Курсовая работа: Клеточные пространства

3.4 Доказательство леммы о свободной точке

Для человека, не испорченного популярной математической литературой, сама формулировка леммы показалась бы нелепой: как же непрерывный образ пространства меньшей размерности может покрыть пространство большей размерности? Но кто же не знает, что это бывает: кривая Пеано, распропагандированная ничуть не меньше, чем, скажем, бутылка Клейна, осуществляет непрерывное (и даже взаимно однозначное) отображение отрезка на квадрат. Поэтому лемму приходится доказывать, и дело осложняется тем, что геометрическая интуиция помочь тут не может, она упорно твердит свое: такое вообще невозможно. С подобными трудностями сталкиваются всякий раз, когда "строгое" определение того или иного понятия (в данном случае --определение непрерывности) не вполне соответствует исходному интуитивному представлению: приходится вникать в устройство не реального объекта, а химеры. Но ничего не поделаешь - доказать лемму надо.

В основе второго доказательства леммы лежит понятие триангуляции. Напомним, что q-мерный евклидов симплекс есть подмножество пространства R, n ≤ q, являющееся выпуклой оболочкой q + 1 точек, не лежащих в одной (q - 1) - мерной плоскости. (Евклидовы симплексы размерностей 0, 1, 2, 3: точка, отрезок, треугольник, тетраэдр.) Эти q+ 1 точек называются вершинами симплекса. Подсимплексы, т.е. выпуклые оболочки различных подмножеств множества вершин, называются гранями нашего симплекса; это - симплексы размерности ≤q. Нульмерная грань - это вершина. Замечательное свойство симплекса заключается в том, что его линейное отображение в любое пространство Rm определяется своими значениями на вершинах, причем эти значения могут быть совершенно произвольны. Конечная триангуляция подмножества евклидова пространства - это такое его конечное покрытие евклидовыми симплексами, что любые два симплекса либо не пересекаются вовсе, либо пересекаются по целой грани. Удобно считать, что грани симплексов триангуляции также принадлежат к числу симплексов триангуляции.

Барицентрическое подразделение q-мерного симплекса состоит в том, что этот симплекс разбивается на (q + 1) ! более мелких q-мерных симплексов. Вершины новых симплексов - это центры тяжести граней старого симплекса (в том числе - его самого). Множество {х0, х,..., xq) этих центров является множеством вершин некоторого симплекса барицентрического подразделения, если соответствующие грани 0, ,..., q можно составить в цепочку последовательно вложенных друг в друга, см. рис.7. (По-другому барицентрическое подразделение q-мерного симплекса  можно описать так: сначала подвергаются барицентрическому подразделению все его (q - 1) - мерные грани, а потом над всеми построенными симплексами, лежащими на границе симплекса , строятся конусы с вершиной в центре этого симплекса; начать это индуктивное определение можно с q = 0: с нульмерным симплексом при барицентрическом подразделении ничего не происходит. Еще по-другому: симплекс  - его совокупность точек вида , где  - вершины, t≥ 0 и t = 1; симплексы барицентрического подразделения отвечают перестановкам (i0, i,..., iq) чисел 0, 1,..., q; симплекс, отвечающий этой перестановке, состоит из точек

t с .

Барицентрическое подразделение триангуляции - это триангуляция, составленная из симплексов барицентрических подразделений симплексов исходной триангуляции (рис.8).

Обратимся теперь к нашему отображению . Прежде всего мы построим в шарике d = dq концентрические шарики d, d2, d3, d радиусов /5, 2/5, З/5,4/5, где -радиус шарика d. Далее, покроем V конечным числом р-мерных симплексов, содержащихся в U, и триангулируем объединение К этих симплексов (объединение конечного числа как угодно пересекающихся евклидовых симплексов в Rp обладает конечной триангуляцией). Применив к этой триангуляции достаточное число

Рис.7                                                                            Рис.8

раз барицентрическое подразделение, мы можем добиться того, чтобы для любого симплекса  триангуляции выполнялось неравенство diam () < /5. Пусть K1 - объединение симплексов построенной триангуляции нашего множества К,-образы которых пересекаются с d4. Тогда d4 < (U)  (K1) d. Рассмотрим отображение ': К1  d, совпадающее с  на вершинах триангуляции и линейное на каждом симплексе. Отображения │K и ’ гомотопны - они соединяются прямолинейной гомотопией t: K1d, 0=│K, 1 = ’. Теперь "сошьем" отображения  и ’ в отображение : UIntDq:

 (u), если  (u) d3, (u) = ’ (u), если  (u) d2,3-5 (u) (u), если  (u) d3-d2.

Здесь  (u) - расстояние от точки  (u) до центра шара d. (См. рис.9)

Рис.9

Отображение  непрерывно, совпадает с  на U - V и его образ пересекается с d1 по конечному числу кусков р-мерных плоскостей, т.е. всего шара d1 (а значит, и всего шара d) не покрывает.

Лемма доказана.

3.5 Первые применения теоремы о клеточной аппроксимации

Теорема. Если X - клеточное пространство с единственной вершиной (= нульмерной клеткой), не имеющее других клеток размерности <q, a Y - клеточное пространство размерности <q, то всякое отображение YX гомотопно отображению, переводящему все Y в точку. Такое же утверждение справедливо в категории пространств с отмеченными точками (в клеточной ситуации удобно считать, что отмеченными точками являются нульмерные клетки).

Это прямо следует из теоремы о клеточной аппроксимации: если f: Y  X - клеточное отображение, то так как q-й остов пространства Y есть все Y, а q-й остов пространства X есть точка, то f (Y) - точка.

