Курсовая работа: Бипримарные группы
Доказательство
теоремы 1 начинается с изучения частного случая, когда подгруппа 
примарная. Описанию этого
случая, причем без предположения четности порядка подгруппы 
, посвящена
Теорема
Пусть неразрешимая группа 
является
произведением бипримарной подгруппы 
и
примарной подгруппы 
. Тогда, если
среди силовских подгрупп группы 
есть
циклическая, то 
изоморфна одной
из следующих групп:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
;
6)
, где 
--- силовская 3-подгруппа;
7)
, порядок 
равен 
, а 
.
Так
как бипримарные группы разрешимы, то группа 
из
теоремы (7) имеет порядок, делящийся в точности на три различных простых числа.
Такие простые группы к настоящему времени известны лишь в случае, когда они
содержат циклическую силовскую подгруппу. Этим и вызвано требование цикличности
силовской подгруппы в условии теоремы(8), а следовательно, и в условии теоремы(8).
Если
будут известны все простые группы порядка 
,
где 
, 
и 
--- различные простые
числа, то методы доказательства теоремы (5) позволят описать неразрешимые
группы с указанной в теореме (5) факторизацией без предположения цикличности
подгруппы 
.
Используются
следующие обозначения: 
и 
--- симметрическая и
знакопеременная группы степени 
, 
, 
и 
--- циклическая,
элементарная абелева и соответственно диэдральная группы порядка 
. Полупрямое произведение
групп 
и 
с инвариантной подгруппой 
обозначается через 
. Примарной называется
группа, порядок которой есть степень простого числа.
Предварительные леммы
Лемма
Если группа 
является
произведением двух подгрупп 
и 
взаимно простых порядков и
--- субинвариантная в 
подгруппа, то 
.
Доказательство.
Если 
--- инвариантная в 
подгруппа, то 
--- 
-холловская в 
подгруппа, где 
, а 
--- 
-холловская в 
подгруппа(9). Поэтому 
. Если теперь 
--- инвариантная в 
подгруппа, то опять
и т. д.
Лемма
Если группа 
является
произведением примарной подгруппы нечетного порядка и 2-разложимой подгруппы,
то 
разрешима.
Доказательство.
Пусть 
, 
--- 
-группа, 
--- нечетное простое
число, 
--- 2-разложимая группа. В
существует силовская 
-подгруппа 
такая, что 
, где 
--- некоторая силовская 
-подгруппа из 
(7). Так как 
разрешима, то 
, где 
--- 
-холловская подгруппа из 
. Но теперь 
. По лемме Бернсайда (5)группа
непроста. Инвариантная
подгруппа 
в 
по лемме факторизуема, т.
е. 
, поэтому 
разрешима по индукции.
Фактор-группа 
также разрешима
по индукции. Поэтому разрешима и 
.
Лемма
Группы 
и 
не содержат бипримарные
холловские подгруппы.
Доказательство.
Пусть 
. Тогда порядок 
равен 
и силовская 7-подгруппа в 
самоцентрализуема. Так как
порядок 
больше порядка 
, то 
не содержит подгруппы
порядка 
.
Предположим,
что существует подгруппа 
порядка
. По теореме Силова о числе
силовских подгрупп подгруппа 
7-замкнута,
т. е. подгруппа 
порядка 7 из 
инвариантна в 
. Но теперь 
изоморфна подгруппе группы
всех автоморфизмов 
, которая
изоморфна 
. Противоречие.
Допустим,
что есть подгруппа 
порядка 
. Как и в предыдущем
случае, подгруппа 
не может быть
7-замкнутой. Так как индекс в 
нормализатора
силовской 7-подгруппы
сравним с 1 по модулю 7, то 
и 
. Поэтому 4 должно делить
порядок 
, а это невозможно. Таким
образом, в 
нет бипримарных холловских
подгрупп.
Теперь
пусть 
. Тогда порядок 
равен 
, силовская 3-подгруппа 
из 
неабелева и 
. Силовская 2-подгруппа 
также неабелева и 
имеет экспоненту 2.
Нормализатор силовской 5-подгруппы 
в 
имеет порядок 20, а
централизатор 
в 
совпадает с 
[??].
Предположим,
что существует подгруппа 
порядка
. Тогда 
3-замкнута, а так как 
ненильпотентна, то 
. Подгруппа 
неабелева, поэтому
минимальная инвариантная в 
подгруппа
имеет порядок не более чем
. Теперь 
изоморфна подгруппе из
группы всех авторморфизмов 
. Но 
--- элементарная абелева,
поэтому 
, где 
, и 
имеет порядок, не
делящийся на 5. Таким образом, 
, но
тогда 
. Противоречие.
Допустим,
что существует подгруппа 
порядка
. Пусть 
--- минимальная
инвариантная в 
подгруппа. Так
как 
имеет порядок 20, то 
неинвариантна в 
и 
есть 2-группа. По теореме
Машке [??] подгруппа 
есть прямое
произведение неприводимых 
-групп 
. Подгруппа 
самоцентрализуема, поэтому
не централизуют 
и по [??] порядок 
равен 
для всех 
. Следовательно, 
и 
. Фактор-группа 
имеет порядок 20, поэтому
она 5-замкнута и 
инвариантна в 
. Теперь 
. Пересечение 
инвариантно в 
, поэтому 
. Таким образом, 
, и 
изоморфна циклической
группе порядка 4 из 
. Это
противоречит тому, что 
имеет экспоненту
2.
Если
G содержит подгруппу порядка 
, то
индекс этой подгруппы в 
будет
равен 5. Поэтому 
изоморфна
подгруппе симметрической группы 
степени
5. Но порядок 
больше порядка 
. Противоречие.
Лемма
Группа 
содержит подгруппу порядка
и не содержит бипримарные
холловские подгруппы других порядков.
Доказательство.
Пусть 
. Тогда порядок 
равен 
и 
--- дважды транзитивная
группа степени 13. Поэтому стабилизатор 
одной
точки будет холловской подгруппой порядка 
.
Силовская 3-подгруппа в 
неабелева.
Нормализатор силовской 13-подгруппы имеет порядок 
,
а централизатор --- 13 [??].
