Реферат: Исследование операций
Реферат: Исследование операций
Московский государственный
Горный университет
Курсовой проект по исследованию операций.
Решение задачи методами линейного,
целочисленного, нелинейного и динамического
программирования.
Выполнил студент группы
ПМ – 1 – 97 Солодовников Д. А.
Научный руководитель: Багрова Г.И.
Москва 1999 г.
Содержание:
Цель курсовой работы ……………………………………………………………..3
Линейное программирование ……………………………………………………..4
Решение задачи методом линейного программирования ……………………….6
Целочисленное линейное программирование …………………………………...9
Решение задачи методом целочисленного линейного программирования …...10
Нелинейное программирование ………………………………………………….15
Решение задачи нелинейного программирования ………………………………15
Динамическое программирования ………………………………………………..20
Решение задачи динамического программирования …………………………….21
Графическая интерпретация решений ……………………………………………25
Трудоемкость и эффективность решения модели различными методами …….27
О проекте …………………………………………………………………………...28
Цель
курсовой работы.
Решить задачу методами линейного, целочисленного, нелинейного и динамического программирования. Сопоставить трудоемкость и эффективность решения модели различными методами.
Задание:
Определить плановые задания добывающим предприятиям, если в работе находится N = 12 составов.
Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну.
Руда, поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание 29,8 – 29,9%.
| Наименование показателя |
Единицы Измерения |
Предприятия | ||
| 1 |
2 |
3 | ||
|
Max добыча ПИ |
тыс. тонн | 740 | 680 | 600 |
| Содержание полезного компонента | % | 29,1 | 29,8 | 30,8 |
| Извлечение | % | 80 | 75 | 70 |
| Затраты на добычу, транс-портировку и переработку | у.е. /т | 6 | 7 | 8 |
|
Производительность Состава |
тыс. тонн | 120 | 110 |
106 |
|
Коэффициент увеличения затрат при нагрузке: До 30% - 31 – 50% - 51 – 70% - 71 – 100%- максимальной |
1,8 1,7 1,6 1,4 1 |
1,7 1,5 1,4 1,2 1 |
1,9 1,7 1,6 1,3 1 |
|
В курсовом проекте введены следующие условные обозначения:
ЛП – линейное программирование;
ЦЛП – целочисленное линейное программирование;
ДП - динамическое
программирование.
Линейное программирование.
Основная задача линейного программирования:
Найти неотрицательное решение системы ограничений (1,2) обеспечивающее максимум (минимум) целевой функции.
1) Первый канонический вид:
a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn
b1
a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn
b2
……………………………………
ai1x1 +ai2x2+…+aijxj
+…+ ainxn
bi
.……………………………………
am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn
bn
xj
0; j=1,n; i=1,m;
Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxn
max (min);
2) Второй канонический вид:
a11x1+a12x2+…+a1jxj+…+a1nxn+y1=b1
a21x1+a22x2+…+a2jxj+…+a2nxn+y2=b2
………………………………………
ai1x1 +ai2x2+…+aijxj +…+ ainxn+yi=bi
.………………………………………
am1x1+am2x2+…+amjxj+…+amnxn+ym=bn
xj
0; j=1,n; i=1,m;
Z=C1x1+C2x2+…+Cjxj+…+Cnxn
max (min);
Чтобы решить задачу линейного программирования необходимо привести ее к каноническому виду.
Теоремы линейного програмирования:
Теорема 1. Множество допустимых решений основной задачи линейного программирования выпукло.
Теорема 2. Линейная функция задачи линейного программирования достигает своего экстремального значения в крайней точке множества решений.
При решении системы ограничений могут возникнуть следующие случаи:
1) Система ограничений несовместна, поэтому отыскать оптимальное решение невозможно (рис. 1.1).
2) Система ограничений имеет единственное решение ( рис. 1.2).
3) Система ограничений имеет конечное число решений (имеется замкнутая область допустимых решений). Оптимальное решение отыскивается среди решений, принадлежащих данной области(рис. 1.3).
