Учебное пособие: Основные понятия статистики
где t – коэффициент доверия, зависящий от вероятности, с которой определяется предельная ошибка выборки.
Вероятность появления определенной ошибки выборки находят с помощью теорем теории вероятностей. Согласно теореме П. Л. Чебышёва, при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности вероятность того, что разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала, близка к единице:
при 
.
А. М. Ляпунов доказал, что независимо от характера распределения генеральной совокупности при увеличении объема выборки распределение вероятностей появления того или иного значения выборочной средней приближается к нормальному распределению. Это так называемая центральная предельная теорема. Следовательно, вероятность отклонения выборочной средней от генеральной средней, т.е. вероятность появления заданной предельной ошибки, также подчиняется указанному закону и может быть найдена как функция от t с помощью интеграла вероятностей Лапласа:
,
где 
– нормированное отклонение
выборочной средней от генеральной средней.
Значения интеграла Лапласа для разных t рассчитаны и имеются в специальных таблицах, из которых в статистике широко применяется сочетание:
Вероятность |
0,683 | 0,866 | 0,950 | 0,954 | 0,988 | 0,990 | 0,997 | 0,999 |
| t | 1 | 1,5 | 1,96 | 2 | 2,5 | 2,58 | 3 | 3,5 |
Задавшись конкретным уровнем вероятности, выбирают величину нормированного отклонения t и определяют предельную ошибку выборки по формуле (1.38)
При этом чаще всего
применяют 
= 0,95 и t = 1,96, т.е. считают, что с вероятностью 95%
предельная ошибка выборки вдвое больше средней. Поэтому в статистике величина t иногда именуется коэффициентом
кратности предельной ошибки относительно средней.
После исчисления предельной ошибки находят доверительный интервал обобщающей характеристики генеральной совокупности. Такой интервал для генеральной средней величины имеет вид
(
-
)
(
+
), (1.39)
а для генеральной доли аналогично
(w-
)
p 
(w +
). (1.40)
Следовательно, при выборочном наблюдении определяется не одно, точное значение обобщающей характеристики генеральной совокупности, а лишь ее доверительный интервал с заданным уровнем вероятности. И это серьезный недостаток выборочного метода статистики.
3.4 Определение численности выборки
Разрабатывая программу выборочного наблюдения, иногда задаются конкретным значением предельной ошибки с уровнем вероятности. Неизвестной остается минимальная численность выборки, обеспечивающая заданную точность. Ее можно получить из формул средней и предельной ошибок в зависимости от типа выборки. Так, подставляя формулы сначала (1.35) и затем (1.36) в формулу (1.38) и решая ее относительно численности выборки, получим следующие формулы
для повторной выборки
n = 
; (1.41)
для бесповторной выборки
n = 
. (1.42)
Кроме того, при статистических величинах с количественными признаками надо знать и выборочную дисперсию, но к началу расчетов и она не известна. Поэтому она принимается приближенно одним из следующих способов:
—берется из предыдущих выборочных наблюдений;
—по правилу, согласно которому в
размахе вариации укладывается примерно шесть стандартных отклонений (R/
= 6 или R/ 
= 6; отсюда Д = R2 /36);
— по правилу «трех
сигм», согласно которому в средней величине укладывается примерно три
стандартных отклонения (
/
=3; отсюда 
= 
/3 или Д =
2/9).
При изучении не численных признаков, если даже нет приблизительных сведений о выборочной доле, принимается w = 0,5, что по формуле (1.37) соответствует выборочной дисперсии в размере Дв = 0,5(1-0,5) = 0,25.
4. Ряды динамики
4.1 Понятие и классификация рядов динамики
Ряд динамики — это последовательность упорядоченных во времени количественных статистических величин, характеризующих развитие изучаемого явления или процесса. Конкретное значение величины называется уровнем ряда и обозначается Y, а их число в ряду обозначается n. Ряды динамики классифицируются по следующим признакам.
