Курсовая работа: Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів

Інтервальна оцінка дисперсії (середнього квадратичного відхилення) при відомому математичному чеканні. Ефективною оцінкою дисперс в цьому випадку є .

Використовуються два варіанти інтервальної оцінки для σ2(σ).

1. Основу першого варіанта складає статистика

                                               (3.2.10)

який має розподіл%2 із п ступенями вол незалежно від значення параметра а2 і як функція параметра а2 > О безупинна і строго монотонна.

Отже, з обліком нерівності (3.2.2) будемо мати:

де  і  — двосторонні критичн границі Х2-распределения з п ступенями волі.

Вирішуючи нерівність  щодо α2, одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність

                                             (3.2.11)

і з такою же імовірністю виконується нерівність

                                 (3.2.12)

Числа  і  знаходять по табл. П. 4.3 при k = п і відповідно при р=α/2 і р=1-α/2. Інтервальна оцінка (3.2.12) несиметрична щодо .

2. Другий варіант припускає знаходження інтервальної оцінки для а при заданій надійності 1 - α у виді

                                    (3.2.13)

При 5а < 1 границі цієї оцінки симетричні щодо  і помилка оцінки , що гарантується з імовірністю 1 - α,

                                           (3.2.14)

Як знайти 8а? Вирішуючи нерівність (3.2.13) щодо n/σ², одержимо, що з імовірністю 1 — α виконується нерівність

                             (3.2.15)

або, з огляду на формулу (3.2.10) і замінивши п на k, а α на р,

                            (3.2.16)

Значення , задовольняють рівнянню (3.2.16) при різних р та k,приведені до таблиці П. 4.6.

Тоді,

                        (3.2.17)

де  — число, знайдене в табл. П. 4.6 при k = п и р = а.

Інтервальна оцінка дисперсії (середнього квадратичного відхилення) при невідомому математичному чеканні. Найкращою крапковою оцінкою дисперсії в цьому випадку є , побудова інтервальної оцінки для а2 засновано на статистику , який при випадковій вибірці з генеральної сукупності Х~ N(a; α) має розподіл Х2 з (п — 1) ступенем волі.

Проробивши викладення для розміру Х2(п — 1), подібні викладенням при відомому математичному чеканні, одержимо два варіанти інтервально оцінки для а2 (σ):

                             (3.2.18)

                            (3.2.19)

де числа  і  знаходять по табл. П. 4.3 при k = п - 1 і відповідно при р = α/2 і р=- 1 - α/2.

(3.2.20)   (3.2.21)

при цьому помилка оцінки s, що гарантується з імовірністю 1 - α,

(3.2.22)

число 5га знаходять по табл. П. 4.6 при k = п 1 і р = α.

Зауваження. При k = п — 1 > 30 випадковий розмір Х2(к) має розподіл, близьке до , тому з імовірністю ≈ 1 - α

                        (3.2.23)

Приклад 3.2.3 Варіація щодобового прибутку випадково обраних 10 кіосків деякої фірми, обмірюване розміром  де  - прибуток і-го кіоска, опинилася рівної 100 д. е. Знайдіть таке ∆, при якому з надійністю 90% можна гарантувати, що варіація прибутку по всіх кіосках фірми не вийде за межі 100 + ∆. Передбачається, що прибуток - нормально розподілений розмір.

Тому що середній прибуток кіоску по усій фірмі не відомий нтервал для про повинний бути симетричним щодо s, для розрахунку помилки оцінки s при 1 - а = 0,9 скористаємося формулою (3.2.22).

При k = 9 та р= α = 0,1 по табл. П. 4.6 знайдемо  = 0,476; тоді ∆ = 47,6. З надійністю 90% можна стверджувати, що генеральна варіація прибутку кіоску не вийде за межі 100 + 47,6.

Приклад 3.2.4 Користуючись 90%-нім довірчим інтервалом, оціните в умовах завдання 7.2 варіацію працюючих у фірмі по всій галузі.

Вирішення. За умовою п = 19, s = 25, 1 - α = 0,9. Знайдемо два варіанти довірчого інтервалу:

Відповідно формулі (3.2.19)

а тому що при k = п-1 = 18 верхня довірча границя , а нижня (див. табл. П. 4.3), то 19,740 < α < 34,613 - ця оцінка не симетрична щодо s.

