Курсовая работа: Бипримарные группы

 Секцией группы  называется фактор-группа некоторой подгруппы из . Если  не содержит секций, изоморфных симметрической группе  четырех символов, то  называется -свободной.

Лемма Если конечная группа  не является -свободной, то существуют -подгруппы  и  такие, что  нормальна в  и .

Доказательство. По условию в группе  существует секция , изоморфная . Пусть  --- нормальная в  подгруппа индекса , содержащая подгруппу  с индексом . По лемме Фраттини , где  --- силовская -подгруппа из , Так как  имеет индекс  в силовской -подгруппе из , то  разрешима и содержит -холловскую подгруппу . Кроме того,  и .

Лемма Конечная группа, содержащая нильпотентную -холловскую подгруппу, -разрешима.

Доказательство. Достаточно показать непростоту группы  в случае, когда  делит . Предположим, что  простая и  делит . В -свободных группах нет нильпотентных -холловских подгрупп [??], отличных от -силовской. Если  не -свободна, то по лемме (??) существует ненильпотентная -подгруппа. Это противоречит теореме Виландта [??]. Лемма доказана.

Через  обозначим произведение всех разрешимых нормальных в  подгрупп.

Лемма Пусть конечная группа  и пусть  разрешима, а  взаимно прост с . Если в  существует нилъпотентная -холловская подгруппа, то  разрешима.

Доказательство. Если  --- -группа, то  разрешима по лемме Сыскина(2). Пусть  делит  и  --- минимальная нормальная в  подгруппа. Если , то  и  разрешима по индукции, поэтому разрешима и . Пусть . Тогда  и  имеет порядок взаимно простой с . Значит нильпотентная -холловская подгруппа из  содержится в  и  -разрешима по лемме(2). Из минимальности  следует, что  разрешима. Итак, в любом случае  содержит разрешимую нормальную подгруппу . Фактор-группа  удовлетворяет условиям леммы и по индукции разрешима. Поэтому разрешима и . Лемма доказана.

Теорема (??) вытекает из следующей более общей теоремы

Теорема Пусть  и  --- подгруппы конечной группы  и пусть . Предположим, что  и  --- -замкнуты для каждого . Если  и  -разложимы и -разложимы, то  разрешима.

Доказательство индукцией по порядку . Пусть  --- минимальная нормальная в  подгруппа. Фактор-группа , а подгруппы  и  будут - и -разложимыми и -замкнутыми для каждого . По индукции  разрешима, а  неразрешима. Поэтому  и . Следовательно, в  единственная минимальная нормальная подгруппа.

Пусть  и пусть  и  --- силовские -подгруппы из  и  соответственно. Так как  и  р-замкнуты и , то  по лемме (??). Но  содержит точно одну минимальную нормальную подгруппу. Поэтому либо , либо . Итак для каждого , либо  не делит , либо  не делит . Следовательно, порядки  и  взаимно просты. Но теперь  --- простая группа.

Так как группа Судзуки  нефакторизуема(4), то по теореме Глаубермана (4)порядок  делится на , а по теореме Фомина (2) порядок одного из факторов, пусть порядок , делится на . Теперь в  существует нильпотентная -холловская подгруппа. По лемме (3)группа  разрешима. Теорема доказана.

Пусть конечная группа  является произведением двух своих подгрупп  и , причем  есть группа Шмидта, т. е. ненильпотентная группа, все собственные подгруппы которой нильпотентны. Признаки разрешимости группы  при дополнительных ограничениях на подгруппы  и  получили Б. Хупперт(2), В. А. Ведерников(4), И. П. Докторов(4), П. И. Трофимов(3). Если  дедекиндова, т. е. в  все подгруппы инвариантны, то простая группа  описана автором в(5). Как сообщил недавно С. А. Сыскин, им изучена простая группа  в случае, когда  --- нильпотентная группа.

Основным результатом настоящей заметки является

Теорема Пусть  есть группа Шмидта,  --- 2-разложимая группа, порядки  и  взаимно просты. Если  и  --- конечная неразрешимая группа, то , ,  и  --- простое число  или  для некоторого простого .

 обозначает наибольшую разрешимую инвариантную в  подгруппу.

Из этой теоремы непосредственно следует описание простых групп , если  --- группа Шмидта, а  --- -разложимая группа, где  состоит из простых делителей порядка  и 2 (см. теорему(2)). В теореме (5) доказано, что неразрешимая группа , где подгруппа  есть группа Шмидта, а  --- нильпотентная подгруппа, есть группа из заключения теоремы(4).

Рассматриваются только конечные группы.  обозначает порядок группы , а  --- множество всех простых делителей . Если  --- некоторое множество простых чисел, то  --- наибольшая инвариантная в  -подгруппа.  --- подгруппа, порожденная всеми сопряженными с  подгруппами в . Остальные обозначения можно найти в [??].

Свойства групп Шмидта хорошо известны [??], наиболее полно они изложены в(5). В данной работе они используются без ссылок.

Следующие два результата о простых группах понадобятся при доказательстве.

Теорема Мазуров -- Сыскин 9 Если  --- простая группа с силовской 2-подгруппой, изоморфной неабелевой силовской 2-подгруппе из группы Шмидта, то  для некоторого .

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7