Реферат: Исследование операций

 , где

Ц – цена готовой продукции, Е – извлечение, a - содержание полезного компонента. 

Прибыль (П) рассчитывается по формуле:

П = Д – З , где Д – доход, З – затраты.

Затраты (З) рассчитываются по формуле:

, где С – затраты на добычу, транспортировку и переработку, - коэффициент изменения затрат.

1.    Пусть x1, x2, x3 принимают свои максимальные значения, тогда

Z1 = 676,8x1 + 459,25x2 + 294,66x3MAX

 Ограничения:

                       x1 + x2 + x3 =12 – по количеству составов;

                       x1 6,17 - максимальный объем добычи руды с предприятия 1;

                       x2 6,18 - максимальный объем добычи руды с предприятия 2;

                       x3 5,66 - максимальный объем добычи руды с предприятия 3;

                    0,96x1 + 0,11x2 – 0,95x30 – по максимально допустимому содержанию полезного компонента в руде;

                   -0,84x1 + 1,06x30 – по минимально допустимому содержанию

полезного компонента в руде.

Решение 1.

x1 = 6,17             x2 = 0,95           x3=4,88           Z1 = 6048,24

2.    Так как x1=6,17 – максимально возможный, то коэффициент при x1 в

целевой функции Z2 будет равен 676, 8.

Так как  x2=0,95; x2 < 1,87, то коэффициент при x2 в целевой функции Z2 будет равнятся  -79,75.

Так как x3=4,88; 3,96 < 4,88 <5,66, следовательно x3 попадает в интервал 3,96 – 5,66, следовательно коэффициент при x3 в целевой функции Z2  будет равен 40,28.

Следовательно Z2 = 676,8x1 – 79,75x2 + 40,28x3

Решение 2.

    x1 = 6,17          x2 = 0,17           x3 = 5,66         Z2 = 4387,26

3.    Так как x1=6,17 – максимально возможный, то коэффициент при x1 в

целевой функции Z3 будет равен 676, 8.

Так как  x2=0,17; x2 < 1,87, то коэффициент при x2 в целевой функции Z3 будет равнятся  -79,75.

Так как x3=5,66 – максимально возможный, то коэффициент при x3 в

целевой функции Z3 будет равен 294,68.

Следовательно Z3 = 676,8x1 – 79,75x2 + 294,68x3

Решение 3.

     x1 = 6,166      x2 = 0,17       x3 = 5,66    Z3 = 5827,16

Вывод:

Так как на третьем шаге мы получили значения переменных равных значениям переменных на втором шаге, то мы получили искомое решение задачи нелинейного программирования. Третий шаг, за счет того, что значения коэффициента при x3 были увеличены  с 40,28 до 294,68, улучшил целевую функцию Z3 на 5827,16 – 4387,26 = 1439,9 у.е.

 

      Плановые задания предприятиям.

, где P – плановое задание тыс. тонн, q – производительность состава, x – количество составов, i – номер предприятия.

Для предприятия 1:

тыс. тонн;

  Для предприятия 2:

тыс. тонн;

  Для предприятия 3:

тыс. тонн.

                                           

Аппроксимация кривой зависимости затрат от количества составов. Примеры графиков для предприятий 1 и 2.

                 

               

                              Динамическое программирование. (ДП)

Динамическими называются задачи экономики, организации и управления, в которых необходимо распределять ресурсы на каждом этапе какого – либо промежутка (времени). Формулировка задачи ДП:

Имеется некая система S, находящаяся в первоначальном состоянии S. Данная система имеет какие – либо параметры. При переходе системы из одной точки в другую необходимо в каждый момент времени выбирать направление дальнейшего движения из нескольких допустимых направлений при условии, что  каждому направлению соответствует своя эффективность (параметры системы изменяются по разному), и необходимо таким образом спланировать маршрут из начальной точки в конечную, чтобы критерий эффективности достигал экстремального значения.

Иными словами из множества допустимых управлений U=(U1, U2, …, Un) необходимо  найти оптимальное, при котором система переходит из своего начального состояния в конечное таким образом, что критерий оптимальности W достигает своего максимума.

Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации многошаговых процессов по шагам. Локальный оптимум на каждом шаге должен рассчитываться не как оптимальный на данном этапе, а как дающий максимальное значение критерия оптимальности в конце движения. Несоблюдение этого правила приводит к серьезным ошибкам, поэтому при решении задач ДП двигаются обычно из конца пути в начало, рассчитывая затраты при движении в каждом направлении, а затем из начала в конец,  находя локальный оптимум из рассчитанных затрат на каждом шаге. Таким образом получаем максимальное значение критерия оптимальности.

