Учебное пособие: Алгоритм решения Диофантовых уравнений

 , m≥1.

При m=1 K примет значения 3, 15, 35, 63, 99 ….

Этому ряду K соответствует ряд разностей:

У-Х=1, 3, 5, 7, 9 ….; У-Х=-3, -5, -7, -9, -11….

Уравнения У2=Х3-Х, У2=Х3-Х+1, У2=Х3+аХ+В и прочие уравнения эллиптических кривых познавательного интереса для данного алгоритма не представляют.

Повторяясь, скажу, важно лишь количество неизвестных. Поэтому распишу лишь первое из них.

- I      У - чётное число, Х - нечётное число;

-        II      У - чётное число, Х - чётное число, всегда У > Х, и как следствие 1>2.

Вариант I.

Т.к.

         

                    

Тогда

 

После подстановки

Вариант II.

Сразу пишу ответ

И после всех преобразований и подстановок

Работа при исследовании уравнений данным алгоритмом достаточно монотонная.

Исследование уравнения проведено, кстати, не до конца.

Не рассмотрена ситуация У < Х.

Иррациональные корни уравнения

.

Известно, что данное уравнение имеет иррациональные корни. Но для решения, предположим, что уравнение увидели впервые. И тогда начало решения будет традиционным для данного алгоритма.

Рассмотрим 2 варианта:

- I      Х - чётное число, У - нечётное число;

-        II      Х - нечётное число, У - чётное число.

Всегда Х > У

Вариант I.

Функциональное уравнение общего вида будет:

, где  ,           (1)

Преобразования изображу подробно

                                        (2)

В уравнении (1) ,

Тогда ,

Значения  и  подставим в формулу (2)

Исходное уравнение

 

запишем в виде

Тогда

До конца не преобразуя, оставляю решение в виде системы

(3)

         

Вариант II.

, где  ,           (4)

Преобразования без комментариев.

                                           (5)

В уравнении (4)

Тогда ,

Значения  и  подставим в формулу (5)

И сразу пишу систему решений

                  

(6)

Итого: иррациональными решениями уравнения

являются две системы уравнений (3) и (6).

Отрицательные значения радикалов не рассматриваю.

Поиск Пифагоровых троек

                                      (1)

Пусть Х – нечётное число, У – чётное число, Z – нечётное число

и Х > У > Z.

,

уравнение  представлено в виде , и далее оно расписано в виде произведения                (2)

Можно составить три системы уравнений:

а)

   

б)

  

в)

       

И по порядку начинаем рассматривать все три варианта.

Заранее составим заготовку для их решения.

  

  

Откуда следует

    

                                                                             (3)    

а)

     

Произведя подстановку соотношений (3) и с учётом уравнений (2) получим систему из трёх уравнений с тремя же неизвестными.

  

  

После соответствующих преобразований будет

Перед радикалом убран знак «минус» ибо комплексные решения не интересуют.

Простой перебор значений m даёт следующие результаты:

- при          m=2             , тогда               

- при          m=7            , тогда            

б) Система (б) после сокращений примет вид

   

 

После подстановок (3) и с учётом уравнения (2) получим систему уравнений:

      

  

откуда

При m≥1, Z =1, 3, 5, 7, 9, 11…. т.е. все нечётные числа, хотя единицу надо убрать, ибо она не удовлетворяет условию системы (4).

Из (Х-У)(Х+У)=Z2 получаем, систему уравнений

                                                                                   (4)

                                

Решая данную систему, получаем ряд значений Пифагоровых троек.

Х	5	13	25	41	61	85	113	145	181	221	265	313	365	421
У	4	12	24	40	60	84	112	144	180	220	264	312	364	420
Z	3	5	7	9	11	13	15	17	19	21	23	25	27	29

В этой таблице, когда Z является простым числом, дальнейшие расчёты Пифагоровых троек отсутствуют.

Когда Z является составным числом, возможен дальнейший расчёт.

Возьмём Z=15              Z2=225

225=1х 225; 3х75; 5х45; 9х25

Будем рассматривать систему (4), подставляя подчёркнутые произведения .

        Х=39, У=36, Z=15, после сокращения на три

     Х=13, У=12, Z=5

        Х=25, У=20, Z=15, после сокращения на пять        

     Х=5,  У=4, Z=3

       Х=17, У=8, Z=15, несколько неожиданный    

     результат, ибо рассматривается по условию У > Z.

Возьмём Z=27    Z2=729

729=1х729; 3х243; 9х81

Расчёт показывает

Х=123, У=120, Z=27, после сокращения на три       Х=41, У=40, Z=9;

Х=45, У=36, Z=27, после сокращения на девять      Х=5, У=4, Z=3.

Возьмём Z=35              Z2=1225

1225 = 1х1225; 5х245; 7х175; 25х49.

Х =   125 (25),    91 (13),      37

У =    120 (24),    84 (12),      12

Z =    35 (7),        35 (5),        35

И последний раз в качестве примера

Возьмём Z=39    Z2=1521

1521=1х1521; 3х507; 9х169; 13х117.

Х =   255 (85),    89,    65

У =    252 (84),    80,    52

Z =    39 (13),      39,    39

К сожалению системы пока не вижу.

в) После преобразований получается:

   

  

И формула для Z.

Рассмотрим следующий вариант.

От вышеуказанного он отличается следующим условием: У < Z,

а следовательно и  < .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5