Курсовая работа: Клеточные пространства
(мы считаем,
что Ra 
R
при a < b: 
).
Приведем другое, более простое описание множества e (
). Напомним, что диаграмма
Юнга набора 
- это фигура, которая
рисуется на клетчатой бумаге, как показано на рис.4а (столбцы имеют длины 
).
Число клеток
диаграммы Юнга равно 
. Можно считать,
что клетки пространства G (n,k) отвечают диаграммам Юнга, вмещающимся в прямоугольник k
(n
- k) (рис.4а). Рассмотрим диаграмму Юнга набора
и расположим ее, как
показано на рис.4б. Толстая линия на этом рисунке представляет собой график
некоторой неубывающей функции
, и
множество e (
)
задается условием dim (
R
) = 
(m).
Ввиду наличия такого простого описания, множество e (
) обозначают иногда через е
(
), где 
- обозначение для
диаграммы Юнга набора (
). Еще раз
заметим, что размерность клетки е (
) равна
числу клеток диаграммы
.
Лемма.
Множество e (
)
гомеоморфно R
.
Доказательство.
Расчленим диаграмму Юнга набора (
), как
показано на рис.4в. Поставим в клетках вдоль косых линий единицы, в Заштрихованные
клетки - произвольные числа и в остальные места - нули. Получится k
n-матрица, строки
которой составляют базис некоторого k-мерного
подпространства пространства R
.
Легко понять, что это подпространство принадлежит e (
) и что всякое
подпространство, принадлежащее e (
), обладает единственным
базисом указанного вида. Получаем параметризацию клетки e
(
) наборами из 
чисел (числа в
заштрихованных клетках).
Рис.4
На самом
деле верно больше: множества e (
) составляют клеточное
разбиение пространства G (n, k). Для доказательства нужно построить характеристические
отображения, т.е. продолжить построенные гомеоморфизмы Int
R
e
(
) до непрерывных отображений
G (n, k),
отображающих сферу 
в объединение
клеток меньших размерностей.
Замечательное
свойство шубертовских клеток состоит в том, что при естественных вложениях G (n, k) в G (n+1, k) ив
G (n+1, k+1)
клетка e (
)
гомеоморфно накладывается на клетку того же наименования. Следовательно,
пространство G (
,k) разбивается на клетки Шуберта, отвечающие диаграммам Юнга,
содержащимся в горизонтальной полуполосе высоты k, а
пространство G (
,
) разбивается на клетки,
отвечающие всем без исключения диаграммам Юнга. Во всех случаях размерности клеток
равны числам клеток диаграмм Юнга.
Комплексные и кватернионные аналоги шубертовских клеток очевидны; разумеется, размерности комплексных и кватернионных аналогов клеток Шуберта соответственно в 2 и 4 раза превосходят числа клеток соответствующих диаграмм Юнга.
2.4 Многообразия флагов
Многообразия флагов имеют естественное клеточное разбиение, обобщающее шубертовское разбиение многообразий Грассмана. Это разбиение и его клетки также называются шубертовскими. Опишем разбиение в вещественном случае (комплексный и кватернионный случаи отличаются только удвоением и учетверением размерностей клеток).
Шубертовские
клетки многообразия флагов характеризуются наборами размерностей 
пересечений V
R
. Числа 
, однако, должны
удовлетворять набору довольно неудобных условий, и мы предпочтем следующее,
более рациональное описание клеток Шуберта.
Клетки
пространства F (n; 
) отвечают наборам 
целых чисел, принимающих
значения 1,…, s + 1, причем ровно 
из этих
чисел равны j (j=1,…, s+1; мы
считаем, что k
=0
и k
=n). Клетка е [
],
отвечающая набору (
),
состоит из флагов V
V
, у которых
dim
{
(мы считаем,
что V
=0 и V
есть все пространство R
) или, иначе,
dim (V
R 
)
= card {р ≤ i│kp ≤ j }.
Размерность
клетки е [
] равна числу пар
(i, j), для которых i<j, 
>
.