1. По времени — ряды моментные и интервальные (периодные) которые показывают уровень явления на конкретный момент времени или на определенный его период. Сумма уровней интервального ряда дает вполне реальную статистическую величину за несколько периодов времени, например, общий выпуск продукции, общее количество проданных акций и т.п. Уровни моментного ряда, хотя и можно суммировать, но эта сумма реального содержания, как правило, не имеет. Так, если сложить величины запасов на начало каждого месяца квартала, то полученная сумма не означает квартальную величину запасов.
2. По форме представления — ряды абсолютных, относительных и средних величин.
3. По интервалам времени — ряды равномерные и неравномерные (полные и неполные), первые из которых имеют равные интервалы, а у вторых равенство интервалов не соблюдается.
4. По числу смысловых статистических величин — ряды изолированные и комплексные (одномерные и многомерные). Первые представляют собой ряд динамики одной статистической величины (например, индекс инфляции), а вторые — нескольких (например, потребление основных продуктов питания).
4.2 Абсолютное и относительное изменение уровней ряда
Система уровней ряда аналогична системе дискретных статистических величин X. По-прежнему вычисляются абсолютное, относительное изменения, среднее значение, а также соответствующие индексы и темпы изменения по единичным и средним значениям. Используются те же формулы средних величин от простой арифметической до геометрической.
Любое изменение уровней ряда определяется базисным и цепным способами.
Базисное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле
(1.43)
Цепное абсолютное изменение представляет собой разность конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле
(1.44)
По знаку абсолютного
изменения делается вывод о характере развития явления: при 
> 0 — рост, при
< 0 — спад,
при 
=
0 — стабильность.
Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому сумма цепных абсолютных изменений равняется последнему базисному. То есть
(1.45)
где к = n-1 — количество изменений уровней ряда (r = 1 ...к).
Базисное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и первого уровней ряда, определяясь по формуле
(1.46)
Цепное относительное изменение представляет собой соотношение конкретного и предыдущего уровней ряда, определяясь по формуле
(1.47)
Относительные изменения уровней — это по существу индексы динамики, критериальным значением которых служит 1. Если они больше ее, имеет место рост явления, меньше ее — спад, а при равенстве единице наблюдается стабильность явления.
Вычитая единицу из относительных изменений, получают темп изменения уровней, критериальным значением которого служит 0. При положительном темпе изменения имеет место рост явления, при отрицательном — спад, а при нулевом темпе изменения наблюдается стабильность явления.
Для проверки правильности расчетов применяется правило, согласно которому произведение цепных относительных изменений равняется последнему базисному.
То есть
(1.48)
4.3 Средний уровень ряда и средние изменения
Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный. При моментном ряде применяется формула средней хронологической величины (1.17), но при соответствующих обозначениях имеющая вид
= 
, (1.49)
где Y1 и Yn — первый и последний уровни ряда; Yi — промежуточные уровни.
В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической величины как
=
(1.50)
Среднее изменение уровней ряда определяется также базисным и цепным способами.
Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть
Б =
(1.51)
Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений.
То есть
Ц =
(1.52)
По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.
Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений согласно формуле (1.45) следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными.
Наряду со средними абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное тоже базисным и цепным способами.
Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле
Б=
= 
(1.53)
Цепное среднее относительное изменение определяется по формуле
Ц=
(1.54)
Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.
Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.
4.4 Проверка ряда на наличие тренда
Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:
Ø тренд – основная тенденция развития ряда, обусловливающая увеличение или снижение его уровней;
Ø циклические (периодические) колебания (в том числе сезонные);
Ø случайные колебания.
Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда возможна несколькими способами (в порядке усложнения):
1. Графический метод, когда на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат – уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально.
2. Метод средних, согласно которому
изучаемый ряд динамики делится на два равных подряда, для каждого из которых
определяется средняя величина 
и 
. И если они различаются
существенно (более 10%), то признается наличие тренда.
3. Метод Кокса и Стюарта, согласно которому ряд динамики делится на три равные по числу уровней группы и существенное различие выявляется между средними уровнями первой и третьей групп. Если общее число уровней не делится на три, то надо добавить недостающий уровень или исключить излишний.
4. Метод Валлиса и Мура, согласно которому наличие тренда признается в том случае, если ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы, т.е. перемену знака при определении абсолютного изменения цепным способом.