В основе расчетов методом динамического программирования лежит принцип Беллмана. Он звучит:

 оптимальное управление обладает тем свойством,  что какавы бы ни были достигнутые состояния и решения до данного момента, последующее решение должно составлять оптимальное поведение относительно состояния, достигнутого на данный момент.

             Решение задачи  динамического программирования.

                     Распределение ресурсов предприятиям.

Данные возьмем из задачи нелинейного программирования: количество составов и прибыль на 1 состав для каждого предприятия:

Предприятие 1.

Количество составов	Прибыль на 1 состав
6,17	676,8
4,31 – 6,17	388,8
3,08 – 4,31	244,8
1,85 – 3,08	172,8
до 1,85	100,8

Предприятие 2.

Количество составов	Прибыль на 1 состав
6,18	459,25
4,33 – 6,18	305,25
3,09 – 4,33	151,25
1,85 – 3,09	74,25
до 1,85	-78,75

Предприятие 3.

Количество составов	Прибыль на 1 состав
5,66	294,68
3,96 – 5,66	40,28
2,83 – 3,96	-214,12
1,7 – 2,83	-298,92
до 1,7	-458,52

Количество составов,выделенных всем трем предприятиям (N), равно 14.

Рассчитаем эффективность использования средств предприятиями. Для этого прибыль на один состав умножим на количество составов, при которых достигается эта прибыль на каждом из предприятий.

,  где n – количество составов, Pn – прибыль при этом количестве составов.

Количество составов	Предприятие 1	Предприятие 2	Предприятие 3
1	100,8	-78,15	-458,52
2	345,6	148,5	-597,94
3	518,4	222,75	-642,36
4	979,2	605	161,12
5	1944	1526,25	201,40
6	2332,8	1831,5	1768,08

Рассчитаем  - максимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2. составов. Теперь рассчитаем минимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2, исходя из того, что максимально возможное количество составов для предприятия 3 равно  = 6 составов, тогда составов. Составим таблицу выделения средств двум предприятиям (1 и 2). Здесь x -  общее количество ресурсов (составов) для двух предприятий; x = x1 + x2;  0 x1 6 – допустимое количество составов для предприятия 1; 0  x2  6 – допустимое количество составов для предприятия 2. Отсюда видно, что  0 x , однако количество составов для предприятия 3 не может превышать 6, следовательно x, следовательно x; 8x12. q1, q2 – эффективность использования средств предприятиями 1 и 2 соответственно взятая из предыдущей таблицы. W2 = q1 + q2 – суммарная эффективность обоих предприятий.Наибольшую суммарную эффективность для каждого значения x будем подчеркивать.

x	x1	X2	Эффективность
			q1	q2	W2
8	2	6	345,6	1831,5	2177,1
	3	5	518,4	1526,25	2044,65
	4	4	979,2	605	1584,2
	5	3	1944	222,75	2166,75
	6	2	2332,8	148,5	2481,3
9	3	6	518,4	1831,5	2349,9
	4	5	979,2	1526,25	2505,45
	5	4	1944	605	2549
	6	3	2332,8	222,75	2555,55
10	4	6	979,2	1831,5	2810,7
	5	5	1944	1526,25	3470,25
	6	4	2332,8	605	2937,8
11	5	6	1944	1831,5	3775,5
	6	5	2332,8	1526,25	3859,05
12	6	6	2332,8	1831,5	4164,3

Теперь составим таблицу выделения средств всем трем предприятиям. Так как N – общее количество составов равно 14, а максимально возможное количество составов для предприятий 1 и 2 =12, то всем трем предприятиям может быть выделено 13 или 14 составов. W3 – суммарная эффективность всех трех предприятий.

Количество      Составов	x3	x	Эффективность использования ресурсов
			q3	W2	W3
13	1	12	-458,52	4164,3	3705,78
	2	11	-597,94	3859,05	3261,11
	3	10	-642,36	3470,25	2827,89
	4	9	161,12	2555,55	2716,67
	5	8	201,4	2481,3	2682,7
14	2	12	-597,94	4161,3	3563,36
	3	11	-642,36	3859,05	3216,69
	4	10	161,12	3470,25	3631,12
	5	9	201,4	2555,55	2756,95
	6	8	1768,08	2481,3	4249,38

W3 максимальное равно 4249,38, следовательно Z = 4249,38.

x3 = 6; x2 = 2; x3 = 6.

Вывод:

В результате решения задачи динамического программирования я получил, что максимальное значение целевой функции Z =  = 4249,38 получается при количестве составов, выделенных 3 предприятиям N = 14, и количестве составов выделенных предприятию 3 x3 = 6. При этом количество составов для предприятий 1 и 2 равно 8. Максимальная эффективности использования 8 составов предприятиями 1 и 2 достигается при выделении предприятию 1 -  6 составов, а предприятию 2 – 2 состава, и она равна 2481,3. Следовательно x1 = 6, x2 = 2, x3 = 6, Z = 4249,38.