В частности, если m < q, то  (Sm, Sq) = b (Sm, Sq) = 0 (т.е. состоит из одного элемента).

Оп ределение. Пространство X называется n-связным, если при q ≤ n множество  (Sq, X) состоит из одного элемента (т.е. если любые два отображения Sq  X с q ≤ n гомотопны).

Теорема. Всякое п-связное клеточное пространство гомотопически эквивалентно клеточному пространству с единственной вершиной и без клеток размерностей 1, 2,..., n.

Доказательство. Выберем в нашем пространстве X вершину е0 и соединим с ней остальные вершины путями. Это можно сделать, так как пространство n-связно и, в частности, линейно связно. (Пути могут пересекаться) Используя теорему о клеточной аппроксимации, мы можем добиться того, чтобы эти пути лежали в одномерном остове пространства X. Пусть si - путь, соединяющий вершину е0 с вершиной еi. Приклеим при каждом i к X двумерный диск по отображению нижней полуокружности в X при помощи пути si (рис.10).

Рис.10

Получим новое клеточное пространство X, которое будет содержать X и, кроме того, клетки е, е (верхние полуокружности и внутренности приклеенных писков). То, что границы клеток е лежат в одномерном остове, вытекает из того, что этим свойством обладают пути si. Ясно, что X есть деформационный ретракт в : каждый Фприклеенный диск можно смять на нижнюю полуокружность.

Обозначим через Y объединение замыканий клеток еi1. Очевидно, Y стягиваемо; следовательно,  /Y ~ ~ X. Но у /Y всего одна вершина.

Дальнейшее рассуждение совершенно аналогично. Предположим, что X ~ X’, причем X' имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,..., k - 1, где k≤n. В этом случае замыкание каждой k-мерной клетки представ ляет собой k-мерную сферу. Ввиду n-связности X (и, следовательно, X’) включение этой сферы в X' продолжается до непрерывного отображения (k + 1) - мерного шара, образ которого, ввиду теоремы о клеточной аппроксимации, можно считать лежащим в (k + 1) - м остове пространства X'. По этому отображению (которое мы считаем отображением нижней полусферы (k + 1) - мерной сферы) мы приклеиваем к X'. шар Dk+2, и подобным образом мы поступаем для каждой k-мерной клетки пространства X’. Полученное клеточное пространство ’ гомотопически эквивалентно X’ и содержит стягиваемое подпространство Y - объединение замыканий всех вновь приклеенных (k + 1) - мерных клеток (верхних полусфер приклеенных шаров), содержащее все k-мерные клетки. Имеем: /Y ~ ’ ~ X’ ~ X, ’ /Y имеет единственную вершину и не имеет клеток размерностей 1,2,...,k.

Следствие. Если клеточное пространство X п-связно, а клеточное пространство Y n-мерно, то множество  (Y, X) состоит из одного элемента. Это же верно для b (Y, X), если X и Y имеют отмеченные точки, являющиеся вершинами.

Замечание. Использованная в доказательстве последней теоремы процедура уничтожения k-мерных клеток предполагает присоединение клеток размерности k + 2. В случае, если заданное n-связное пространство было (n + 1) - мерно, это могло привести к увеличению размерности. В действительности можно доказать, что всякое n-связное клеточное пространство размерности n + 1 гомотопически эквивалентно букету (n + 1) - мерных сфер.

Последняя теорема имеет относительный вариант, для формулировки которого необходимо понятие n-связной пары. Топологическая пара (X, А) называется n-связной, если всякое отображение (Dn, Sn-1)  (X, А) гомотопно (как отображение пар) отображению, загоняющему все Dn в А.

Заключение

В данной курсовой работе был собран и обобщен материал, касающийся вопросов, связанных с важнейшей комбинаторной структурой топологии - клеточной структурой.

Цель курсовой работы - изучение основных понятий клеточной структуры топологии, выяснение ее значимости - была достигнута.

Для достижения цели была проработана литература, рассмотрены определение клеточного пространства, клеточные разбиения классических пространств, а также некоторые теоремы о клеточных пространствах.

Результаты проделанной работы могут быть использованы студентами физико-математических факультетов при изучении разделов топологии, а также для анализа и систематизации курсов математического анализа, дифференциальных уравнений, дифференциальной геометрии и других дисциплин.

Список использованных источников

1.         Болтянский В.Г., Ефремович В.А. Наглядная топология. - М.: Наука, 1983. - 160 с.

2.         Борисович, Ю.Г. Введение в топологию: Учеб. пособие для вузов / Ю.Г. Борисович, Н.М. Близняков, Я.А. Израилевич, Т. Н Фоменко - М.: Высш. школа, 1980. - 295 с.

3.         Гарднер, М. Математические досуги / М. Гарднер − М.: Мир, 1972. − 496 с.

4.         Зейферт Г., Трельфалль В. Топология. - М. - Л.: ГОНТИ, 1938. - 400 с.

5.         Куратовский, К. Топология: В 2 т. / К. Куратовский − М.: Мир, 1966, т. I, − 594 с; 1969, т.П. − 624 с.

6.         Рохлин, В.В., Фукс Д.Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы / В.В. Рохлин, Д.Б. Фукс − М.: Наука, 1977. − 488 с.

7.         Спеньер, Э. Алгебраическая топология / Э. Спеньер; перевод с англ. Б.М. Пранова; под ред.А.М. Виноградова - М.: Мир, 1971 - 680с.

8.         Стинрод, Н. Чинн У. Первые понятия топологии / Н. Стинрод, У. Чинн − М.: Мир, 1967. − 224 с.

9.         Фоменко, А.Т., Фукс, Д.Б. Курс гомотопической топологии: учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. Физ. - мат. Лит., 1989. - 528 с.