4) Система ограничений имеет бесчисленное множество решений (рис. 1.4).
Рис.
1.1 Рис. 1.2 Рис.
1.3 Рис. 1.4
C
a b
Рис. 2
Симплекс – метод.
Решение задачи линейного программирования включает в себя 3 этапа:
1) Отыскание базисного решения – некой точки А (рис. 2) лежащей на функции.
2) Отыскание опорного решения – некой точки B (рис. 2) принадлежащей области, образованной ограничениями.
3) Отыскание оптимального решения – некой точки С (рис. 2) принадлежащей той – же области, и в которой целевая функция достигает своего экстремума.
Отыскание оптимального решения с использованием симплекс – метода сводится к последовательному направленному перебору вершин многогранника, образованного ограничениями при котором монотонно увеличивается (уменьшается) значение целевой функции.
В настоящее время решение задач ЛП с помощью симплекс – метода реализуется с помощью ЭВМ.
Решение задачи методом линейного программирования.
Симплекс – метод.
Определить плановое задание добывающим предприятиям, если в работе находится N=12 составов. Цена готовой продукции 50 у.е. за тонну. Руда поступающая на обогатительную фабрику должна иметь содержание Ме (полезного компонента) в пределах 29,9 – 29,9 %
| Наименование показателя |
Единицы Измерения |
Предприятия | ||
| 1 |
2 |
3 | ||
|
Max добыча ПИ |
тыс. тонн | 740 | 680 | 600 |
| Содержание полезного компонента | % | 29,1 | 29,8 | 30,8 |
| Извлечение | % | 80 | 75 | 70 |
| Затраты на добычу, транс-портировку и переработку | у.е. /т | 6 | 7 | 8 |
|
Производи-тельность Состава |
тыс. тонн | 120 | 110 |
106 |
x1, x2, x3 – количество составов выделенных соответственно предприятиям 1, 2 и 3.
Ограничения:
· По количеству составов:
,
где n – количество предприятий, N – количество составов.
1.
x1 + x2
+ x3
12
· По максимальному объему добычи руды с каждого из предприятий:
, где
2.
120x1 
740 или x1
6,16666 (для предприятия 1);
3.
110x2 
680 или x2
6,18181 (для предприятия 2);
4.
106x3 
600 или x3
5,6603 (для предприятия 3).
· По содержанию полезного компонента в руде:
по формуле:
где
amin – минимально допустимое содержание полезного компонента в руде,
amax – максимально допустимое содержание полезного компонента в руде,
ai – содержание полезного компонента в руде i – того предприятия,
qi – производительность состава i – того предприятия,
имеем:
Упростим неравенства 5,
6:
5.
34,92x1 +
32,78x2 + 32,648x3 – 35,76x1 – 32,78x2
– 31,588x3
0
-0,84x1 + 1,06x3
0; (ограничение по минимально допустимому содержанию
полезного компонента в руде);
6.
34,92x1 +
32,78x2 + 32,648x3 – 35,88x1 – 32,89x2
– 31,694x3
0
-0,96x1 – 0,11x2 +
0,954x3
0
0,96 x1 + 0,11x2 –
0,954x3
0; (ограничение по максимально допустимому содержанию
полезного компонента в руде);
Целевая функция:
, где 
- цена
готовой продукции (у.е. за тонну);
Z = 676800x1 + 459250x2 +
294660x3
Или в тыс. тонн:
Z = 676,8x1 + 459,25x2 + 294,66x3
Вывод:
В результате решения данной задачи было получено значение целевой функции Z = 6048,2412;
x1 = 6,16667 – количество составов для предприятия 1;
x2 = 0,94654 – количество составов для предприятия 2;
x3 = 4,88679 – количество составов для предприятия 3;
Для получения наибольшей выгоды (целевая функция стремящаяся к максимуму достигает своего экстремума) необходимо выполнение предприятиями следующего плана:
