел произведения двух
функций равен произведению пределов.
lim [f(x) * φ(x)] = lim f(x) * lim
φ(x)
3. Предел произведения числа на
функцию равен произведению числа на предел функции.
lim С*f(x) = С *lim f(x)
Это свойство можно записать так:
постоянный множитель выносится за знак предела.
4. Предел отношения двух функций
равен отношению пределов этих функций. (Кроме случая, когда знаменатель
стремиться к нулю).
lim f(x) / φ(x) = lim f(x) / lim
φ(x), limφ(х)≠0.
Если знаменатель стремиться к
нулю, а числитель - нет, то говорят, что отношение стремиться к бесконечности.
Бесконечность – это не число, ее
можно добавить ко множеству вещественных чисел R в
качестве нового элемента ∞. После этого числовая прямая превращается в
так называемую расширенную прямую.
Раз мы добавили новый элемент ко
множеству вещественных чисел, то запишем арифметические операции с этим
элементом ∞.
Пусть а любое вещественное
число, а Є R, тогда
а
+ ∞ = ∞ |
-∞
+ а = -∞ |
∞
* (-а) = - ∞, а › 0 |
∞
- а = ∞ |
-∞
- а = - ∞ |
∞
* ∞ = ∞ |
а
* ∞ = ∞, а ≠ 0 |
∞
+ ∞ = ∞ |
а/∞
= 0, ∞/а = ∞ |
|
-
∞ - ∞ = - ∞ |
|
Есть особые случаи, когда предел
суммы, произведения или частного нельзя найти, зная только пределы слагаемых,
сомножителей или делимого и делителя. Такие случаи называются
неопределенностями.
Выделяют
неопределенности двух типов:
Арифметические неопределенности
(0/0); (00/00); (00 – 00); (0 * 00).
Степенно-показательные
неопределенности (100); (000); 00.
Эти записи не являются
операциями над числами и 00, они представляют собой только деловые обозначения.
В случае неопределенности предел
может быть равен нулю, конечному числу, бесконечности или не существовать. Для
нахождения предела (раскрытие неопределенности) надо исследовать каждый случай
отдельно.
Пример 1. Найти lim [(х2 – 4) / (x2+x
– 2)].
Решение:
1) Подставим точку х = - 2 в нашу функцию, получим lim
[(х2 – 4) / (x2+x – 2)] =
= (4 – 4) / (4
– 2 – 2) = (0/0).
2) Раскроем эту неопределенность, разложив
числитель и знаменатель на простые множители, найдя корни числителя и
знаменателя, тогда lim [(х2 – 4) / (x2+x
– 2)] lim [(х – 2) * (x+2)] /
[(x-1)*(x + 2)] = (-2 – 2)/(-2-1) = -4/ -3= 4/3/
Пример 2. lim
[(х2 – 4) / (x2+x – 2)]
Решение:
lim [(х2 – 4) / (x2+x – 2)] = (00/00). Чтобы
раскрыть эту неопределенность, вынесем за скобки из числителя и из знаменателя
х в старшей степени, т.е. х2, получим: lim [(х2 – 4) /
(x2+x – 2)] = lim [(х2 *
(1 – 4/х2) /
(x2(1+1/x – 2/x2)] = 1/1=1, т.к. lim 4/х2
= 4 / 00 = 0, . lim 1/х =
1/00=0 и . lim 2/х2 = 2/00
Для раскрытия неопределенностей
используются не только различные приемы преобразования функций, как мы видели в
примерах 1 и 2, но и так называемые замечательные пределы.
Первый замечательный предел .lim sinx/х
= 1, он раскрывает неопределенность (0/0).
Второй замечательный предел. . lim (1+1/х)х =
℮, где ℮=2, 7, …
иррациональное «непперово»
число. Это число часто берут за основание логарифма, тогда такой логарифм
обозначается так: log℮x = lnx и
называется натуральным логарифмом.
Пример. 3 Найти lim (sin3x)/х = (0/0).
Решение: lim (3sin3x) / (3х) = 3 lim (sin3x) / (3х) = 3*1 = 3
Пример. 4 Найти lim (sin5x)/(sin2х) = (0/0).
Решение: lim (sin5x / sin2х)
= lim [((sin5x / 5х)*5x) / ((sin2x /
2x) * 2x)]
= 5/2 *
[(lim (sin5x / 5х)) / lim (sin2x / 2х)]
= 5/2
Пример. 5 Найти
lim (1+(1/2x))x = 100.
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9