Плановые задания предприятиям:

, где P – плановое задание тыс. тонн, q – производительность состава, x – количество составов, i – номер предприятия.

Для предприятия 1:

тыс. тонн;

тыс. тонн;

тыс. тонн.

                           Графическая интерпретация решений.

1.    Решение задачи ЛП.

Из ограничения 1 задачи ЛП:

 

Выразим

Ограничения:

1)    x16,17 , значит 12 - x2  - x3  6,17;

x2 + x3  5,84

y1 = x2 + x3 = 5,84

x3 = 5,84 – x2;

2)    x2  6,18

y2 = x2 = 6,18;

3)    x3  5,66

y3 = x3 = 5,66;

4)    0,96 x1 + 0,12 x2 – 0,95 x3  0

0,96 (12 – x2 – x3) + 0,12 x2 – 0,95 x3  0

      -0,84 x2 – 1,9 x3 11,52

 0,84 x2 + 1,9 x3  11,52

 y4 = 0,84 x2 + 1,9 x3 = 11,52

 ;  

5)    –0,84 x1 + 1,06 x3  0

-0,84 (12 – x2 – x3) + 1,06 x3  0

0,84 x2 + 0,84 x3 + 1,06 x3  10,08

0,84 x2 + 1,9 x3 = 10,08

;

Целевая функция:

Z = 676,8 (12 – x2 – x3) + 459,25 x2 + 294,66 x3 = 8121,6 – 217,55 x2 – 382,14 x3;

Рассмотрим, что происходит с графиком целевой функции при ее увеличении:

1)    Z1 = 8000

8121,6 – 217,55 x2 – 382,14 x3 = 8000

-217,55 x2 – 382,14 x3 = 8000 – 8121,6

217,55 x2 + 382,14 x3 =121,6

;

X2	0	3
X3	0,32	-1,39

2)    Z2 = 9000

-217,55 x2 – 382,14 x3 = 9000 – 8121,6

217,55 x2 + 382,14 x3 =  – 878,4

x2	0	-3
x3	-2,3	-0,6

    Мы получили, что график функции Z2 расположен ниже чем график функции Z1. Однако Z2 > Z1 (9000 > 8000). Следовательно своего максимального значения целевая функция достигает в самой нижней точке области относительно целевой функции (в той точке, через которую график целевой функции будет проходить первым при уменьшении целевой функции). Обозначим эту точку на графике A. Координаты точки A (0,95;4,89). x2 = 0,95; x3 = 4,89, что соответствует решению с помощью симплекс – метода.

2.    Задача ЦЛП.

Максимального значения целевая функция задачи ЦЛП достигает при x2 = 1, x3 = 5. На графике решение задачи ЦЛП – точка B с координатами (1;5).

3.    Задача нелинейного программирования.

x2 = 0,17, x3 = 5,66. На графике точка C с координатами (0,17;5,66).

4.    Задача ДП.

x2 = 2, x3 = 6. На графике точка D с координатами (2;6). 

 Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.

Метод    Свойство	ЛП	ЦЛП	Нелинейное		ДП
Использование Симплекс – метода и ПК	Небольшое (1 проход)	Большое (много проходов)	Большое (много проходов)		НЕТ
Размер  расчетов без ПК	Низкий (только расчет плановых заданий)	Низкий (только расчет плановых заданий)	Средний (расчет дохода, прибыли, затрат, плановых заданий)		Большой (все расчеты производятся вручную)
Размер подготовительных  и промежуточных расчетов	Низкий (только ограничения)	Средний (ограничения ЛП + ветвление)		Высокий (ограничения ЛП + составление таблицы + промежуточ-ные подстановки коэффициен-тов)	Очень большой
Общее время решения	Низкое	Среднее		Среднее	Высокое
Чувствитель-ность к ограничениям по содержанию полезного компонента в руде	Есть	Есть		Есть	Нет
Использование коэффициента увеличения затрат при нагрузке	Нет	Нет		Есть	Есть
Размер целевой функции	Максимальный       6048,2412	Средний     5993,3501		Средний    5827,1611	Низкий       4249,38
Общая эффективность и приближенность условий к реальным	Низкая (не учитывается коэффициент изменения затрат и целочислен- ность решения)	Средняя (не учитывается коэффициент изменения затрат)		Средняя (не учитывается целочислен-ность решения)	Средняя (низкая прибыль)

 

                                                О проекте.

Проект выполнен студентом второго курса факультета РПМ Московского государственного горного университета Солодовниковым Дмитрием.

Использованная литература:

·     Резниченко С.С., Ашихмин А.А. Математические методы и моделирование в горной промышленности. – М.: Издательство Московского горного университета, 1997, 404 c.