Учебное пособие: Основные понятия статистики
3. Средняя величина должна рассчитываться по однородной совокупности, которая позволяет применять метод группировки, предполагающий расчет системы обобщающих показателей.
4. Общая средняя величина должна подкрепляться и поясняться групповыми средними величинами.
2.2 Виды степенных средних величин
Средние величины делятся на два больших класса: степенные и структурные. К последним относятся мода и медиана, но наиболее часто применяются степенные различных видов.
Степенные средние, в зависимости от представления отдельных величин, могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается при наличии двух и более статистических величин, расположенных в произвольном порядке. Общая формула простой средней величины имеет вид
=
. (1.11)
Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы
=
(1.12)
При этом обозначено:
Xi – значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;
m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:
при m = -1 средняя гармоническая;
при m = 0 средняя геометрическая;
при m = 1 средняя арифметическая;
при m = 2 средняя квадратическая;
при m = 3 средняя кубическая и так далее.
Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида. Так, приняв m = 1, находим, что простая средняя арифметическая величина определяется по формуле
=
. (1.13)
Аналогично для
взвешенной средней арифметической величины получаем формулу через частоты или
через доли (так как 
)
=
. (1.14)
Не представляет трудностей и вывод формул для простых и взвешенных средних квадратических и кубических величин. Несколько сложнее вывод средней гармонической при m = –1. Так, используя формулу (1.11), имеем вначале
гм = 
= 
,
а окончательно получим, что простая средняя гармоническая величина определяется по формуле
ГМ = 
, (1.15)
Аналогично выводится формула взвешенной средней гармонической величины, которая имеет следующий окончательный вид через частоты или через доли
ГМ = 
, (1.16)
Наиболее часто употребляются формулы средних арифметических и гармонических величин.
2.3 Правила применения средней арифметической и гармонической взвешенных
Они часто применяются для осреднения относительных величин интенсивности, т.е. показателей, имеющих дробную размерность. При этом соблюдаются следующие правила.
1. Если имеются дополнительные данные по числителю дробной размерности, то применяется средняя гармоническая.
2. Если имеются дополнительные данные по знаменателю дробной размерности, то применяется средняя арифметическая.
3. Если неясно, к числителю или знаменателю относятся дополнительные данные, то поочередно применяются средняя гармоническая и арифметическая, а затем определяется средняя между ними величина.
Для иллюстрации правил решим задачу: 4 фирмы выпускают одинаковую продукцию при себестоимостях в руб/ед.: Si = 5, 3, 4, 6, а доли фирм равны соответственно di = 0,3; 0,2; 0,4; 0,1. Определить среднюю себестоимость продукции.
Для решения примера используем вышеизложенные правила.
1. Если доли фирм относятся к текущим затратам (числитель показателя себестоимости), то ее среднее значение определяем по формуле (1.16) как среднюю гармоническую величину
= 1/ (0,3/5 + 0,2/3 + 0,4/4 +
0,1/6) = 4,1 (руб./ед.)
2. Если доли фирм относятся к количеству выпущенной продукции (знаменатель показателя себестоимости), то ее среднее значение находим по формуле (1.14) как среднюю арифметическую величину
= 5*0,3 + 3*0,2 + 4*0,4 + 6*0,1 =
4,3 (руб./ед.)
3. Если не сказано, к
чему относятся доли фирм, то в дополнение к выполненным расчетам определяем
среднюю себестоимость как простую среднюю величину из полученных результатов.
То есть 
= (Sгм + Sар)/2 = 4,2 (руб./ед.)
Таким путем рассчитываются средние значения и других показателей с дробной размерностью.
2.4 Особые виды степенных средних величин
Разновидностью простой средней арифметической служит средняя хронологическая величина, когда имеются моментные статистические величины на определенную одинаковую дату, например, на 1-е число каждого месяца в году. Формула средней хронологической теоретическому выводу не поддается и записывается приближенно в виде
. (1.17)
где Х1 и Xn — первое и последнее значения статистической величины; Xi промежуточные значения; n — общее число значений.
По такой формуле бухгалтерия определяет среднегодовую стоимость основных фондов, учитывая ее значения на 1-е число каждого месяца. При этом n = 13, т. к. 1-е января фиксируется дважды: у отчетного и следующего за отчетным года. Аналогично коммерческие банки определяют среднегодовую сумму вкладов и выданных кредитов. Если учет квартальный, то n = 5.
Средняя геометрическая величина получается при подстановке в формулу (1.11) m=0:
=
=
Для раскрытия неопределенностей этого вида прологарифмируем обе части формулы (1.11):
.
