Курсовая работа: Бипримарные группы
Теорема
Гольдшмидт 10 Если в простой группе 
силовская 2-подгруппа 
неабелева и 
, для всех 
и некоторой абелевой
неединичной подгруппы 
из 
, то 
или 
.
Лемма
Пусть
разрешимая группа 
, где 
--- группа нечетного
порядка, 
--- 2-замкнутая группа
четного порядка и 
. Если 
, то 
Доказательство
проведем индукцией по порядку группы 
. Введем
следующие обозначения: 
; 
--- минимальная
инвариантная в 
подгруппа; 
; 
--- силовская 2-подгруппа;
--- ее дополнение. Ясно,
что 
. Если 
, то 
, отсюда и 
. Пусть 
и 
--- минимальная
инвариантная 
-подгруппа в 
. Тогда 
и 
, где 
--- силовская 
-подгруппа 
для 
. Можно считать, что 
, поэтому 
. Кроме того, 
неинвариантна в 
, значит 
--- собственная в 
подгруппа. Замечание
Фраттини дает, что 
. Теперь 
и 
. Так как 
, то 
, т. е. 
--- собственная в 
подгруппа. Порядки 
и 
взаимно просты, поэтому 
. По индукции 
, поэтому и 
. Лемма доказана.
Доказательство
теоремы(4). Допустим, что теорема неверна и группа 
---
контрпример минимального порядка. Пусть 
,
--- инвариантная силовская
-подгруппа, 
--- силовская 
-подгруппа. Так как
факторгруппа группы Шмидта является либо группой Шмидта, либо циклической 
-группой, то благодаря
теореме В. А. Ведерникова (5)можно считать, что 
.
Допустим,
что группа 
непроста и 
--- минимальная
инвариантная в 
подгруппа. Тогда
--- неразрешимая группа.
Предположим,
что 
не содержит 
. Тогда 
нильпотентна, а так как 
, то по теореме Я. Г.
Берковича (6) подгруппа 
имеет
четный порядок. Теперь по теореме 1 из (5) получаем, что силовская 2-подгруппа
в 
неабелева. Так как 
, то из свойств групп
Шмидта следует, что 
содержится в 
и 
--- силовская 2-подгруппа
в 
. Если 
непроста, то 
--- неразрешимая группа,
где 
--- некоторая инволюция из
центра 
. Так как 
и 
--- группа Шмидта четного
порядка, то по индукции 
, 
или 
, 
--- простое число.
Замечая, что 
и 
--- абелева группа порядка
4 или 
, получаем, что, 
. Теперь 
должно быть четным числом,
значит, 
. В этих случаях 
и 
--- группа кватернионов
порядка 8, что противоречит тому, что 
.
Следовательно, 
--- простая
группа. По теореме Мазурова-Сыскина группа 
изоморфна
. Поэтому 
, значит, 
и
Порядок
факторгруппы 
равен 
, и 
делится на 
. Так как 
, то 
делит порядок 
. Это противоречит взаимной
простоте порядков факторов.
Следовательно,
содержит подгруппу 
. Так как 
--- циклическая силовская
подгруппа в 
, то 
--- простая группа и по
индукции 
, 
или 
, где 
--- простое число. Так как
, 
разрешима, a 
, то 
. Теперь 
изоморфна некоторой
подгруппе из 
. Если 
или 
, то 
или 
. 
допускает факторизацию с
группой Шмидта порядка 21 и 2-группой порядка 16. Группа 
не допускает требуемой
факторизации. Если 
--- простое
число, то и 
--- простое число. Так как
, где 
, то 
. Противоречие.
Таким
образом, 
--- простая группа.
Предположим,
что силовская 2-подгруппа группы 
абелева.
Тогда по результату Уолтера [??] группа 
может
быть изоморфной только одной из следующих групп: 
,
или 
, группе Янко порядка
175560 или группе 
типа Ри. Из
групп 
для указанных 
лишь группы 
или 
, где 
--- простое число,
допускают нужную факторизацию [??]. Группа Янко не допускает требуемой
факторизации [??]. Порядок группы 
делится
более чем на три простых числа, и силовская 3-подгруппа содержит свой
централизатор, элемент порядка 9 и неабелева(5). Поэтому 
неизоморфна 
.
В
дальнейшем будем считать, что силовская 2-подгруппа в 
неабелева. Так как порядки
и 
взаимно просты, то
некоторая силовская 2-подгруппа 
из 
содержится либо в 
, либо в 
. Если 
, то 
и группа 
изоморфна 
для некоторого 
. Но в этом случае 
, поэтому 
, 
и 
делит 
. Так как 
, то 
делит 
. Но порядок 
делится на 
, а значит, и на 
. Противоречие.
Следовательно,
. Теперь 
, 
, 
--- инвариантное
2-дополнение в 
. Если 
, то 
и 
ввиду леммы Бернсайда [??].
Поэтому 
, 
--- элементарная абелева 
-группа и 
--- показатель числа 
по модулю 
. Из результатов Уолеса [??]
непосредственно получаем, что 
.
Противоречие.
Значит,
. Введем следующие
обозначения: 
--- минимальная
инвариантная в 
подгруппа; 
--- силовская подгруппа из
, содержащая 
; 
; 
. Так как 
, то 
и 
разрешима. Кроме того, 
и по лемме С. А. Чунихина
((4), см. также лемму 1.16.1 из(3)) 
не
содержит подгрупп инвариантных в 
.
Применяя лемму (??) настоящей работы, получаем, что 
.
Так как 
и 
, то и 
. Таким образом, 
.
