скачать рефераты
  RSS    

Меню

Быстрый поиск

скачать рефераты

скачать рефератыКурсовая работа: Теорема Силова

Курсовая работа: Теорема Силова

Оглавление

Введение

Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

1.3 Нормальные подгруппы. Классы сопряженных элементов

1.4 Нормализатор множества в группе. Центр группы

1.5 Теоремы о гомоморфизмах

Глава II. Теорема Силова

2.1 Первая теорема Силова

2.2 Вторая и третья теорема Силова

2.3 Описание групп порядка pq

2.4 Примеры силовских подгрупп

Заключение

Список литературы


Введение

В наши дни не без основания говорят об “алгебраизации” математики, то есть о проникновении идей и методов алгебры, как в теоретические, так и в прикладные разделы всей математики.

В соответствии с принципом “важны не математические объекты, а отношения между ними” алгебра определяется как наука об алгебраических операциях, выполняемых над элементами различных множеств. Сами алгебраические операции выросли из элементарной арифметики. В свою очередь на основе алгебраических соображений получаются наиболее естественные доказательства многих факторов из “высшей арифметики” – теории чисел. теорема силов лагранж

Одной из основных типов алгебраических систем является группа. Теория групп изучает в самой общей форме свойства алгебраических операций, наиболее часто встречающихся в математике и её приложениях. Понятие группы явилось исторически одним из первых примеров абстрактных алгебраических систем и послужило во многих отношениях образцом при перестройке других математических дисциплин на рубеже XIX-XX веков, в результате которой понятие математической системы стало основным в математике.

В ряду алгебраических дисциплин составляющих совокупности, то, что иногда называют общей алгеброй, теория групп занимает, бесспорно, первое место как наиболее развита из этих дисциплин. Кроме того, теория групп представляется как область алгебры близко соприкасающийся с рядом других алгебраических теорий.

Старейшей и интенсивно развивающей ветвью теории групп, является теория конечных групп. Теорема Силова является краеугольным камнем в теории конечных групп.

Целью данной дипломной работы является изучение силовских р-подгрупп конечной группы и их свойств.

Цель обусловила постановку и решение следующих задач.

1. Изучить основные понятия теории групп.

2. Рассмотреть теорему Силова и проанализировать различные способы доказательства.

3. Представить данную тему в развернутой форме, которая в последствии может быть использована при чтении спецкурсов по теории групп.

Поставленные задачи определили структуру дипломной работы, которая состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы.

В первой главе собраны вспомогательные понятия и теоремы, используемые в работе, что позволило сделать изложение более доступным и замкнутым.

Во второй главе дается определение р-подгруппы, доказываются теоремы Силова, дается описание групп порядка pq и, кроме того, приводиться примеры силовских р-подгрупп.


Глава I. Дополнительные сведения

1.1 Вспомогательные понятия и утверждения

Непустое множество G с заданной на нем бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполнено следующие условия:

1)  замкнутость – для любого a,bÎG элемент a*bÎ G;

2)  ассоциативность – для любых a,b,cÎ G справедливо равенство (a*b)*c=a* (b*c) ;

3)  существование нейтрального элемента – для любого aÎG существует элемент eÎG такой, что a*e = e*a=a;

4)  существование обратного элемента – для любого существует элемент a-1ÎG такой, что a*a-1=a-1*a=e.

Подмножество H группы G называется подгруппой, если относительно операции определенной во всей группы подмножество само является группой.

Предложение 1.1.1. Если подмножество H элементов группы G содержит вместе с двумя элементами a, b их произведение ab и вместе с каждым элементом a его обратный a-1, то H есть подгруппа G.

Доказательство. Надо лишь показать, что H обладает единицей, но единица G равна aa-1 при aÎH и, следовательно, принадлежит H согласно условиям предложения. ■

Группа <G , *> называется циклической, если она состоит из всех целых степеней одного элемента aÎG, то есть G= nÎℤ и обозначается G=<a>циклическая группа, порожденная элементом a .

Теорема 1.1.2. Всякая подгруппа циклической группы сама является циклической группой.

Доказательство. Действительно, если подгруппа H группы G=<g> содержит только нулевую степень элемента g, то в H имеется только один элемент – единица e группы G (поскольку g0=e). В этом случае, очевидно, H=<e>.

Если же в подгруппе H содержится какая-нибудь ненулевая степень элемента g, то в ней содержится и некоторая положительная степень g, так как вместе со всяким элементом gk в подгруппу H входит и обратный ему элемент gk. Пусть n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H, и h=gn. Покажем, что H=<h>, то есть, что H исчерпывается различными степенями элемента h:

…, h-2, h-1, h0=e, h1, h2, ….

Допустим противное, получим, что в H содержится элемент gs и s не делиться на n. Но тогда s можно представить в виде nq+r, где 0<r<n, откуда gs=(gn)qgr=hqgr. Значит, и элемент hq(hqgr)=gr содержится в H, а это противоречит тому, что n – наименьшая из положительных степеней элемента g, содержащихся в H.

Из этого рассуждения следует, в частности, что любая подгруппа аддитивной группы ℤ целых чисел является либо единичной подгруппой H={0}, состоящей из единственного элемента 0, либо подгруппой Hn, состоящей из чисел, кратных некоторому целому числу n≥1:

…,-2n, -n, 0, n, 2n, ….