В частности, многообразие F (n; 1,…,n-1) полных флагов разбито на n! клеток, отвечающих обыкновенным перестановкам чисел 1,…, n, причем размерность клетки равна числу инверсий в перестановке.
Если многообразие
флагов есть многообразие Грассмана G (n,
k), то s = 1 и набор 
состоит из k единиц и n-k
двоек. Построим по этому набору n-звенную ломаную на
плоскости, начинающуюся в точке (0, k) и кончающуюся в
точке (n-k, 0). Все звенья
ломаной имеют длину 1, причем i-e
звено направлено вниз, если 
= 1, и
вправо, если 
= 2. Эта ломаная
ограничивает (вместе с координатными осями) некоторую диаграмму Юнга 
, и легко понять, что е [
] = е (
).
Заметим в
заключение, что клетки е [
] (и их
комплексные и кватернионные аналоги) могут быть описаны чисто групповым
образом: это - орбиты группы нижних треугольных n
n-матриц с единицами
на диагонали, естественным образом действующей в многообразии флагов. Именно,
клетка е [
] есть орбита
флага, i-е пространство которого порождено
координатными векторами, номера р которых удовлетворяют неравенству 
< i.
2.5 Классические поверхности
Клеточные разбиения поверхностей S2 и RP2 нами уже построены. Клеточные разбиения остальных поверхностей без края автоматически получаются при склеивании этих поверхностей из многоугольников: двумерная клетка получается из
внутренности многоугольника, одномерные клетки - из его (открытых) ребер, нульмерные клетки - из его вершин. Каноническое клеточное разбиение каждой классической поверхности имеет одну двумерную и одну нульмерную клетку. Кроме того, сфера с g ручками имеет 2g одномерных клеток (см. рис.5), проективная плоскость с g ручками имеет 2g +1одномерную клетку и бутылка Клейна с g ручками имеет 2g +2 одномерных клеток.
Рис.5
3. Гомотопические свойства клеточных пространств
3.1 Теорема Борсука о продолжении гомотопий
Определение.
Пара (X, А) называется парой Борсука (или корасслоением), если для любого
пространства Y и любого непрерывного отображения F: Х
Y
всякая гомотопия ft: А
Y,
такая, что f 
= F│
А, может быть продолжена до гомотопий Ft:
Х
Y,
у которой F0 = F.
Теорема Борсука. Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то (X, А) - пара Борсука.
Доказательство.
Нам даны отображения Ф: А 
I 
Y (гомотопия ft) и F: X
0 
Y,
причем F │
= Ф│
. Продолжить гомотопию ft до гомотопий Ft - это значит продолжить отображение F до отображения F’: X
I 
Y,
такого, что F’ │
=
Ф. (Продолжение мы произведем индуктивно по размерности клеток пространства X,
не входящих в А. Начальным шагом индукции служит продолжение отображения Ф на (A
X
) 
I:
F’ (x, t) ={
Допустим
теперь, что отображение F' уже определено на (A 
X
) 
I. Возьмем произвольную
(n+ 1) - мерную клетку e
Х
- A. По предположению, F'
задано на множестве (
) 
I, так как граница 
=
клетки 
содержится в X
по определению клеточного
пространства. Пусть f: D
X - характеристическое
отображение, соответствующее клетке 
.
Нам надо продолжить F' на внутренность
"цилиндра" f (D
)
I с
его "стенки" f (S
) 
I и
"дна" f (D
) 
0. Но из определения
клеточного пространства ясно, что это все равно, что продолжить отображение 
F’
f:
(S
I) 
(D
0) 
Y до непрерывного отображения 
':
D
I 
Y.
Пусть 
: D
I 
(S
I) 
(D
0) - проектирование
цилиндра D
I
из точки, лежащей вне цилиндра вблизи верхнего основания D
I
(см. Рис.6); это отображение тождественно на (S
I) 
(D
0). Отображение 
' мы определяем как
композицию
D
I
(S
I) 
(D
0) 
Y.
