Быстрый поиск

Курсовая работа: Види розподілу ймовірностей й оцінка його параметрів

Зміст

Вступ

1. Види розподілу ймовірностей

1.1 Біноміальний розподіл

1.2 Розподіл Х²

1.3 Розподіл Стьюдента

1.4 Розподіл F Фишера-Снедекора

2. Емпірична функція розподілу

3. Точечні та нтервальні оцінки параметрів розподілу

3.1 Точечна оцінка параметрів розподілу

3.2 Поняття нтервальної оцінки. Інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу

4. Розподіл Пуассона

Висновок

Список літератури

Вступ

Предмет теорії ймовірностей. Події, що спостерігаються нами, (явища) можна підрозділити на наступні три види: достовірні, неможлив випадкові.

Достовірним називають подія, що обов'язково відбудеться, якщо буде здійснена визначена сукупність умов S.

Наприклад, якщо в судині міститься вода при нормальному атмосферному тиску і температурі 20º, то подія "вода в судині знаходиться в рідкому стані" є достовірне. У цьому прикладі задані атмосферний тиск і температура води складають сукупність умов S.

Неможливим називають подія, що свідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов S.

Наприклад, подія "вода в судині знаходиться у твердому стані свідомо не відбудеться, якщо буде здійснена сукупність умов попереднього приклада.

Випадковим називають подію, що при здійсненні сукупності умов S може або відбутися, або не відбутися.

Наприклад, якщо кинута монета, то вона може упасти так, що зверху буде або герб, або напис. Тому подія "при киданні монети випав герб" - випадкове.

Кожна випадкова подія, зокрема - випадання герба, є наслідок дії дуже багатьох випадкових причин (у нашому прикладі: сила, з яким кинута монета, форма монети багато хто інші). Неможливо врахувати вплив на результат усіх цих причин, оскільки число їхній дуже велике і закони їхньої дії невідомі. Тому теорія ймовірностей не ставить перед собою задачу пророчити, відбудеться одинична подія чи ні, - вона просто не в силах це зробити.

По-іншому обстоїть справа, якщо розглядаються випадкові події, щ о можуть багаторазово спостерігатися при здійсненні тих самих умов S, тобто якщо мова йде про масові однорідні випадкові події. Виявляється, що досить велике число однорідних випадкових подій, незалежно від їхньої конкретної природи, підкоряється визначеним закономірностям, а саме - вероятнісним закономірностям. Установленням цих закономірностей і займається теорія ймовірностей

Коротка сторична довідка. Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й ін. у XVI–XVII ст.).

Наступний етап розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з ім'ям Якова Бернуллі (1654–1705). Доведена ним теорема, що одержала згод ом назву "Закону великих чисел", була першим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів.

Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласові, Гауссу, Пуассонові та ін.

Новий, найбільш плідний, період зв'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821–1894) і його учнів А.А. Маркова (1856–1922) і А.М. Ляпунова (1857–1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою, її наступний розвиток зобов'язаний, у першу чергу, російським і радянським математикам (С.Н. Бернштейн, В.І. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хінчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов і ін.). В даний час ведуча роль у створенні нових галузей теорії ймовірностей також належить радянським математикам.



1. Види розподілу ймовірностей

1.1 Біномінальний розподіл

Нехай виробляється п незалежних іспитів, у кожнім з який подія А може з'явитися, або не з'явитися. Імовірність настання події у всіх іспитах постійна дорівнює р (отже, імовірність непояви q=l-p). Розглянемо в якост дискретної випадкової величини X число появ події А в цих іспитах.

Поставимо перед собою задачу: знайти закон розподілу величини X. Для її рішення потрібно визначити можливі значення X і їхньої імовірності.

Очевидно, подія А у п іспитах може або не з'явитися, або з'явитися 1 раз, або 2 рази,..., або п раз. Таким чином, можливі значення X такі:

Залишається знайти імовірності цих можливих значенні, для чого досить скористатися формулою Бернуллі:

(1.1)

де =0, 1, 2,..., п.

Формула (1.1) і є аналітичним вираженням шуканого закону розподілу. Біномінальним називають розподіл ймовірностей, обумовлений формулою Бернуллі.

