Курсовая работа: Теорема Силова
Пусть , причем , тогда
где и поэтому , то есть условие замкнутости выполняется, таким образом, в силу предложения 1.1.1. можем считать, что HK является подгруппой группы G.
Кроме того, так как для любого , то Hk=kH, следовательно, HK=KH. Далее для любого элемента имеем . Откуда . ■
Теорема 1.5.6 (об изоморфизме). Пусть G – группа и H и K две его подгруппы. Причём тогда и .
Доказательство. Покажем что подгруппа нормальна в K . Тогда для : , так как и , и по условию , следовательно, для любого k из K и значит . Кроме, того, по предыдущему предложению имеем HK=KH подгруппа группы G и .
Существует сюръективный гомоморфизм , сопоставленный каждому смежный класс группы по подгруппе H. Несложно видеть является ядром гомоморфизма, таким образом, по теореме 1.5.4. получаем:
. ■
Глава II. Теоремы Силова
2.1 Первая теорема Силова
Лемма 2.1.1. Пусть G конечная абелева группа порядка m и p –простое число, делящее m. Тогда G содержит подгруппу порядка p.
Для доказательства данного утверждения нам потребуется некоторые дополнительные понятия.
Пусть G – определена как и выше и a – некоторый элемент группы G натуральное число m такое, что am=e называется показателем элемента a. Среди показателей минимальным является порядок элемента a. ■
Лемма 2.1.2. Все показатели элемента делится на его порядок.
Доказательство. Пусть n – порядок элемента a, то есть an=e, m>0 другой показатель элемента. Тогда по теореме о деление с остатком получаем m=nq+r, 0≤r≤n-1 и am=anq+r=(an)q∙ar=e∙ar=ar, так как 0≤r≤n-1 то r может равняться только нулю и поэтому m=nq и, очевидно, m делится n. Лемма доказана. ■
Показатель группы G называется такое натуральное число m, что xm=e для любого xÎG. Порядок группы принадлежит и числу его показателей.
Теперь возвратимся к доказательству Леммы 2.1.1. По условию леммы порядок группы G делиться на p. Если n делиться p, то в силу доказанного выше, в G существует элемент x такой что делиться на p. Пусть , sÎℤ, тогда xs≠e xps=(xs)p=e, то есть элемент xs имеет порядок p. И, следовательно, порожденная им циклическая подгруппа <x> тоже будет иметь порядок p. Лемма 2.1.1. доказана. ■
Теорема 2.1.3 ( первая теорема Силова). Пусть G – конечная группа порядка n, p – простое число. Тогда
a) (Существование) Для каждой степени pα (α≥1) делящий n, в G существует подгруппа порядка pα.
b) (Вложение) Если pα делит порядок G, то каждая подгруппа порядка
pα–1из G вложена в некоторую подгруппу порядка pα из G.
Доказательство. а) Доказательство проведем индукцией по n.
1. При n=1 теорема очевидна (очевидна также теорема n=2, n=3).
2. Предположим, что теорема верна для всех групп порядков меньше n.
Далее рассмотрим два случая:
(i) Если Z центр группы G и порядок Z делиться на p. Тогда по лемме 2.1.1. так как Z – абелева группа и его порядок, делиться на p, то в Z существует подгруппа порядка p. То есть существует zÎZ такое, что , но любая подгруппа центра является нормальной подгруппой, следовательно . Рассмотрим фактор группу .
По теореме 1.2.1 (Лагранжа) или
и, следовательно, порядок делиться на поэтому по индукционному предположению в существует подгруппа порядка , тогда полный прообраз подгруппы , подгруппа P в группе G, по теореме 1.2.1. (Лагранжа) будем иметь порядок : следовательно, P – искомая подгруппа. (i) – доказано.
(ii) Порядок k центра Z не делиться на p, то есть НОД(k, p)=1, тогда разобьем G на классы сопряженных элементов. Класс одноэлементен если состоит из элементов центра. Пусть , тогда , где – не одноэлементные классы сопряженных элементов обозначим . Следовательно, так как по условию и НОД(k, p)=1, то хотя бы одно из чисел также должно быть взаимно просто с p.
По теореме 1.4.1. получаем, что если ,то мощность класса сопряженных с g элементов:
,
учитывая что – взаимно просто с p по теореме Лагранжа получаем, что делиться на рα по индукционному предложению так как порядок NG(g) меньше порядка G, то в NG(g) содержится подгруппа порядка pα. Вместе с (ii) доказано и а).
b) Пусть и порядок . Обозначим Δ – класс подгрупп сопряженных с P элементами из группы G. Рассмотрим два случая.
(i) Порядок Δ и P взаимно просты, то есть НОД(Δ,P)=1 по теореме 1.4.1. Δ= в силу теоремы Лагранжа, получаем: и, следовательно, Δотсюда следует, так как порядок G делится на , и НОД(Δ,)=1, то поэтому по пункту а): существует подгруппа группы , . Откуда получаем, что полный прообраз подгруппы подгруппа H имеет
pα-1·p=pα и .
(ii)
(iii) Порядок Δ делиться на p.
Пусть Δ={P}ÈΔ1È…ÈΔm, Δ – это разбиение на подклассы подгрупп сопряженных с P. Если порядок Δ=m+1, то
Δ=,
Δ=
(Обозначим Δ1 – подклассы подгрупп сопряженных с P1, Δ2 – подклассы подгрупп сопряженных с P2 и т. д.). Тогда если QiÎΔi, то
Δ= – по теореме 1.4.1. так как по теореме Лагранжа
, то Δi =pα, где 0≤α≤α-1.
Откуда Δ= и по условию порядок Δ делиться на p. Следовательно, должно существовать i – такое, что αi=0 и Δi=1, значит, в подклассе Δi лежит только одна подгруппа. Пусть Δi={Q}, тогда для любого pÎP: p–1Pp=Q то есть P нормализует Q и . Далее применяя предложение 1.5.5 получаем, что PQ подгруппа группы G, причем . Применяя теорему 1.5.6. (об изоморфизме) имеем . Отсюда по теореме Лагранжа следует . Учитывая, что Q сопряжено с P получаем: , где β >0 (так как если β=0, то и, следовательно , что неверно).
Сейчас применим к подгруппе PQ внутренний, автоморфизм группы G, который пересекает подгруппу Q в Qg=P. Получаем, что образ подгруппы PQ при этом автоморфизме будет являться подгруппа.
,
причем P будет являться нормальной подгруппой группы P’P. Рассмотрим фактор группу P'P/P, , >0. Следовательно, P'P/P существует, по пункту а) подгруппа порядка p. Тогда полный прообраз подгруппы подгруппа H и будет являться искомой подгруппой порядка . Пункт b) теоремы доказан полностью. ■
2.2 Вторая и третья теорема Силова
Максимальная по вложению p-подгруппа конечной группы G называется силовской p-подгруппой группы G. Из доказанной теоремы вытекает в частности, что силовские p-подгруппы конечной группы, это в точности подгруппы порядка pt где pt – максимальная степень p делящий порядок группы.
Теорема 2.2.1. (вторая теорема Силова)
(Сопряженность) Все силовские p – подгруппы группы G сопряжены.
Доказательство. Пусть P – силовская подгруппа, если , где НОД(p,m)=1, то . Пусть, Δ как и раньше класс подгрупп, сопряженных с P элементами из G. Покажем, что если Q симметрическая p – подгруппа, то QÎΔ. Из теоремы 1.4.1. имеем
Δ=.