Учебное пособие: Алгоритм решения Диофантовых уравнений
Получается девять систем уравнений.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И после подстановки в эти
девять систем значений 
из соотношений (3), получается также девять систем значений Х, У, Z.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
И далее, - все девять систем надо решить.
г) 
- нет решения в целых числах при любых m.
д) 
е) 
, при m=2, У=8;
Решим уравнение (X-Z)(X+Z)=64 перебором произведений
64=1х64; 2х32; 4х16.
Из соотношения 2х32, получаем
т.е.
Система
Даёт значения
ж) 
- нет корней в целых числах.
з) 
, при m=2, У=12 и т.д.
Разберём до конца У=12 и соответственно У2=144.
Число 144 даёт следующие интересующие нас произведения
144=2х72; 4х36; 6х24; 8х18.
Из формулы (Х-Z)(X+Z)=У2 получим следующие значения Х, У, Z.
| Х 37 | 20 (5) | 15 (5) | 13 |
| У 12 | 12 (3) | 12 (4) | 12 |
| Z 35 | 16 (4) | 9 (3) | 5 |
и) 
- нет корней в целых числах.
к) 
- нет корней в целых числах.
л) 
- нет корней в целых числах.
м) 
- нет корней в целых числах.
Рассмотрим следующий вариант:
- пусть все три числа
чётные и Х>У>Z, как и 
> 
> 
.
Заранее знаю, что после сокращения всех членов на 22 уравнение перейдёт в область всех натуральных чисел.
Из последнего уравнения составим три системы уравнений, после соответствующих преобразований, используя соотношения
|
|
Рассмотрим все три полученные системы уравнений (н), (п), (р).
н) 
и преобразуя – Z=2m, получились все чётные числа при m ≥1.
В таблице приведены значения троек для m ≤10, при условии Х-У=2.
| Х | 5 | 10 | 26 | 37 | 50 | 65 | 82 | 101 | ||
| У | 3 | 8 | 24 | 35 | 48 | 63 | 80 | 99 | ||
| Z | 4 | 6 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 |
п) 
- то же выражение, что и в (н).
р) 
После упрощения.
При m=2, 3 значения троек будут
| Х 13 | 34 (17) | ||
| У 5 | 16 (8) | ||
| Z 12 | 30 (15) |
При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений.