Закон названий "біномінальним" тому, що праву частину рівності (1.1) можна розглядати як загальний член розкладання бінома Ньютона

(1.2)

Таким чином, перший член розкладання визначає імовірність настання розглянутої події п раз у п незалежних, іспитах; другий член визнача мовірність настання події п-1 раз;...; останній член визначає імовірність того, що подія не з'явиться жодного разу. Напишемо біномінальний закон у вид таблиці:

Приклад:

Монета кинута 2 рази. Написати у виді таблиці закон розподілу випадкової величини X - числа випадань герба.

Рішення:

Імовірність появи герба в кожнім киданні монети отже, імовірність не появи герба:

При двох киданнях монети герб може з'явитися або 2 рази, або 1 раз, або зо всім не з'явитися. Таким чином, можливі значення X такі:

Знайдемо мовірності цих можливих значенні по формулі Бернуллі:

Напишемо шуканий закон розподілу:

Контроль:

1.2 Розподіл Х²

Нехай (і=1,2,...,п)- нормальні незалежні випадкові величини, причому математичне чекання кожної з них дорівнює нулю, а середнє квадратичне відхилення - одиниці. Тоді сума квадратів цих величин

розподілена за законом Х² ("хи квадрат") з k=n ступенями волі; якщо ж ці величини зв'язані одним лінійним співвідношенням, наприклад , те число ступенів волі k=n-l. Диференціальна функція цього розподілу

Де - гамма-функція; зокрема

Звідси видно, що розподіл "хи квадрат" визначається одним параметром - числом ступенів волі k. Зі збільшенням числа ступенів волі розподіл повільний наближається до нормального.

1.3 Розподіл Стьюдента

Нехай Z - нормальна випадкова величина, причому M(Z)=0, cy(Z) - 1, а V - незалежна від Z величина, що розподілена за законом /2 з k ступенями волі.

Тод величина

ма розподіл, що називають t-розподілом, чи розподілом Стьюдента (псевдонім англійського статистика В. Госсета) з k ступенями волі.

Отже, відношення нормованої нормальної величини до квадратного кореня з незалежно випадкової величини, розподіленої за законом "хи квадрат" з k ступенями волі, діленої на k, розподілено за законом Стьюдента з k ступенями волі.

З зростанням числа ступенів волі розподіл Стьюдента швидко наближається до нормального. Додаткові зведення про цей розподіл приведені далі

1.4 Розподіл F Фішера-Снедекора

Якщо U і V незалежн випадкові величини, розподілені за законом х2 зі ступенями волі і , те величина

ма розподіл, що називають розподілом F Фішера-Снедекора зі ступенями волі і (іноді його позначають через V²). Диференціальна функція

Ми бачимо, що розподіл F визначається двома параметрами - числами ступенів волі.

2. Емпірична функція розподілу

Нехай відомо статистичний розподіл частот кількісної ознаки X. Введемо значення п х — число спостережень, менше х; п загальне число спостережень (об’єм вибірки). Ясно, що відносна частота події X <1 дорівнює n(x)/п. Якщо х змінюється, то, взагал говорячи, змінюється і відносна частота, тобто відносна частота пх /п є функція від х. Тому що ця функція знаходиться емпіричним (досвідченим) шляхом, то її називають емпіричною.

Емпіричною функцією розподілу (функцією розподілу вибірки) називають функцію F*(x), що визначає для кожного значення х відносну частоту випадку X < х. '

Отже, по визначенню:

F(x)=nx/n

Де nx-число варіант, менших х; п — об'єм вибірки. Таким чином, для того щоб знайти, наприклад, F*(xi), потрібно число варіант, менших хг, розділити на об’єм вибірки: F*(x2) = nx2/n.

На відміну від емпіричної функції розподілу вибірки функцію розподілу F (х) генеральної сукупності називають теоретичною функцією розподілу. Різниця між емпіричної і теоретичної функціями полягає в тому, що теоретична функція F (х) визначає імовірність події X < х, а емпірична функція F* (х) визначає відносну частоту події. З теореми Бернуллі випливає, що відносна частота події X < х, тобто F* (х) прагне по імовірності до імовірності F (х) цієї події. Іншими словами, при великих п числа F* (х) і F (х) мало відрізняються одне від іншого в тому змісті, що lim n-¥Р [ | F (х)- F* (х) | < е] = 1 (е > 0). Уже звідси випливає доцільність використання емпіричної функції розподілу вибірки для наближеного представлення теоретичної (інтегральної) функції розподілу генеральної сукупності.