2. Відповідно до рівняння (3.2.21),

а так як при k = п -1 = 18 50, = 0,297 (див. табл. П. 4.6), то 17,575<σ<32,425 - ця оцінка симетрична щодо s. Вона, як і випливало очікувати, відрізняється від попередньої інтервальної оцінки, однак

3.2.1 Асимптотичний підхід до інтервального оцінювання

З прикладами інтервальних оцінок, що мають місце тільки при великих об'ємах вибірок, ми вже зштовхувалися. Так, якщо розподіл випадкового розміру X відмінно від нормального, але п велике, то з мовірністю ≈ 1 - а інтервальна оцінка для MX = а має вид нерівності (3.2.3); з імовірністю ≈ 1-а інтервальна оцінка для р при великих п має вид нерівності (3.2.6) і т. д. [див. нерівності (3.2.9), (3.2.23)].

Розглянемо асимптотичний підхід у загальному випадку.

Раніше було встановлено, що при виконанні досить широких умов оцінка  параметра , отримана або методом моментів або методом максимальної правдоподібності, має в самому загальному випадку асимптотичний нормальний розподіл і асимптотично несумісної, тобто при великих п оцінка . Однак на відміну від ситуації, розглянутої на раніше, де дисперсія D оцінки передбачалася відомої, у загальному випадку дисперсія Dоцінки  залежить від оцінюваного невідомого параметра θ:

                                              (3.2.24)

Тому напряму перший підхід до довірчого інтервалу неприйнятий.

Порушимо питання так: не можна чи перетворити оцінку  у g – g() це невідомий параметр  у g = g (θ) так, щоб дисперсія D не залежала від θ. Викладемо схему добору такого перетворення, а потім пояснимо, як, використовуючи його, знайти інтервальну оцінку для θ.

Нехай θ — оцінка методу моментів: θ, а отже, і g = g(θ) функціями вибіркових моментів. Тоді, відповідно до теореми про властивост функцій вибіркових моментів (див. 3.1), розподіл оцінки  при великих п близько до нормального,  і, з обліком виражень (3.5) і (3.2.25),

(аналогічні вираження утворюються і для оцінок максимально правдоподібності в регулярному випадку). Але тому що дисперсія Dне повинна залежати від θ, то вираження c(θ) g'(θ) повинно бути постійним, наприклад, c(θ)g'(θ) = 1. Тоді g'(θ)= 1/ c(θ) і

                                              (3.2.25)

при цьому довільна постійна в невизначеному інтегралі вибирається з розумінь простоти остаточних виражень.

Отже, при великих п розподіл оцінки близько до нормального, при цьому , a  і, отже,

Тому при великих п для g(9) з імовірністю * I — а має місце нерівність, подібна нерівності (3.2.3):

                             (3.2.26)

Застосувавши до всіх частинам нерівності (3.2.26) перетворений не , що є зворотною функцією до функції g, одержимо інтервальну оцінку для θ.

Приклад 3.2.5 Побудуємо довірчий інтервал для параметра розподілення Пуассона: Р(Х = х) =л.

У прикладі 3.2.2 була знайдена оцінка методу моментів  параметра ;  будучи оцінкою методу моментів, має асимптотично нормальний розподіл (ця властивість оцінки  випливає також і з центральної граничної теореми), при цьому  - оцінка, тому що , а дисперсія оцінки , залежить від параметра λ:

Зіставивши вираження для  с вираженням (3.2.24), одержимо

і, відповідно до рівності (3.2.25),

З урахуванням виду функції нерівність (3.2.26)

                     (3.2.27)

Для функції  при х ≥ 0 і у ≥ 0 зворотна функція . Тому, якщо в нерівності (3.2.27)

то, застосувавши до всіх його частинам перетворення  одержимо нерівність

                           (3.2.28)

яке виконується при великих п з імовірністю ≈ 1 - α.

Приклад 3.2.6 Побудуємо довірчий інтервал для р - імовірності успіху в одиничному випробуванні.

У прикладі 3.2.4 методом максимальної правдоподібності для р була знайдена оцінка , де  - випадкове число успіхів у п випробуваннях Бернуллі; р має асимптотичний нормальний розподіл, при цьому М = р, a D= р(1 – р)/п - дисперсія залежить від параметра р.

Зіставивши вираження для D із вираженням (3.2.24), одержимо

і, відповідно до формули (3.2.25),

З обліком виду функції g(p) нерівність (3.2.26) прийме вид:

                   (3.2.29)

Для функції  при 0 <  < 1 зворотна функція , де 0 < у < π. Тому, якщо в нерівності (3.2.29)

 та , то застосувавши до всіх його частинам перетворення одержимо нерівність;

який виконується при великих п з імовірністю ≈ 1 - α.

