Курсовая работа: Клеточные пространства
Эту
процедуру можно проделать независимо для всех (n + 1) -
мерных клеток пространства X, и мы получаем продолжение отображения F' на (A 
X
) 
I.
Рис.6
Так, остов
за остовом, мы строим желаемое продолжение отображения Ф до отображения F: X
I
Y.
Подчеркнем, что если пространство X бесконечномерно, то наше индуктивное
построение будет состоять из бесконечного числа шагов; в этом случае непрерывность
окончательного отображения будет следовать из аксиомы (W).
Теорема доказана.
3.2 Следствия из теоремы Борсука
Следствие 1. Пусть X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство. Если А стягиваемо по себе в точку, то X/А ~ X.
Доказательство.
Обозначим через 
проектирование X
Х/А. Так как А стягиваемо,
то существует гомотопия ft: А
А, такая, что отображение f0: А 
А
тождественно и f
(A) есть точка. В силу теоремы Борсука, существует гомотопия Ft: Х
Х,
такая, что F0 = id
и Ft│A =ft. B частности F
(A) =* (точка). Это означает, что можно рассматривать как
отображение, заданное на Х/А, точнее, что F
=
q 
p, где q: Х/А 
X - некоторое непрерывное отображение.
По построению, F
~F0, т.е. q 
p ~ id
.
Далее, Ft (А) 
А (при
любом t), т.е. р 
Ft (А) = *. Следовательно, р
Ft
= = qt 
р, где qt:
Х/А 
Х/А - некоторая гомотопия.
При этом q
=
id
иq
= р
q;
следовательно, р 
q
~ id
.
Следствие доказано.
Следствие 2.
Если X - клеточное пространство и А - его клеточное подпространство, то Х/А ~ X
СА, где СА - конус над А.
Доказательство.
Х/А = (X 
СА) /СА ~Х 
СА; последнее вытекает из
предыдущего следствия, примененного к клеточному пространству X 
СА и его стягиваемому
клеточному подпространству СА.
Замечание.
Оба доказанных предложения можно рассматривать не как следствия из теоремы
Борсука, а как самостоятельные теоремы, только предположения о клеточности X и
А нужно тогда заменить в первом случае предположением, что (X, А) - пара
Борсука, а во втором случае - предположением, что (X 
СА, СА) - пара Борсука.
3.3 Теорема о клеточной аппроксимации
Теорема. Всякое непрерывное отображение одного клеточного пространства в другое гомотопно клеточному отображению.
Мы будем доказывать следующее, более сильное утверждение ("относительный вариант" нашей теоремы).
Теорема.
Пусть f - непрерывное отображение клеточного
пространства X в клеточное пространство Y, причем на
клеточном подпространстве А пространства X отображение f
клеточно. Тогда существует такое клеточное отображение g:
X
Y, что g│A =f│A и, более того, f~g relA.
Поясним
запись f~g relA (читается: f гомотопно g относительно А), которой мы будем пользоваться и дальше.
Она применяется в ситуации, когда непрерывные отображения f,
g: X 
Y совпадают на подпространстве А пространства X и означает,
что существует гомотопия h
:
Х
Y,
соединяющая f с g и неподвижная
на А, т.е. такая, что ht (а) не зависит от t при а 
А.
Конечно, из f~ g relА следует, что f
~ g, но не наоборот. Пример: f,g: I
S
, f
- "наворачивание" отрезка на окружность, g -
отображение в точку; эти отображения гомотопны, но не гомотопны rel (0
1).
Доказательство
теоремы. Предположим, что отображение f уже сделано
клеточным не только на всех клетках из А, но и на всех клетках из X, имеющих
размерность < р. Возьмем р-мерную клетку ер 
X - А. Ее образ f (ep) пересекается лишь с
конечным числом клеток пространства Y (это следует из
компактности f (
p)). Выберем среди этих клеток пространства Y клетку наибольшей размерности, скажем, 
,
dim
= q.
Если q≤ р, то нам с клеткой ер делать
нечего. В случае же q >р нам потребуется следующая
лемма.