Такий висновок підтверджується і тим, що F*(x) наділене усіма властивостями F (х). Дійсно, з визначення функції F* (х) випливають наступні її властивості: 1) значення емпіричної функції належать відрізку [О, 1];

2) F*(x) — функція, що не спадає;

3) якщо Xi — найменша варіанта, то F*(x) = Q при xx1; якщо xk—найбільша варіанта, то F* (х) = 1 при x> xk.

Отже, емпірична функція розподілу вибірки служить для оцінки теоретичної функції розподілу генеральної сукупності.

Приклад.

Побудувати емпіричну функцію по даному розподілу вибірки:

варіанти xi 2 6 10

частоти ni 12 18 30

Розв’язок. Знайдемо обсяг вибірки: 12 + 18 + 30 = 60. Найменша варіанта дорівнює 2, отже,

F*(x) = О при x2. І

Значення X < 6, а саме x1 = 2, спостерігалося 12 разів, отже,

:F*(x) = 12/60 = 0,2 при

2<x6. I

значення x<10, а саме x1 = 2 і х2 = 6, спостерігалися 12 + 18 = 30 разів, отже,

F* (х) = 30/60 = 0,5 при 6 < х 10. Тому що x=10 найбільша варіанта, то | F*(x)=1 при х > 10. Шукана емпірична функція

Графік цієї функції зображений на малюнку.

3. Точечні та інтервальні оцінки параметрів розподілу

3.1 Точечна оцінка параметрів розподілу

Є два підходи до оцінювання невідомих параметрів розподілів по спостереженнях: точечний і інтервальний. Точечний вказує лише точку, біля яко знаходиться оцінюваний параметр; при інтервальному знаходять інтервал, що з деякою великою ймовірністю, що задається дослідником, накриває невідоме числове значення параметра. У главі розглядаються методи точечного оцінювання параметрів; будуються інтервальні оцінки параметрів нормального розподілу, обговорюється загальний підхід до інтервального оцінювання параметрів розподілу, відмінних від нормального.

3.1.1 Метод моментів

Метод моментів є одним із методів точечного оцінювання параметрів розподілу.

Нехай закон розподілу випадкової величини X відомий із точністю до числових значень його параметрів 1,2,…,k. Це означає, що відомий вид функції щільності fx(х, ), де = (1,2,…,k), якщо X безперервна (відомий вид функції ймовірності Р (X= х,), якщо X дискретна), але числові значення k параметрів не відомі. Знайдемо оцінку = (1,2,…,k) параметра 0, розташовуючи вибіркою: х1, х2..., хп.

Допустимо, що існує k початкових моментів, кожний із який можна висловити через (без обмеження спільності можна розглядати тільки початкові моменти, тому що центральн моменти є функціями початкових). Нехай такими моментами будуть перший, другий,..., k-й: v1,v2,…,vk (що зовсім не обов'язково). Висловимо кожний із них через :

(3.1)

Помітимо, що в системі

(3.2)

число рівнянь повинно бути рівним числу k оцінюваних параметрів. Знайдемо рішення системи (3.2). Висловивши кожний параметр q через v1,v2,…,vk, одержимо:

(3.3)

Властивість змістовності вибіркових початкових моментів підставою для заміни в рівняннях (3.3) теоретичних моментів v1,v2,…,vk на обчислені при великому п вибіркові моменти v1,v2,…,vk.

Оцінками методу моментів параметрів 1,2,…,k називаються оцінки

(3.4)

Питання про те, які початкові моменти включати в систему (3.2), варто вирішувати, керуючись конкретними цілями дослідження і порівняльно простоти форм залежностей моментів від параметрів. У статистичній практиц справа рідко доходить навіть до четвертих моментів.

Страницы: 1, 2, 3, 4