4. Розподіл Пуассона

Нехай виробляється п незалежних іспитів, у кожнім з який імовірність появи події А дорівнює р. Для визначення імовірності k появ події в цих спитах використовують формулу Бернуллі. Якщо ж п велико, то користаються асимптотичною формулою Лапласа. Однак, ця формула непридатна, якщо мовірність події мала (р≤0,1). У цих випадках (п велико, р мало) прибігають до асимптотичною формулою Пуассона.

Отже, поставимо своєю задачею знайти імовірність того, що при дуже великому числ спитів, у кожнім з який імовірність події дуже мала, подія наступить рівно k раз.

Зробимо важливе допущення: добуток пр зберігає постійне значення, а саме і пр=λ. Як буде випливати з подальшого це означає, що середнє число появ події в різних серіях іспитів, тобто при різних значеннях п, залишається незмінним. Скористаємося формулою Бернуллі для обчислення цікавлячої нас імовірності:

Тому що пр=λ те  Отже,

Прийнявши в увагу, що п має дуже велике значення, замість  знайдемо . При цьому буде знайдене лише наближене значення імовірності, що відшукується: хоча і велико, але звичайно, а при відшуканні межі ми спрямуємо п д о нескінченності. Отже,

Отже (для простоти запису знак наближеної рівності опущений),

Ця формула виражає закон розподілу Пуассона імовірностей масових (п велике) рідких (р мале) подій.

Зауваження. Маються спеціальні таблиці користаючись якими можна з найти Pn(k). знаючи k і λ.

Висновок

У цій курсовій роботі ми розглянули апарат теорії ймовірностей математичної статистики який використовується для аналізу динаміки об’ємів банківських депозитів. Цей апарат використовується у багатьох банківських системах та різних за призначенням галузях країн в тому числі і нашої країни.

Отже, предметом теорії ймовірностей є вивчення імовірнісних закономірностей масових однорідних випадкових подій. Знання закономірностей, яким підкоряються масов випадкові події, дозволяє передбачати, як ці події будуть протікати. Методи теорії ймовірностей широко застосовуються в різних галузях природознавства техніки: у теорії надійності, теорії масового обслуговування, у теоретичній фізиці, геодезії, астрономії, теорії стрілянини, теорії помилок спостережень, теорії автоматичного керування, загальної теорії зв’язку й у багатьох інших теоретичних і прикладних науках. Теорія ймовірностей служить, також для обґрунтування математичної і прикладної статистики, що, у свою чергу, використовується при плануванні й організації виробництва, при аналізу технологічних процесів, попереджувальному і приємному контролі якості продукц та для багатьох інших цілей.

В останні роки методи теорії ймовірностей все ширше і ширше проникають в різн області науки і техніки, сприяючи їх прогресу.

Список літератури

1.    Колемаев В.А. Математическая экономика.- М: ЮНИТИ. 1998.

2.    Замков О.О., Толстопятенко А.В.. Черемніх Ю.Н. Математические методи в экономике.- М.: ДИС. 1997.

3.    Грубер И. Эконометрия.- Киев.: Изд. Астарта. 1996.

4.    Колемаев В.А. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Вісш. шк.. 1991.-400 с. 09. Толбатов Ю.А. Математична статистика та задачі оптимізації в алгоритмах і програмах. - Київ, 1991.

5.    Венцель Е.С.. Овчаров Л.Н. ТВ и ее инженерное приложение. - М.: Наука. 1988.

6.    Розанов Ю.А. Теория вероятностей, случайні процесси математическая статистика. - М.: Наука. 1985. 22. Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Основи моделирования и первичная обработка даних. -М.: Финанси и статистика. 198?.-471 с.

7.    Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Исследование зависимостей. — М.: Финансі и статистика. 1985. -487 с.

8.    Айвазян С.А. и др. Прикладная статистика: Классификация и снижение размерности. - М.: Финансі и статистика. 1989. - 607 с.

9.    Малахин В.И. Математическое моделирование экономики.-М.. 1998.

10. Красе М.С. Математика для экономических специальностей.- М.: ИНФРА-М. 1999.

11. Ляшенко И.Н.. Ляшенко Е.И. Математика для экономистов.- Донецк. 1998.

12. Сакович В.А. Исследование операций (детерминированніе методі и - модели) Справочное пособие.-Мн.: Віш.шк.. 1984.-254 с.

13. Зайченко Ю.П. Исследование операций.-К: Виша.шк.. 1988.

14. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципі, методология.-М.: Наука, 1980-208 с.