Подставляя в правую
часть равенства m=0, получаем
неопределенность вида 
. Используя правило Лопиталя и
дифференцируя отдельно числитель и знаменатель по переменной m, получаем
.
Следовательно, при m=0
.
Потенцируя, находим
. (1.18)
Формула (1.18) является формулой средней геометрической простой, а если использовать частоты f, получим формулу средней геометрической взвешенной:
= 
– взвешенная, (1.19)
где П—символ произведения.
Средняя геометрическая величина применяется, если задана последовательность индексов динамики, указывающих, например, на изменение уровня производства каждого последующего года по сравнению с предыдущим.
Рассчитанные для одних и тех же данных различные средние величины оказываются неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних величин (впервые сформулировал профессор А. Я. Боярский), согласно которому с ростом показателя степени m в общих формулах увеличивается и средняя величина. То есть
< 
< 
< 
< 
Это правило частично подтвердилось расчетом средней себестоимости продукции, где средняя гармоническая получилась равной 4,1 руб./ед., а средняя арифметическая 4,3 руб./ед. Если рассчитать еще и среднюю геометрическую взвешенную, то она будет равной 4,2 руб./ед.
2.5 Структурные средние
Особый вид средних величин структурные средние – применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.
В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды – наиболее часто повторяющегося значения признака – и медианы – величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака больше медианного уровня, а у другой – меньше его.
Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:
, (1.20)
где XMe – нижняя граница медианного интервала;
∆X – его величина (размах);
∑f/2 – половина от общего числа величин;
– сумма наблюдений (или объема
взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;
fMe – число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.
При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как
, (1.21)
где ХMo нижнее значение модального интервала;
fMo – число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале;
fMo-1 – то же для интервала, предшествующего модальному;
fMo+1 – то же для интервала, следующего за модальным;
∆X – величина интервала изменения признака в группах.
Очевидно, что в формуле (1.20) и
(1.21) можно заменить частоты f
на доли d, так как 
, а 
можно вынести за скобки как в
числителе, так и в знаменателе и сократить.
Показателями типа медианы, характеризующими структуру рядов распределения признака, являются квартили (делят ряд на 4 равные части), квинтили (на 5), децили (на 10), перцентили (на 100).
2.6 Средние отклонения от средних величин
Каждая статистическая величина от среднего значения отличается (отклоняется) по-разному и в любую сторону: со знаком плюс или минус. Поэтому для оценки типичности полученной средней величины надо знать величину среднего отклонения совокупности от нее. Поскольку неизбежны и отрицательные отдельные отклонения, необходима нейтрализация знака минус, иначе среднего отклонения не получится. Этого можно достичь двумя способами: принять отрицательные отклонения по модулю или возвести их во вторую степень (в квадрат).
При первом способе образуется среднее линейное отклонение, а при втором — среднее квадратическое. В связи с тем, что средние величины могут быть простыми и взвешенными, аналогичными могут быть и средние отклонения. Поэтому среднее линейное отклонение определяется по формулам
– простое; (1.22)
– взвешенное. (1.23)
В этих формулах прямые скобки означают, что разности или отклонения берутся по модулю, то есть без учета знака. Если ошибочно вместо прямых скобок принять обычные круглые, то получится Л=0.
При использовании второго способа вначале определяется дисперсия отклонений по формулам
– простая; (1.24)
– взвешенная. (1.25)
Дисперсия альтернативного признака (т.е. имеющего две взаимоисключающие разновидности, например, пол человека – мужской или женский, качество продукции – годная или бракованная) определяется по формуле 1.25, если вместо Xi подставить 1 и 0 (так как признак может принимать только 2 значения). Зная, что:
p + q = 1,
где p – доля единиц, обладающих признаком, q – доля единиц не обладающих им.
Среднее значение можно найти по формуле (1.14):
.
Таким образом получим формулу дисперсии альтернативного признака, применив формулу (1.25):
.
Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна
. (1.26)
Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25; оно получается при p = q = 0,5.
В отличие от математики статистика оперирует не абстрактными, а смысловыми величинами, имеющими размерность. Поэтому и дисперсия здесь не безразмерная, как в математике, а сопровождается квадратической размерностью. Например, если статистическая величина измеряется в годах, или рублях, то дисперсия отклонений получится в «квадратных» годах или в «квадратных» рублях.
Для получения обычной размерности находится среднее квадратическое отклонение («сигма») как корень квадратный из дисперсии. То есть
= 
. (1.27)
Однако значения средних отклонений, как любой абсолютной величины, служат лишь количественной мерой анализа статистической совокупности. Для качественного анализа применяются относительные критерии, называемые коэффициентами вариации.