Лемма о
свободной точке. Пусть U - открытое подмножество
пространства Rp и 
: U
IntDq
- такое непрерывное отображение, что множество V = 
(dq) 
U, где dq - некоторый
замкнутый шарик в IntD
,
компактно. Если q> р, то существует непрерывное
отображение 
: U
Int Dq,
совпадающее с 
вне
V и такое, что его образ не покрывает всего шара dq.
Доказательство
этой леммы (и обсуждение ее геометрического значения) мы отложим до следующего
пункта; ограничимся лишь важным замечанием, что отображение 
автоматически будет
гомотопным 
относительно U - V: достаточно взять связывающую 
с 
"прямолинейную"
гомотопию, при которой точка 
(u) равномерно движется к 
(u) точке по прямолинейному отрезку, соединяющему 
(u)
с 
(u).
Завершим
доказательство теоремы. Из леммы о свободной точке вытекает, что сужение f│ 
гомотопно
rel (A
X
) отображению f’: A 
X
е р 
Y,
такому, что f’ (ep)
задевает те же клетки, что и f (e р), но заведомо f’ (ep) не содержит всю клетку 
. В самом деле, пусть h: Dp 
Х, k:
Dp 
Y -
характеристические отображения, соответствующие клеткам ер, 
. Положим U=
h (f
(
) 
ер) и определим
отображение 
: U
Int Dq
как композицию:
u
x 
y 
= 
(u)
U e
f
(
) 
Int Dq Обозначим через dq (замкнутый) концентрический подшар шара Dq. Множество V= 
(dq) компактно (как замкнутое подмножество шара Dp). Пусть 
:
U 
IntDq - отображение, доставляемое леммой о
свободной точке. Отображение f' определим как совпадающее с f вне h (U) и как композицию
x 
u 
y = f’ (x)
h (U) U Int Dq 
Y
на h (U). Ясно, что отображение f
непрерывно (оно совпадает с f на "буферном
множестве" h (U - V)) и
гомотопно f│
rel
(A
X
), и даже rel (A
X
(e
-h
(V)))) (это вытекает из гомотопности 
~ 
rel
(U - V)). Ясно также, что f' (ep) не покрывает eq.
Дальнейшее
рассуждение совсем просто. Во-первых, неподвижную на A 
Х
гомотопию между f│
и f' мы можем распространить, по теореме Борсука, на все X, и
это позволяет считать, что отображение f', обладающее всеми вышеперечисленными
свойствами, определено на всем X. После этого мы берем точку у0 
,
не принадлежащую f’ (ер), и подвергаем f'│
"радиальной
гомотопии": если точка x
ep
не принадлежит f’
(
),To f' (x) стоит
на месте, а если f' (x) 
,
то f’ (x) движется по отрезку,
идущему из точки у0 на границу клетки 
(точнее
говоря, по k-образу прямолинейного отрезка,
начинающегося в точке k
(у0)
проходящего через точку k
(f’ (x)) 
k
(у0) и
кончающегося на граничной сфере S
шара
Dq). Эту гомотопию мы продолжаем до
гомотопии отображения f'│
(неподвижной вне ер)
и - по теореме Борсука - до гомотопии всего отображения f’:
Х
Y.
Получающееся отображение f’’ гомотопно f ге1 (A
Х
) и обладает тем свойством,
что f’’ (ep)
задевает q-мерных клеток на одну меньше, чем f (е р) (и, как и f (ep), не задевает клеток размерности >q). Применив эту процедуру нужное число раз, мы
прогомотопируем отображение f к отображению, клеточному
на A
Х
ep,
причем гомотопия будет неподвижной на A
Х
.
Теперь
заметим, что "исправление" отображения f,
которое мы проделали для клетки ер, можно дословно так же проделать
одновременно для всех р-мерных клеток из X - А. Тогда мы придем к отображению,
клеточному на A 
Хр и гомотопному
f rel (A
Х
).
Неподвижную
на А гомотопию, связывающую отображение f с клеточным
отображением, мы получим, если проделаем последовательно построенные гомотопии
при р = 0, 1,2,... Правда, число этих гомотопии может быть бесконечно, но это
не беда: р-ю гомотопию мы производим на отрезке 1 - 2
≤t≤
1 - 2
. Непрерывность всей
гомотопии обеспечивается аксиомой (W): для каждой
клетки е из X гомотопия будет неподвижной, начиная с некоторого te < 1. Теорема доказана.