Напомним, что две группы G и G' с операциями * и · называется изоморфными, и обозначаются G @ G', если существует отображение f: G® G' такое, что:

1.  f(a*b)=f(a)· f(b) для любых a, bÎG – отображение f сохраняет выполнимость операций в G и G', то есть отображение f –гомоморфно.

2.  fвзаимнооднозначно.

Теорема 1.1.3. 1) Любая бесконечно циклическая группа изоморфна аддитивной группе целых чисел ℤ.

2) Любая конечно циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов по модулю n.

Доказательство. 1) Определим отображение φ: G ℤ, где φ(an)= n, тогда:

a)  Так как все целочисленные степени элемента a различны, то отображение φ(an)=n является биективным или взаимнооднозначным.

b) Сохраняются операции во множествах: φ(anak) = n+k = φ(an)+φ(ak).

Таким образом, 1) доказано.

2) G={e, a1,…,an–1} – циклическая группа. Определим отображение φ таким образом: G n, где φ(ak)=  для любого ak из группы G, где k принимает значения от 0 до n-1.

a)  Тогда двум равным элементам из группы G соответствуют два равных элемента из ℤn: из того, что am = ak Û am-k = e Û m-k : n, по определению, m=k (mod n) Û

b) Сохраняется выполнимость операций в группах: (akam)=(ak+m)= === φ(am)+φ(ak). ■

Теорема 1.1.4. Пересечение любого множества подгрупп есть подгруппа.

Доказательство. Пусть A и B – подгруппы группы <G,*>. Докажем, что H=AB – подгруппа.

1)  Замкнутость H относительно умножения.

a,bÎH Þ

2)  

3) aÎH=A

Если M – произвольная часть группы G, то пересечение (M) всех подгрупп, содержащих M, называющиеся подгруппой, порожденной множеством M, а само M порождающим множеством подгруппы (M). Иногда говорят, что элементы множества M являются порождающими элементами подгруппы (M). Группа, обладающая конечным порождающим множеством, называется конечно порожденной. ■

Теорема 1.1.5. Если M – подмножество группы G, то

(M) = .

Доказательство.

Обозначим правую часть через H, так как подгруппа (M) содержит все ai из M, то (M)Ê H. С другой стороны, HHÍH, H-1ÍH, поэтому H – подгруппа, содержащая M. Отсюда HÊ (M) и окончательно H=(M).

Если каждое соотношение в группе G относительно порождающего множества M является следствием из некоторого множества соотношений Ф, то Ф – называют определяющим множеством соотношений группы G относительно порождающего множества M. Группы, имеющие конечное число определяющих соотношений, называются, конечноопределенными. Именно такие группы часто возникают в приложениях теории групп к геометрии и топологии. Иногда определяющие соотношения таковы, что элементам группы удается дать некоторую каноническую запись, и умножение элементов в канонической записи не представляет труда. Рассмотрим примеры этого рода.

Пример 1. Группа задана двумя образующими a и b, связанными соотношениями a2=1 (то есть a=a-1), b3=1 и aba=b2. Очевидным следствием из этих соотношений является ab2a=b. Последние два соотношения можно записать в форме ba=ab2 и b2a=ab. Эти соотношения позволяют переносить образующий a через b или b2 справа налево, заменяя b на b2 и b2 на b. Это позволяет записать любой элемент группы в форме akbm при k=0,1 и m=0,1,2. Рассматривая элементы этого вида формально, с правилами умножения, вытекающими из правила переноса a справа налево и условий a2=1 и b3=1, нетрудно проверить, что символы akbm действительно образуют группу. Она конечна, её порядок равен 6. Легко видеть, что она изоморфна симметрической группе S3 подстановок из трех элементов. Изоморфизм дается соответствием a® (1,2), b® (1,2,3).

Пример 2. Группа задана двумя образующими c, a и соотношениями a2=1 и aca=c-1. Здесь образующий c свободен, то есть порождает бесконечно циклическую группу. Очевидным следствием из этих соотношений является acma=cm при любом целом m. Из соотношения acma=c-m следует правило переноса образующего a справа налево, именно, cma=ac-m. Это правило позволяет записать любой элемент группы в виде akcm при k=0,1 и любом целом m. Легко проследить, что символы akcm при умножении с правилами, обусловленными соотношениями a2=1 и cma=ac-m, действительно образуют группу.

1.2 Смежные классы по подгруппе и теорема Лагранжа

п.1. Пусть в группе G дана подгруппа H. Если a есть произвольный элемент из G, то произведение aH называется левым смежным классом группы G по подгруппе H, определенным элементом a. Аналогично дается определение правого смежного класса.

Представление группы G в виде объединения левых (правых) смежных классов по подгруппе H называется левосторонним (правосторонним) разложением группы G по подгруппе H.

G=.

Любые два левых (правых) смежных класса по одной и той же подгруппе либо не пересекаются, либо совпадают.

Предположим, что  Æ докажем, тогда что .

Имеем, Æ следовательно, существует , такой что . Тогда,  так как существует  такой что,  следовательно .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6


Новости

Быстрый поиск

Группа вКонтакте: новости

Пока нет

Новости в Twitter и Facebook

  скачать рефераты              скачать рефераты

Новости

скачать рефераты

© 2010.